【精品解析】四川省遂宁市第八中学2025年中考诊断性考试数学试题

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【精品解析】四川省遂宁市第八中学2025年中考诊断性考试数学试题

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四川省遂宁市第八中学2025年中考诊断性考试数学试题
1.(2025·遂宁模拟)下列运算正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A.,原选项不正确,
B.,原选项错误,
C.,原选项正确,
D.,原选项错误,
故答案为:C.
【分析】根据合并同类项,积的乘方,幂的乘方,单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可.
2.(2025·遂宁模拟)刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年,它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接,看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:.
故答案为:A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成a×10n的形式,其中1≤∣a∣<10,n等于原数的整数位数减去1,据此可得答案.
3.(2025·遂宁模拟)如图是由7个相同的小正方体组成的几何体,将小正方体①去掉后,关于新几何体的三视图,下列说法正确的是(  )
A.主视图保持不变 B.俯视图保持不变
C.左视图保持不变 D.三种视图都变化
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:若小正方体①去掉后,其左视图不变,即左视图依然还是两层,底层有3个正方形,上层有1个正方形.
故选:C.
【分析】
由于主视图、左视图和俯视图的观察方向不同,因此去掉小正方体①后,主视图和俯视图必然发生改变,但左视图不受影响.
4.(2025·遂宁模拟)猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式.某校开展了猜灯谜知识竞赛活动,其中甲组学生的成绩为:82,81,83,84,81,80,则这组数据的众数和中位数分别为(  )
A.81,83 B.81,81.5 C.81.5,81 D.81,83.5
【答案】B
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:将这组数据从小到大排列为:80,81,81,82,83,84,
最中间的两个数据为:81,82,则中位数为:,
出现次数最多的为:81,则众数为:,
故答案为:B.
【分析】
根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
5.(2025·遂宁模拟)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:可设木头长为x尺,绳子长为y尺,
由题意得,,
故答案为:A.
【分析】设木头长为x尺,绳子长为y尺,根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺,可得,根据将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺可得,据此列出方程组即可.
6.(2025·遂宁模拟)如图,矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上,点的坐标为,则点的坐标为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;待定系数法求反比例函数解析式;正方形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上,


反比例函数的解析式为.
点在反比例函数图象上,
可设.

∵正方形,

,.



故选:B.
【分析】
先利用待定系数法求出,然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设,则可表示出AD与ED的长,再由正方形的各边相等可建立关于的方程,最后再求解并对根进行适当取舍即可.
7.(2025·遂宁模拟)函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】一次函数的图象;二次函数图象与系数的关系;二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解:因为一次函数和二次函数都经过y轴上的,
所以两个函数图象交于y轴上的同一点,排除A;
当时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除选项B;
当时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,排除选项C;
故选:D.
【分析】根据题意,得到两个函数图象交于y轴上的同一点,再结合二次函数的开口方向,以及一次函数的性质,即可求解.
8.(2025·遂宁模拟)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(  )
A.20 B.22 C.24 D.26
【答案】B
【知识点】探索规律-图形的递变规律;归纳与类比
【解析】【解答】解:由 化合物的分子结构模型图可得:
第1种如图①有4个氢原子,即
第2种如图②有6个氢原子,即
第3种如图③有8个氢原子,即

所以,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是:;
故选:B.
【分析】根据图形,归纳出规律表达式的计算规律,结合计算规律的特点,即可得到答案.
9.(2025·遂宁模拟)如图,正方形的边长为3,点E,F,G分别在边,,上,且.当时,的最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质;正方形的性质;三角形全等的判定-ASA;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图所示,过点G作,过点F作,过点G作,设与交于点N
∵正方形的边长为3,




∵四边形是正方形
∴,
∴四边形是矩形

∴,



又∵


∵,
∴四边形是平行四边形


∴当点A,G,H三点共线时,取值最小值,即的长度


∴.
故答案为:C.
【分析】过点G作,过点F作,过点G作,设与交于点N,根据勾股定理得到AF长,然后推理得到,即可得到,再证明是平行四边形,即可得到,当点A,G,H三点共线时,值最小值为,根据勾股定理解答即可.
10.(2025·遂宁模拟)如图,抛物线的对称轴为直线,且过点.现有以下结论:①;②;③对于任意实数,都有;④若点是图象上任意两点,且,则,其中正确的结论是(  )
A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:由图象开口向上可得:,
由于图象与轴交于负半轴,可知:,
根据对称轴公式:可知:,


