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广东省2025年初中学业水平模拟考试数学试卷（二）
1．（2025·广东模拟）2025的绝对值是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据一个正数的绝对值等于其本身，可判断得出答案.
2．（2025·广东模拟）截至年月日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意可得：亿；
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．（2025·广东模拟）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
4．（2025·广东模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025·广东模拟）设是一元二次方程的两根，则（　　）
A．2 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系，利用完全平方公式变形后求解．
6．（2025·广东模拟）如图，直线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等可得，然后再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=∠4-∠2，从而代值计算可得答案.
7．（2025·广东模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．（2025·广东模拟）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，作交于，
，
由题意可得：，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】作BD⊥AC于点D，利用方格纸的特点及正切函数的定义“一个角的正切值等于其对边比邻边”计算即可得解．
9．（2025·广东模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，解不等式，得：，
解得：，
且，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于的不等式组求解．
10．（2025·广东模拟）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（　　）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴=，
根据垂线段最短，的最小值就是的高，
过点F作于点G，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证明直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，，从而有=，根据垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，利用勾股定理求得BC，再利用三角形面积求出即可．
11．（2025·广东模拟）因式分解：　 　．
【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．（2025·广东模拟）若，，且满足，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，；
当时，，．
故答案为：或.
【分析】利用有理数的乘方及绝对值的意义，分别求出x与y的值，再结合 确定的值．
13．（2025·广东模拟）若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数，则k=　 　
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由根与系数的关系知， ， 两根互为倒数，则k2=1， k=±1，
∵方程有两个实数根， ， 当k=1时，代入△<0，不成立，故K=-1
【分析】二次方程两根互为倒数，则两根之积等于1， 求出k值，但要保证△≥0.
14．（2025·广东模拟）如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽，凹槽部分最深处，则凹槽所在圆的半径为　 　.．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
由题意得O、C、Q三点共线，且，
∵，
∴由垂径定理可知，
设圆的半径为，，
则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴凹槽所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OC，由题意得由题意得O、C、Q三点共线，利用垂径定理“平分弧得直径，垂直平分这条弧所对的弦”求出，在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
15．（2025·广东模拟）如图，矩形的顶点在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为　 　．
【答案】-4
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，设与轴交于点，过点作轴于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
在中，，
∵，且轴，
∴，即是等腰直角三角形，
∵轴，
∴，
∴，
∴，且点在第二象限，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：-4 ．
【分析】作DH⊥x轴于点H，设AD与x轴交于点G，由矩形的性质得∠A=90°，由点E、F的坐标可得OE=OF=1，则△EOF是等腰直角三角形，从而易得△AEG、△DGH都为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质算出EF=AE=AG=，由平行线间距离相等得DH=OF=1，再由等腰直角的性质得HG=GD=1，然后算出OH的长即可得出点D的坐标，最后将点D的坐标代入 即可算出k的值.
16．（2025·广东模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，再计算加减法．
17．（2025·广东模拟）如图，在△ABC中，，．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数．
【答案】（1）解：如图设所示：∴直线MN和点D就是所求作的图形．

（2）解：∵的垂直平分线交AC于点D，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用作线段AB的垂直平分线解答即可．
（2）根据等边对等角和三角形的内角和求出然后根据线段的垂直平分线得到，即可得到然后根据角的和差解答即可．
18．（2025·广东模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为？（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】解：如图，作于H，作地面于P，
由题知，，
∴，
∴坐垫C离地面高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于P，由∠ABE的正弦函数可算出CH的长，最后根据坐垫C离地面高度等于CH+AP，代值计算可得答案.
