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钦州市2025 年春季学期高二年级期末教学质量监测
数 学
全卷满分150分，考试时间 120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：北师大版选择性必修第一册第四章~第七章，选择性必修第二册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下表是离散型随机变量 X的概率分布列，则常数a的值是
x 3 4 5 6
P a
A. B. C. D.
2.已知随机变量x~B(n, ),若E(X)=2,则D(X)=
A. B. C.1. D.2
3.已知函数 f(x)在x=x。处可导,且 则
A.-3 B.2 D.-2
4.已知随机变量 X 服从正态分布.N(3,σ ),且lP(0A.0:3 B.0.2 C.0.4 D.0.5
5.有4辆车停放于5个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问不同的停放方法有
A.40种 B.48种 C.56种 D.64 种
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6.等比数列{an}的前n项和为 Sn,且( 则
A.100 B.102 C.103 D.105
7.已知函数 在其定义域内的一个子区间(Qa-2,a+2)|内不是单调函数，则实数a的取值范围是
8.已知数列{an}满足 且 则{an}的前51项的和为
A.37 B.40 C.42 D.46
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.公比为q的等比数列{an}的前n项和为 Sn，若( 则
B. q=4
10.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A，“乙正面向上”为事件B，“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C，则下列判断正确的是
A. A 与 B 相互对立 B. A与B 相互独立
11.对于函数 下列说法正确的有
A. f(x)在x=1处取得极大值1
B. f(x)在x=e处的切线方程为
C. f(x)有两个零点
D.若 在(0,+∞)上恒成立,则k>e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如下是一个2×2列联表,则s= .
y x y y 总计
x a 35 45
x 5 b n
总计 m 70 s
13.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值.现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷器厂生产，其中甲、乙、丙瓷器厂分别生产500 件、300 件、200件，而且甲、乙、丙瓷器厂的次品率依次为2%，4%，4%.现从这批瓷器中任取一件，取到次品的概率是 .
14.某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取出'3个球，已知不全为黑球的概率为 ，若记取出3个球中黑球的个数为X，则D(X)= .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知 的展开式中第5 项为常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的无理项.
16.(本小题满分15分)
已知数列{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)设 证明：
17.(本小题满分15分)
某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x(亿元)与产品收益y(亿元)的数据统计如下：
研发投入x(亿元) 1 2 3 4 5
产品收益y(亿元) 2 6 8 9 10
(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度 (若0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般;若|r|>0.75,则线性相关程度较高)
(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若想收益不少于14.6(亿元)，则需研发投入至少多少亿元 (结果保留一位小数)
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数·r的公式分别为
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18.(本小题满分 17分)
甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制(三轮两胜制是指在一场比赛中，参赛者进行三轮比赛，其赢得两轮比赛即为获胜).在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为 p(0(1)当 时，求甲最终获胜的概率；
(2)为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得4分，失败者得3分；方案二：最终获胜者得2分，失败者得1分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大.
19.(本小题满分 17 分)
已知函数.
(1)求y=f(x)的极值;
(2)讨论g(x)的单调性;
(3)若a=-1且x∈(0,+∞)时,求证g(x)≤f(x)-e .
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