,故①正确;
抛物线过点,



即:,故②正确;
当时,取得最小值,

(为任意实数),故③错误;
抛物线开口向上,对称轴为直线,若点是图象上任意两点,且,
则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离,
根据图象可知:,故④正确;
其中正确的结论是:①②④,
故选:C.
【分析】
由题意知二次函数,其对称轴为直线,所以,因为抛物线开口向上,所以,则,因为抛物线交轴于负半轴,所以,故;
因为抛物线过点,所以;
因为抛物线开口向上,则二次函数有最小值,且当时,最小值为,则对于任意实数都满足,即
由于抛物线开口向上,则抛物线上的点到对称轴的距离越大,对应的函数值也越大,故当时,.
11.(2025·遂宁模拟)不等式组的解集是    
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解:,
解不等式①,得,
解不等式②,得,
∴不等式组的解集为.
故答案为:
【分析】
解一元一次不等式组,先分别求出各不等式的解集,再依照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出公共部分即可.
12.(2025·遂宁模拟)随着国家提倡节能减排,新能源车将成为时代“宠儿”.端午节,君君一家驾乘刚购买的新能源车,去相距的古镇旅行,原计划以速度匀速前行,因急事以计划速度的倍匀速行殃,结果就比原计划提前了到达,则原计划的速度v为   .
【答案】60
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:根据题意得:,
解得:,
经检验,是原方程的解,并符合题意,
∴原计划的速度为;
故答案为:60.
【分析】
原计划用时为,实际用时为,根据比原计划提前了到达列方程并求解即可.
13.(2025·遂宁模拟)在锐角三角形中,已知,满足,则   .
【答案】
【知识点】三角形内角和定理;求特殊角的三角函数值;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∴,

故答案为:.
【分析】
由于两个非负数的和为0,则每一个非负数都等于0,即可得的度数,再由三角形的内角和定理即可求得的值.
14.(2025·遂宁模拟)如图,扇形中,,,是的中点,交于点,以为半径的弧交于点,则图中阴影部分的面积是   .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:如图,连接,,
∵点为的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴为等边三角形,
∴,,
∴,
∴,


故答案为:.
【分析】连接OD、BD,根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°,从而可得△BDO为等边三角形,求出扇形BOD的面积,最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积,再减去S空白BDC求出阴影部分的面积.
15.(2025·遂宁模拟)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,,点C是线段的中点,点D坐标,连接,向外以为边作正方形,当取最大值时,点F的坐标是   .
【答案】
【知识点】坐标与图形性质;勾股定理;正方形的性质;坐标系中的两点距离公式;坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解:设,,
则,
即,,


四边形是正方形,
在轴上,在轴上,,


当时取等号,
,,取最大值为,

四边形是正方形,


故答案为:.
【分析】
由于点C是线段AB中点,因此可分别设,,则,由两点距离公式可得,因为,则,整理得,再由正方形的性质结合勾股定理得,由于点A在y轴上,点B在x轴上,则,显然当时,有最大值,此时点A与原点重合,点,则点,所以DC=6,由于四边形ABCD是正方形,即且,即.
16.(2025·遂宁模拟)计算:.
【答案】解:原式

【知识点】负整数指数幂;二次根式的混合运算;特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值,零指数幂和负整数指数幂,再去绝对值,再计算加减法.
17.(2025·遂宁模拟)先化简,再求值:,其中.
【答案】解:
当时,原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分括号内,再把除法化为乘法,然后化简,得,再把代入,即可作答.
18.(2025·遂宁模拟)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)设方程两实数根分别为、,且满足,求的取值范围.
【答案】(1)解:方程整理得,∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:,
即m的取值范围是
(2)解:∵,又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
故m的取值范围
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【分析】(1)根据题意可知,可得到关于m的不等式,解不等式求出m的取值范围.
(2)利用一元二次方程根与系数的关系,可分别得到的值,再代入,可得到关于m的不等式,然后求出不等式的解集即可.
(1)解:方程整理得,
∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:,
即m的取值范围是;
(2)解:∵,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
故m的取值范围.
19.(2025·遂宁模拟)年1月日,《哪吒2》正式上映,该电影剧情精彩、特效震撼,还精准传递了中国传统文化,从而引起了不同年龄段观众的共鸣,特成为中国动画电影的一部杰出作品.月月为了解本校学生对该电影的关注程度.对她所在学校的学生进行了随机抽样调查,将调查结果分为:A(实时关注)、B(关注较多)、C(关注较少)、D(没有关注)四类,并将调查结果绘制成如图所示的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求本次抽样调查的学生人数,请补全条形统计图;
(2)若该校共有名学生,请求出“B(关注较多)”的学生人数;
(3)若“A(实时关注)”中有2名男生和2名女生,现从中随机抽取2人深入了解,请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【答案】(1)解:依题意得,抽样调查的学生总数:(人)
C(关注较少)人数:(人)
画图为
(2)解:依题意得:B(关注较多)占抽样调查的学生总数比:
B(关注较多)的学生人数:(人)
答:“B(关注较多)”的学生人数为人.
(3)解:画树状图为∶
共有12种等可能的结果,其中1名男生和1名女生的结果数为8种,
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