19．（2025·广东模拟）为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
（1）根据以上信息，回答下列问题．
①求m的值；
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
【答案】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角为90°，
∴它所占的百分比为，
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴抽取的该学校八年级的人数为m=15÷=60；
②∵阅读时间为5小时的有5人，
∴扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角为；
③第三小组的频数为：60-10-15-10-5=20，
补全条形统计图为：
（2）∵课外阅读时间为3小时的有20人，人数最多，
∴众数为 3小时；
∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时；
平均数：．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；
②结合周角是360度进行计算；
③求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；
（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式求解．
20．（2025·广东模拟）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，
根据题意，得：，
解得：．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，利用“ 节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据“ 总费用不超过4600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得：
，
解得．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
21．（2025·广东模拟）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据旋转性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理即可求出答案.
22．（2025·广东模拟）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张．
（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；
（2）用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示）
（3）取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个．
【答案】（1）
（2）解：这25张卡片拼成一个正方形面积为，
这个正方形的边长为；
（3）2
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为
故答案为：；
（3）拼成一个矩形面积为
能分解成两个因式的积
或
当时，；
当时，，
可能的整数值有2个．
故答案为：2.
【分析】（1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可；
（2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可；
（3）根据题意知能分解成两个因式的积，再对其进行因式分解即可．
23．（2025·广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点，连接、，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，交抛物线于点，连接交于点，当面积最大时，线段在直线上移动，求的周长最小值及此时点的坐标；
（3）抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，点是新抛物线对称轴左侧的一个动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交与点，连接，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，请直接写出点的坐标，并写出一个点的求解过程．
【答案】（1）解：令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
则，
∵与分别以、为底，且等高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，其中，，是定值，
则是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是定值，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，
此时最大，
将代入，得，
即此时；
如图，过点作交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：，
∴，
由线段在直线上移动，点不动，
利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取点，使得，
∴，
∴的周长为，
利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图，
由，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点，
则，
化简新抛物线解析式为，
∵轴，轴，轴与轴垂直，
∴轴，，
∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，四边形是正方形，
∴，
①当点在上方时，
设与轴交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
同理可得直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的对称变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先令抛物线y=ax2+bx-2中的，算出对应的y的值，得C(0，2)，则OC=2，再利用∠ABC的正切函数值求出OB的长，从而得到点B(4，0)，然后将点B的坐标及（6，7）分别代入y=ax2+bx-2可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点E，交AR于点H，设AR与y轴交于点Y，利用待定系数法求出直线BC的解析式，令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，利用互相平行直线斜率一样可设直线AR的解析式为，然后代入A点坐标算出t的值，可得直线AR的解析式；由同高三角形的面积之比等于对应底之比得，由平行线分线段成比例定理得，可推出，由平行线间的距离相等及同底等高是哪些面积相等得是定值，是定值，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形CYHE是平行四边形，可知当最大时，最大；根据点的坐标与图形性质设，则，可知，利用二次函数的性质可知面积最大值时；过点作交于点，求出直线的解析式为，则可求出直线的解析式为，联立与，求出，由线段在直线上移动，点不动，利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，判定，则，在上取点，使得，则，则的周长为，当且仅当，，依次共线时取最小值，利用中点求出，即可求解；
（3）先由抛物线绕着原点旋转求出新抛物线解析式为，利用轴，轴，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，得出四边形是正方形，当点在上方时，直线的解析式为，与联立求出，即可求解；当点在下方时，同理可得．
（1）解：令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
则，
∵与分别以、为底，且等高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，其中，，是定值，
则是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是定值，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，
此时最大，
将代入，得，
即此时；
如图，过点作交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：，
∴，
由线段在直线上移动，点不动，
利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取点，使得，
∴，
∴的周长为，
利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图，
由，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，
设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点，
则，
化简新抛物线解析式为，
∵轴，轴，轴与轴垂直，
∴轴，，
∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，四边形是正方形，
∴，
①当点在上方时，
设与轴交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
同理可得直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴．
24．（2025·广东模拟）请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”．
例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点P为的“相似点” ；
（2）解：由题意得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）证明：延长交于点，如图所示：
∵点G是的“相似点”，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由条件可推出，证即可；
（2）由题意得，可推出，再证即可；
（3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可.