【知识点】扇形统计图;条形统计图;用列表法或树状图法求概率;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)利用D类人数除以占比求出总人数,然后用总人数减去其他三组的人数求出C类别人数,补全条形统计图即可;
(2用500×B组的占比解答即可数;
(3)画树状图得到所有等可能结果,找出符合条件的结果数,利用概率公式计算解题.
(1)解:依题意得,抽样调查的学生总数:(人)
C(关注较少)人数:(人)
画图为
(2)解:依题意得:
B(关注较多)占抽样调查的学生总数比:
B(关注较多)的学生人数:(人)
答:“B(关注较多)”的学生人数为人.
(3)解:画树状图为∶
共有12种等可能的结果,其中1名男生和1名女生的结果数为8种,
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
20.(2025·遂宁模拟)如图,在平行四边形中,点、分别是、上的点,且,,求证:
(1);
(2)四边形是菱形.
【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C,
在△DAE和△DCF中,,
∴△DAE≌△DCF(ASA),
∴DE=DF;
(2)由(1)可得△DAE≌△DCF
∴DA=DC,
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对角相等可证∠A=∠C,利用ASA证明△DAE≌△DCF,利用全等三角形的对应边相等,可证得结论.(2)利用全等三角形的对应边相等,可证得DA=DC,再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形,可证得结论.
21.(2025·遂宁模拟)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元?
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)
【答案】(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.
根据题意得.
解得.
则每件B类特产的售价(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)解:由题意得
∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价
∴.
答:().
(3)解:.
∴当时,w有最大值1840.
答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.
【知识点】二次函数的最值;一元一次方程的实际应用-销售问题;二次函数的实际应用-销售问题;一次函数的其他应用
【解析】【分析】
根据题意设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元,根据相等关系“ 购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元 ”列方程并求解即可;
由每降价1元则每天可多售出10件列出函数关系式,结合进价与售价,且每件售价不低于进价得到x得取值范围;
结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件,得到A类特产的利润,同时求得B类特产的利润再求和即可得出每天的总利润w,可发现w是关于x的二次函数,由于二次项系数为负,则w有最大值,再利用二次函数的性质求解即可.
(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.
根据题意得.
解得.
则每件B类特产的售价(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)由题意得
∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价
∴.
答:().
(3).
∴当时,w有最大值1840.
答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.
22.(2025·遂宁模拟)如图,在某机场的地面雷达观测站,观测到空中点处的一架飞机的仰角为,飞机沿水平线方向飞行到达点处,此时观测到飞机的仰角为,飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处,此时观测到飞机的仰角为.已知千米.(在同一竖直平面内)
(1)求两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟,求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟?(,结果精确到0.01)
【答案】(1)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴两点之间的距离为千米;
(2)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴飞机从点飞行到点所用的时间(分钟),
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
(1)过点作于点可构造和,先解可得OD=AD=9,再解即可得OB;
(2)已知飞机飞行速度,求时间即求BC的长度,因此可过点作于可构造和,可利用平角定义求得,再利用平行线的性质结合已知可得,则,则BE=CE,可先解求出BE的长,再解求出BC的长即可.
(1)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴两点之间的距离为千米;
(2)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴飞机从点飞行到点所用的时间(分钟),
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟.
23.(2025·遂宁模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象l与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式;
(2)求的面积;
(3)若点P是y轴上一动点,连接.当的值最小时,求点P的坐标.
【答案】(1)解:由题意,∵在反比例函数上,∴.
∴反比例函数表达式为.
又在反比例函数上,
∴.
∴.
设一次函数表达式为,
∴,
∴,.
∴一次函数的表达式为.
(2)解:由题意,如图,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,
又直线l为,
∴,.
∴,,
∴;
(3)解:由题意,如图,作点M关于y轴的对称点,连接交y轴于点P,则的最小值等于的长.
∵与关于y轴对称,
∴为.
又,设的解析式为,
则,解得,
∴直线为.
令,则.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题;两点之间线段最短;一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
(1)先利用待定系数法求出反比例函数的解析式,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求点N的坐标,再利用待定系数即可确定一次函数的解析式;
(2)如图,设直线MN分别交x、y轴于A、B两点,则利用一次函数图象上点的坐标特征可得点A、B的坐标,则OA、OB可得,则和的面积均可得,最后再利用割补法即得出的面积.
(1)解:由题意,∵在反比例函数上,
∴.
∴反比例函数表达式为.
又在反比例函数上,
∴.
∴.
设一次函数表达式为,
∴,
∴,.
∴一次函数的表达式为.
(2)解:由题意,如图,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,
又直线l为,
∴,.
∴,,
∴;
(3)解:由题意,如图,作点M关于y轴的对称点,连接交y轴于点P,则的最小值等于的长.
∵与关于y轴对称,
∴为.
又,设的解析式为,
则,解得,
∴直线为.
令,则.
∴.
24.(2025·遂宁模拟)如图,是的直径,点C是上的一点,点P是延长线上的一点,连接,.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求证:;
(3)若于D,,,求的长.
【答案】(1)证明:如图所示,连接,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线;
(2)证明:∵,∴,
∴,
由(1)知,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:设,在中,,





∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
即,整理得,
解得,(舍去),
故.
【知识点】圆周角定理;切线的判定;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证切线,连半径,再证垂直;因此连接OC,可先由圆周角定理的推论得,再由OB=OC可得,又已知,等量代换得到,即即可;
(2)由特殊角的三角函数值可得,则,又,则由三角形外角的性质得,等量代换即可得AC=AP;
(3)由于是公共角且,则可得,则有,此时可设AD=x,则化比例式为等积式可得,由于,则同理可证,由相似比可得,然后在中应用勾股定理求解即可.
(1)如图所示,连接,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线;
(2)证明:∵,
∴,
∴,
由(1)知,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)设,
在中,,





∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
即,整理得,
解得,(舍去),
故.
25.(2025·遂宁模拟)如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线经过A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D是抛物线在第二象限内的点,过点D作x轴的平行线与直线交于点C,求的长的最大值;
(3)点Q是线段上的动点,点P是抛物线在第一象限内的动点,连结交y轴于点N.是否存在点P,使与相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)解:直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,
,,
抛物线经过A、B两点.

解得,

(2)解:设,
作x轴,与直线交于点C,
,解得,

当时,的长的最大值为4;
(3)答:存在点P使与相似 ,理由如下:设,
,,

分两种情况:
①当时,

,,




,,


或3(舍去),

,,
设直线的解析式为,
解得,
直线PQ的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
②当时,过点Q作于H,

,,



∴,
∴,
设,则,,
,解得,

,,,






,,
同理得直线的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;相似三角形的性质-对应边;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)先由一次函数图象上点的坐标特征求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)先由二次函数图象上点的坐标特征设出点,由于作x轴,则点,则CD的长是关于m的二次函数,由于该二次函数的二次项系数为负,则二次函数有最大值,即化二次函数的一般形式为顶点式即可求出最大值;
(3)由于点N在线段OB上,可设,此时可分两种情况讨论:①当时,则由相似的性质知,,则PQ//AB、,则利用两直线平行同位角相等可证明,再由相似比可得OQ和QN的长,再利用勾股定理分别求出BQ、AB并代入等积式中可求出n的值,根据题设可舍去不合适的值,再利用待定系数法求出直线PQ的解析式,并与二次函数的解析式联立方程即可求出点P的坐标;②当时,由相似的性质可得,即BQ平分,可过点Q作AB的垂线段GH,则QH=OQ、BH=BO,此时可设OQ=q,则AQ、HQ、AH均可表示,利用勾股定理可求得点Q的坐标;再由得,又直角相等可证明,再由相似比可得点N的坐标,同①再求出直线PQ的解析式并与二次函数的解析式联立得方程并解方程即可求出点P坐标.
(1)直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,
,,
抛物线经过A、B两点.

解得,

(2)设,
作x轴,与直线交于点C,
,解得,

当时,的长的最大值为4;
(3)设,
,,

分两种情况:
①当时,

,,




,,


或3(舍去),

,,
设直线的解析式为,
解得,
直线PQ的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
②当时,过点Q作于H,