1 / 1广东省2025年初中学业水平模拟考试数学试卷（二）
1．（2025·广东模拟）2025的绝对值是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·广东模拟）截至年月日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含预售及海外）已突破亿元人民币．该票房数值用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东模拟）国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·广东模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·广东模拟）设是一元二次方程的两根，则（　　）
A．2 B． C． D．10
6．（2025·广东模拟）如图，直线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·广东模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·广东模拟）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·广东模拟）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
10．（2025·广东模拟）如图，在中，，，．如果D、E分别为、上的动点，那么的最小值是（　　）
A． B．5 C． D．6
11．（2025·广东模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·广东模拟）若，，且满足，则的值为　 　．
13．（2025·广东模拟）若关于x的方程x2+(k-2)x+k2=0的两根互为倒数，则k=　 　
14．（2025·广东模拟）如图，是一个模具的截面图，中间凹槽部分是一段圆弧，已知凹槽部分的宽，凹槽部分最深处，则凹槽所在圆的半径为　 　.．
15．（2025·广东模拟）如图，矩形的顶点在的图象的一个分支上，点和点在边上，，连接，轴，则的值为　 　．
16．（2025·广东模拟）计算：．
17．（2025·广东模拟）如图，在△ABC中，，．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线交AC于点D（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BD，求的度数．
18．（2025·广东模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为？（结果精确到，参考数据：，，）
19．（2025·广东模拟）为了了解某学校八年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽取了该学校八年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图．
（1）根据以上信息，回答下列问题．
①求m的值；
②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数；
③补全条形统计图．
（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数．
20．（2025·广东模拟）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．某商场预测今年端午节期间A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，那么该商场节前最多购进多少千克A粽子？
21．（2025·广东模拟）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的长．
22．（2025·广东模拟）如图，有三种卡片，其中边长为的正方形卡片有4张，边长分别为的矩形卡片有12张，边长为的正方形卡片有9张．
（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为______；
（2）用这25张卡片拼成一个正方形，求这个正方形的边长；（用含的代数式表示）
（3）取其中的若干张拼成一个矩形（三种卡片都要用到且不重叠），使其面积为，则可能的整数值有______个．
23．（2025·广东模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于、两点（点在点的左侧），与y轴交于点，连接、，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作，交抛物线于点，连接交于点，当面积最大时，线段在直线上移动，求的周长最小值及此时点的坐标；
（3）抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，点是新抛物线对称轴左侧的一个动点，过点作轴，过点作轴，直线与直线相交与点，连接，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，请直接写出点的坐标，并写出一个点的求解过程．
24．（2025·广东模拟）请阅读下面材料，并完成相关任务：
定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”．
例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴的绝对值是，
故答案为：C．
【分析】根据一个正数的绝对值等于其本身，可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意可得：亿；
故答案为：A.
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两根，
∴，，
∴
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系，利用完全平方公式变形后求解．
6．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】由二直线平行，同位角相等可得，然后再根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得∠3=∠4-∠2，从而代值计算可得答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：如图，作交于，
，
由题意可得：，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】作BD⊥AC于点D，利用方格纸的特点及正切函数的定义“一个角的正切值等于其对边比邻边”计算即可得解．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根，
，解不等式，得：，
解得：，
且，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于的不等式组求解．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：延长到点F，使得，连接，
∵，，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴=，
根据垂线段最短，的最小值就是的高，
过点F作于点G，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证明直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得到，，从而有=，根据垂线段最短原理，得到的最小值就是的高，利用勾股定理求得BC，再利用三角形面积求出即可．
11．【答案】a（a-7）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式=a（a-7）.
故答案为：a（a-7）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】或
【知识点】有理数的乘方法则；绝对值的概念与意义；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，；
当时，，．
故答案为：或.