,,



∴,
∴,
设,则,,
,解得,

,,,






,,
同理得直线的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或.
1 / 1四川省遂宁市第八中学2025年中考诊断性考试数学试题
1.(2025·遂宁模拟)下列运算正确的是(  )
A. B. C. D.
2.(2025·遂宁模拟)刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年,它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接,看起来似乎是连在一起的“三体星系”.其中数字42000000用科学记数法表示为(  )
A. B. C. D.
3.(2025·遂宁模拟)如图是由7个相同的小正方体组成的几何体,将小正方体①去掉后,关于新几何体的三视图,下列说法正确的是(  )
A.主视图保持不变 B.俯视图保持不变
C.左视图保持不变 D.三种视图都变化
4.(2025·遂宁模拟)猜灯谜是我国独有的富有民族风格的一种汉族民俗文娱活动形式.某校开展了猜灯谜知识竞赛活动,其中甲组学生的成绩为:82,81,83,84,81,80,则这组数据的众数和中位数分别为(  )
A.81,83 B.81,81.5 C.81.5,81 D.81,83.5
5.(2025·遂宁模拟)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是:“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳量之,不足一尺,木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根木头的长,绳子还剩余尺;将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺?可设木头长为x尺,绳子长为y尺,则所列方程组正确的是(  )
A. B.
C. D.
6.(2025·遂宁模拟)如图,矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上,点的坐标为,则点的坐标为(  )
A. B. C. D.
7.(2025·遂宁模拟)函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(  )
A. B.
C. D.
8.(2025·遂宁模拟)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(  )
A.20 B.22 C.24 D.26
9.(2025·遂宁模拟)如图,正方形的边长为3,点E,F,G分别在边,,上,且.当时,的最小值为(  )
A. B. C. D.
10.(2025·遂宁模拟)如图,抛物线的对称轴为直线,且过点.现有以下结论:①;②;③对于任意实数,都有;④若点是图象上任意两点,且,则,其中正确的结论是(  )
A.①② B.②③④ C.①②④ D.①②③④
11.(2025·遂宁模拟)不等式组的解集是    
12.(2025·遂宁模拟)随着国家提倡节能减排,新能源车将成为时代“宠儿”.端午节,君君一家驾乘刚购买的新能源车,去相距的古镇旅行,原计划以速度匀速前行,因急事以计划速度的倍匀速行殃,结果就比原计划提前了到达,则原计划的速度v为   .
13.(2025·遂宁模拟)在锐角三角形中,已知,满足,则   .
14.(2025·遂宁模拟)如图,扇形中,,,是的中点,交于点,以为半径的弧交于点,则图中阴影部分的面积是   .
15.(2025·遂宁模拟)如图,点A在y轴上,点B在x轴上,,点C是线段的中点,点D坐标,连接,向外以为边作正方形,当取最大值时,点F的坐标是   .
16.(2025·遂宁模拟)计算:.
17.(2025·遂宁模拟)先化简,再求值:,其中.
18.(2025·遂宁模拟)已知关于的一元二次方程有实数根.
(1)求的取值范围;
(2)设方程两实数根分别为、,且满足,求的取值范围.
19.(2025·遂宁模拟)年1月日,《哪吒2》正式上映,该电影剧情精彩、特效震撼,还精准传递了中国传统文化,从而引起了不同年龄段观众的共鸣,特成为中国动画电影的一部杰出作品.月月为了解本校学生对该电影的关注程度.对她所在学校的学生进行了随机抽样调查,将调查结果分为:A(实时关注)、B(关注较多)、C(关注较少)、D(没有关注)四类,并将调查结果绘制成如图所示的统计图.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求本次抽样调查的学生人数,请补全条形统计图;
(2)若该校共有名学生,请求出“B(关注较多)”的学生人数;
(3)若“A(实时关注)”中有2名男生和2名女生,现从中随机抽取2人深入了解,请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
20.(2025·遂宁模拟)如图,在平行四边形中,点、分别是、上的点,且,,求证:
(1);
(2)四边形是菱形.
21.(2025·遂宁模拟)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元?
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)
22.(2025·遂宁模拟)如图,在某机场的地面雷达观测站,观测到空中点处的一架飞机的仰角为,飞机沿水平线方向飞行到达点处,此时观测到飞机的仰角为,飞机继续沿与水平线成角的方向爬升到点处,此时观测到飞机的仰角为.已知千米.(在同一竖直平面内)
(1)求两点之间的距离;
(2)若飞机的飞行速度保持12千米/分钟,求飞机从点飞行到点所用的时间是多少分钟?(,结果精确到0.01)
23.(2025·遂宁模拟)如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象l与反比例函数的图象交于,两点.
(1)求反比例函数及一次函数的表达式;
(2)求的面积;
(3)若点P是y轴上一动点,连接.当的值最小时,求点P的坐标.
24.(2025·遂宁模拟)如图,是的直径,点C是上的一点,点P是延长线上的一点,连接,.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求证:;
(3)若于D,,,求的长.
25.(2025·遂宁模拟)如图,直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线经过A、B两点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)点D是抛物线在第二象限内的点,过点D作x轴的平行线与直线交于点C,求的长的最大值;
(3)点Q是线段上的动点,点P是抛物线在第一象限内的动点,连结交y轴于点N.是否存在点P,使与相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】单项式乘单项式;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A.,原选项不正确,
B.,原选项错误,
C.,原选项正确,
D.,原选项错误,
故答案为:C.
【分析】根据合并同类项,积的乘方,幂的乘方,单项式乘单项式的运算法则逐项判断即可.
2.【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:.
故答案为:A.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数,一般表示成a×10n的形式,其中1≤∣a∣<10,n等于原数的整数位数减去1,据此可得答案.
3.【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:若小正方体①去掉后,其左视图不变,即左视图依然还是两层,底层有3个正方形,上层有1个正方形.
故选:C.
【分析】
由于主视图、左视图和俯视图的观察方向不同,因此去掉小正方体①后,主视图和俯视图必然发生改变,但左视图不受影响.
4.【答案】B
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:将这组数据从小到大排列为:80,81,81,82,83,84,
最中间的两个数据为:81,82,则中位数为:,
出现次数最多的为:81,则众数为:,
故答案为:B.
【分析】
根据众数和中位数的定义“一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,居于中间的一个数或两个数的平均数是中位数”解答即可.
5.【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程组
【解析】【解答】解:可设木头长为x尺,绳子长为y尺,
由题意得,,
故答案为:A.
【分析】设木头长为x尺,绳子长为y尺,根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺,可得,根据将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺可得,据此列出方程组即可.
6.【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;待定系数法求反比例函数解析式;正方形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上,


反比例函数的解析式为.
点在反比例函数图象上,
可设.

∵正方形,

,.



故选:B.
【分析】
先利用待定系数法求出,然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设,则可表示出AD与ED的长,再由正方形的各边相等可建立关于的方程,最后再求解并对根进行适当取舍即可.
7.【答案】D
【知识点】一次函数的图象;二次函数图象与系数的关系;二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解:因为一次函数和二次函数都经过y轴上的,
所以两个函数图象交于y轴上的同一点,排除A;
当时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除选项B;
当时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,排除选项C;
故选:D.
【分析】根据题意,得到两个函数图象交于y轴上的同一点,再结合二次函数的开口方向,以及一次函数的性质,即可求解.
8.【答案】B
【知识点】探索规律-图形的递变规律;归纳与类比
【解析】【解答】解:由 化合物的分子结构模型图可得:
第1种如图①有4个氢原子,即
第2种如图②有6个氢原子,即
第3种如图③有8个氢原子,即

所以,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是:;
故选:B.
【分析】根据图形,归纳出规律表达式的计算规律,结合计算规律的特点,即可得到答案.
9.【答案】C
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质;正方形的性质;三角形全等的判定-ASA;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图所示,过点G作,过点F作,过点G作,设与交于点N
∵正方形的边长为3,




∵四边形是正方形
∴,
∴四边形是矩形

∴,



又∵


∵,
∴四边形是平行四边形


∴当点A,G,H三点共线时,取值最小值,即的长度


∴.
故答案为:C.
【分析】过点G作,过点F作,过点G作,设与交于点N,根据勾股定理得到AF长,然后推理得到,即可得到,再证明是平行四边形,即可得到,当点A,G,H三点共线时,值最小值为,根据勾股定理解答即可.
10.【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数图象与坐标轴的交点问题;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:由图象开口向上可得:,
由于图象与轴交于负半轴,可知:,
根据对称轴公式:可知:,


,故①正确;
抛物线过点,



即:,故②正确;
当时,取得最小值,

(为任意实数),故③错误;
抛物线开口向上,对称轴为直线,若点是图象上任意两点,且,
则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离,
根据图象可知:,故④正确;
其中正确的结论是:①②④,
故选:C.
【分析】
由题意知二次函数,其对称轴为直线,所以,因为抛物线开口向上,所以,则,因为抛物线交轴于负半轴,所以,故;
因为抛物线过点,所以;
因为抛物线开口向上,则二次函数有最小值,且当时,最小值为,则对于任意实数都满足,即
由于抛物线开口向上,则抛物线上的点到对称轴的距离越大,对应的函数值也越大,故当时,.
11.【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解:,
解不等式①,得,
解不等式②,得,
∴不等式组的解集为.
故答案为:
【分析】
解一元一次不等式组,先分别求出各不等式的解集,再依照口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定出公共部分即可.
12.【答案】60
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:根据题意得:,
解得:,
经检验,是原方程的解,并符合题意,
∴原计划的速度为;
故答案为:60.
【分析】
原计划用时为,实际用时为,根据比原计划提前了到达列方程并求解即可.
13.【答案】
【知识点】三角形内角和定理;求特殊角的三角函数值;绝对值的非负性
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∴,

故答案为:.
【分析】
由于两个非负数的和为0,则每一个非负数都等于0,即可得的度数,再由三角形的内角和定理即可求得的值.
14.【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:如图,连接,,
∵点为的中点,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴为等边三角形,
∴,,
∴,
∴,


故答案为:.
【分析】连接OD、BD,根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°,从而可得△BDO为等边三角形,求出扇形BOD的面积,最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积,再减去S空白BDC求出阴影部分的面积.
15.【答案】
【知识点】坐标与图形性质;勾股定理;正方形的性质;坐标系中的两点距离公式;坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解:设,,
则,
即,,