【分析】利用有理数的乘方及绝对值的意义，分别求出x与y的值，再结合 确定的值．
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】由根与系数的关系知， ， 两根互为倒数，则k2=1， k=±1，
∵方程有两个实数根， ， 当k=1时，代入△<0，不成立，故K=-1
【分析】二次方程两根互为倒数，则两根之积等于1， 求出k值，但要保证△≥0.
14．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OC，
由题意得O、C、Q三点共线，且，
∵，
∴由垂径定理可知，
设圆的半径为，，
则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴凹槽所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】设凹槽部分圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OC，由题意得由题意得O、C、Q三点共线，利用垂径定理“平分弧得直径，垂直平分这条弧所对的弦”求出，在Rt△AOC中，利用勾股定理建立方程，求解即可.
15．【答案】-4
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示，设与轴交于点，过点作轴于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
在中，，
∵，且轴，
∴，即是等腰直角三角形，
∵轴，
∴，
∴，
∴，且点在第二象限，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
故答案为：-4 ．
【分析】作DH⊥x轴于点H，设AD与x轴交于点G，由矩形的性质得∠A=90°，由点E、F的坐标可得OE=OF=1，则△EOF是等腰直角三角形，从而易得△AEG、△DGH都为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质算出EF=AE=AG=，由平行线间距离相等得DH=OF=1，再由等腰直角的性质得HG=GD=1，然后算出OH的长即可得出点D的坐标，最后将点D的坐标代入 即可算出k的值.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再去绝对值，再计算加减法．
17．【答案】（1）解：如图设所示：∴直线MN和点D就是所求作的图形．

（2）解：∵的垂直平分线交AC于点D，∴．
∴．
∵，
∴
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用作线段AB的垂直平分线解答即可．
（2）根据等边对等角和三角形的内角和求出然后根据线段的垂直平分线得到，即可得到然后根据角的和差解答即可．
18．【答案】解：如图，作于H，作地面于P，
由题知，，
∴，
∴坐垫C离地面高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作CH⊥AB于点H，作AP⊥地面于P，由∠ABE的正弦函数可算出CH的长，最后根据坐垫C离地面高度等于CH+AP，代值计算可得答案.
19．【答案】解：（1）①∵课外阅读时间为2小时的所在扇形的圆心角为90°，
∴它所占的百分比为，
∵课外阅读时间为2小时的有15人，
∴抽取的该学校八年级的人数为m=15÷=60；
②∵阅读时间为5小时的有5人，
∴扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角为；
③第三小组的频数为：60-10-15-10-5=20，
补全条形统计图为：
（2）∵课外阅读时间为3小时的有20人，人数最多，
∴众数为 3小时；
∵共60人，中位数应该是第30和第31人的平均数，且第30和第31人阅读时间均为3小时，
∴中位数为3小时；
平均数：．
【知识点】条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）①根据2小时所占扇形的圆心角的度数确定其所占的百分比，然后根据条形统计图中2小时的人数求得m的值；
②结合周角是360度进行计算；
③求得总人数后减去其他小组的人数即可求得第三小组的人数；
（2）利用众数、中位数的定义及平均数的计算公式求解．
20．【答案】（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，
根据题意，得：，
解得：．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，
根据题意得：，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，利用“ 节前用240元购进A粽子的数量与节后用200元购进的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据“ 总费用不超过4600元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设该商场节后每千克A粽子的进价为元，则节前每千克A粽子的进价为元，根据题意，得：
，
解得．
检验：当时，是原分式方程的根，且符合题意．
答：该商场节后每千克A粽子的进价是10元．
（2）解：设该商场节前购进千克A粽子，则节后购进千克A粽子，根据题意得：
，
解得：．
答：该商场节前最多购进300千克A粽子．
21．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴在中，．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再根据旋转性质可得，，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得AB，再根据旋转性质可得，，，根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：这25张卡片拼成一个正方形面积为，
这个正方形的边长为；
（3）2
【知识点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）取甲、乙卡片各一张，其面积和为
故答案为：；
（3）拼成一个矩形面积为
能分解成两个因式的积
或
当时，；
当时，，
可能的整数值有2个．
故答案为：2.
【分析】（1）先分别计算甲，乙的面积，再求其和即可；
（2）先求出25个卡片的总面积，再求其算术平方根即可；
（3）根据题意知能分解成两个因式的积，再对其进行因式分解即可．
23．【答案】（1）解：令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
则，
∵与分别以、为底，且等高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，其中，，是定值，
则是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是定值，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，
此时最大，
将代入，得，
即此时；
如图，过点作交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：，
∴，
由线段在直线上移动，点不动，
利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取点，使得，
∴，
∴的周长为，
利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图，
由，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点，
则，
化简新抛物线解析式为，
∵轴，轴，轴与轴垂直，
∴轴，，
∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，四边形是正方形，
∴，
①当点在上方时，
设与轴交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
同理可得直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数图象的对称变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）先令抛物线y=ax2+bx-2中的，算出对应的y的值，得C(0，2)，则OC=2，再利用∠ABC的正切函数值求出OB的长，从而得到点B(4，0)，然后将点B的坐标及（6，7）分别代入y=ax2+bx-2可得关于字母a、b的二元一次方程组，求解得出a、b的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH∥y轴交BC于点E，交AR于点H，设AR与y轴交于点Y，利用待定系数法求出直线BC的解析式，令抛物线解析式中的y=0算出对应的x的值，可得点A的坐标，利用互相平行直线斜率一样可设直线AR的解析式为，然后代入A点坐标算出t的值，可得直线AR的解析式；由同高三角形的面积之比等于对应底之比得，由平行线分线段成比例定理得，可推出，由平行线间的距离相等及同底等高是哪些面积相等得是定值，是定值，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形CYHE是平行四边形，可知当最大时，最大；根据点的坐标与图形性质设，则，可知，利用二次函数的性质可知面积最大值时；过点作交于点，求出直线的解析式为，则可求出直线的解析式为，联立与，求出，由线段在直线上移动，点不动，利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，判定，则，在上取点，使得，则，则的周长为，当且仅当，，依次共线时取最小值，利用中点求出，即可求解；
（3）先由抛物线绕着原点旋转求出新抛物线解析式为，利用轴，轴，将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，得出四边形是正方形，当点在上方时，直线的解析式为，与联立求出，即可求解；当点在下方时，同理可得．
（1）解：令，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
得，
∴，
将，代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点作轴交于点，交于点，设与轴交于点，
设直线的解析式为，
将，代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
令，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为，
将代入，
得：，
解得：，
则直线的解析式为，
则，
∵与分别以、为底，且等高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，其中，，是定值，
则是定值，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴是定值，
∴当最大时，最大，
设，则，
∴，
∵，
当时，最大，
此时最大，
将代入，得，
即此时；
如图，过点作交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：，
∴，
由线段在直线上移动，点不动，
利用相对运动，我们可以看作线段不动，点在直线上运动，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取点，使得，
∴，
∴的周长为，
利用两点之间线段最短，得，当且仅当，，依次共线时取最小值，如图，
由，，，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长最小值为；
（3）解：由抛物线绕着原点旋转得到新抛物线，即两抛物线关于原点对称，
设是新抛物上任意一点，则是原抛物上任意一点，
则，
化简新抛物线解析式为，
∵轴，轴，轴与轴垂直，
∴轴，，
∵将沿着直线翻折，若点N的对应点恰好落在轴上，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，四边形是正方形，
∴，
①当点在上方时，
设与轴交于点，如图，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴；
②当点在下方时，
同理可得直线的解析式为，
联立与，
得：，
解得：（正值舍），
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴点P为的“相似点” ；
（2）解：由题意得：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）证明：延长交于点，如图所示：
∵点G是的“相似点”，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由条件可推出，证即可；
（2）由题意得，可推出，再证即可；
（3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可.
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