四边形是正方形,
在轴上,在轴上,,


当时取等号,
,,取最大值为,

四边形是正方形,


故答案为:.
【分析】
由于点C是线段AB中点,因此可分别设,,则,由两点距离公式可得,因为,则,整理得,再由正方形的性质结合勾股定理得,由于点A在y轴上,点B在x轴上,则,显然当时,有最大值,此时点A与原点重合,点,则点,所以DC=6,由于四边形ABCD是正方形,即且,即.
16.【答案】解:原式

【知识点】负整数指数幂;二次根式的混合运算;特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值,零指数幂和负整数指数幂,再去绝对值,再计算加减法.
17.【答案】解:
当时,原式.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先通分括号内,再把除法化为乘法,然后化简,得,再把代入,即可作答.
18.【答案】(1)解:方程整理得,∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:,
即m的取值范围是
(2)解:∵,又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
故m的取值范围
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【分析】(1)根据题意可知,可得到关于m的不等式,解不等式求出m的取值范围.
(2)利用一元二次方程根与系数的关系,可分别得到的值,再代入,可得到关于m的不等式,然后求出不等式的解集即可.
(1)解:方程整理得,
∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:,
即m的取值范围是;
(2)解:∵,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
故m的取值范围.
19.【答案】(1)解:依题意得,抽样调查的学生总数:(人)
C(关注较少)人数:(人)
画图为
(2)解:依题意得:B(关注较多)占抽样调查的学生总数比:
B(关注较多)的学生人数:(人)
答:“B(关注较多)”的学生人数为人.
(3)解:画树状图为∶
共有12种等可能的结果,其中1名男生和1名女生的结果数为8种,
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率.

【知识点】扇形统计图;条形统计图;用列表法或树状图法求概率;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)利用D类人数除以占比求出总人数,然后用总人数减去其他三组的人数求出C类别人数,补全条形统计图即可;
(2用500×B组的占比解答即可数;
(3)画树状图得到所有等可能结果,找出符合条件的结果数,利用概率公式计算解题.
(1)解:依题意得,抽样调查的学生总数:(人)
C(关注较少)人数:(人)
画图为
(2)解:依题意得:
B(关注较多)占抽样调查的学生总数比:
B(关注较多)的学生人数:(人)
答:“B(关注较多)”的学生人数为人.
(3)解:画树状图为∶
共有12种等可能的结果,其中1名男生和1名女生的结果数为8种,
所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
20.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C,
在△DAE和△DCF中,,
∴△DAE≌△DCF(ASA),
∴DE=DF;
(2)由(1)可得△DAE≌△DCF
∴DA=DC,
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的对角相等可证∠A=∠C,利用ASA证明△DAE≌△DCF,利用全等三角形的对应边相等,可证得结论.(2)利用全等三角形的对应边相等,可证得DA=DC,再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形,可证得结论.
21.【答案】(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.
根据题意得.
解得.
则每件B类特产的售价(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)解:由题意得
∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价
∴.
答:().
(3)解:.
∴当时,w有最大值1840.
答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.
【知识点】二次函数的最值;一元一次方程的实际应用-销售问题;二次函数的实际应用-销售问题;一次函数的其他应用
【解析】【分析】
根据题意设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元,根据相等关系“ 购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元 ”列方程并求解即可;
由每降价1元则每天可多售出10件列出函数关系式,结合进价与售价,且每件售价不低于进价得到x得取值范围;
结合(2)中A类特产降价x元与每天的销售量y件,得到A类特产的利润,同时求得B类特产的利润再求和即可得出每天的总利润w,可发现w是关于x的二次函数,由于二次项系数为负,则w有最大值,再利用二次函数的性质求解即可.
(1)解:设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为元.
根据题意得.
解得.
则每件B类特产的售价(元).
答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件.
(2)由题意得
∵A类特产进价50元/件,售价为60元/件,且每件售价不低于进价
∴.
答:().
(3).
∴当时,w有最大值1840.
答:A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1840元.
22.【答案】(1)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴两点之间的距离为千米;
(2)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴飞机从点飞行到点所用的时间(分钟),
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
(1)过点作于点可构造和,先解可得OD=AD=9,再解即可得OB;
(2)已知飞机飞行速度,求时间即求BC的长度,因此可过点作于可构造和,可利用平角定义求得,再利用平行线的性质结合已知可得,则,则BE=CE,可先解求出BE的长,再解求出BC的长即可.
(1)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴两点之间的距离为千米;
(2)解:过点作,垂足为,
由题意得:,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在中,千米,
∴(千米),
在中,(千米),
∴飞机从点飞行到点所用的时间(分钟),
∴飞机从点飞行到点所用的时间约为1.06分钟.
23.【答案】(1)解:由题意,∵在反比例函数上,∴.
∴反比例函数表达式为.
又在反比例函数上,
∴.
∴.
设一次函数表达式为,
∴,
∴,.
∴一次函数的表达式为.
(2)解:由题意,如图,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,
又直线l为,
∴,.
∴,,
∴;
(3)解:由题意,如图,作点M关于y轴的对称点,连接交y轴于点P,则的最小值等于的长.
∵与关于y轴对称,
∴为.
又,设的解析式为,
则,解得,
∴直线为.
令,则.
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题;两点之间线段最短;一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
(1)先利用待定系数法求出反比例函数的解析式,再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求点N的坐标,再利用待定系数即可确定一次函数的解析式;
(2)如图,设直线MN分别交x、y轴于A、B两点,则利用一次函数图象上点的坐标特征可得点A、B的坐标,则OA、OB可得,则和的面积均可得,最后再利用割补法即得出的面积.
(1)解:由题意,∵在反比例函数上,
∴.
∴反比例函数表达式为.
又在反比例函数上,
∴.
∴.
设一次函数表达式为,
∴,
∴,.
∴一次函数的表达式为.
(2)解:由题意,如图,设直线l交x轴于点A,交y轴于点B,
又直线l为,
∴,.
∴,,
∴;
(3)解:由题意,如图,作点M关于y轴的对称点,连接交y轴于点P,则的最小值等于的长.
∵与关于y轴对称,
∴为.
又,设的解析式为,
则,解得,
∴直线为.
令,则.
∴.
24.【答案】(1)证明:如图所示,连接,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线;
(2)证明:∵,∴,
∴,
由(1)知,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)解:设,在中,,





∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
即,整理得,
解得,(舍去),
故.
【知识点】圆周角定理;切线的判定;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证切线,连半径,再证垂直;因此连接OC,可先由圆周角定理的推论得,再由OB=OC可得,又已知,等量代换得到,即即可;
(2)由特殊角的三角函数值可得,则,又,则由三角形外角的性质得,等量代换即可得AC=AP;
(3)由于是公共角且,则可得,则有,此时可设AD=x,则化比例式为等积式可得,由于,则同理可证,由相似比可得,然后在中应用勾股定理求解即可.
(1)如图所示,连接,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是的切线;
(2)证明:∵,
∴,
∴,
由(1)知,
∴,
∴,
∴,
∴;
(3)设,
在中,,





∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
在中,由勾股定理得,
即,整理得,
解得,(舍去),
故.
25.【答案】(1)解:直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,
,,
抛物线经过A、B两点.

解得,

(2)解:设,
作x轴,与直线交于点C,
,解得,

当时,的长的最大值为4;
(3)答:存在点P使与相似 ,理由如下:设,
,,

分两种情况:
①当时,

,,




,,


或3(舍去),

,,
设直线的解析式为,
解得,
直线PQ的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
②当时,过点Q作于H,

,,



∴,
∴,
设,则,,
,解得,

,,,






,,
同理得直线的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或.
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;相似三角形的性质-对应边;二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】(1)先由一次函数图象上点的坐标特征求得A、B点的坐标,然后利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)先由二次函数图象上点的坐标特征设出点,由于作x轴,则点,则CD的长是关于m的二次函数,由于该二次函数的二次项系数为负,则二次函数有最大值,即化二次函数的一般形式为顶点式即可求出最大值;
(3)由于点N在线段OB上,可设,此时可分两种情况讨论:①当时,则由相似的性质知,,则PQ//AB、,则利用两直线平行同位角相等可证明,再由相似比可得OQ和QN的长,再利用勾股定理分别求出BQ、AB并代入等积式中可求出n的值,根据题设可舍去不合适的值,再利用待定系数法求出直线PQ的解析式,并与二次函数的解析式联立方程即可求出点P的坐标;②当时,由相似的性质可得,即BQ平分,可过点Q作AB的垂线段GH,则QH=OQ、BH=BO,此时可设OQ=q,则AQ、HQ、AH均可表示,利用勾股定理可求得点Q的坐标;再由得,又直角相等可证明,再由相似比可得点N的坐标,同①再求出直线PQ的解析式并与二次函数的解析式联立得方程并解方程即可求出点P坐标.
(1)直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,
,,
抛物线经过A、B两点.

解得,

(2)设,
作x轴,与直线交于点C,
,解得,

当时,的长的最大值为4;
(3)设,
,,

分两种情况:
①当时,

,,




,,


或3(舍去),

,,
设直线的解析式为,
解得,
直线PQ的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
②当时,过点Q作于H,

,,



∴,
∴,
设,则,,
,解得,

,,,






,,
同理得直线的解析式为,
联立解得或(不合题意,舍去)
点P的坐标为;
综上,点P的坐标为或.
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