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广西壮族自治区南宁市2025年初中毕业班模拟训练（一）数学
1．（2025·南宁模拟）下列各数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·南宁模拟）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】平面内， 把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·南宁模拟）年月日，自治区统计局和国家统计局广西调查总队联合公布今年一季度广西经济主要数据，一季度全区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·南宁模拟）铜鼓是我国古代南方少数民族使用的打击乐器和礼器，世界上最重的铜鼓王出土于广西、如图是铜鼓的实物图，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可得选项B的图形，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
5．（2025·南宁模拟）壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： ∵学校设置了 “碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，
∴小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是，
故答案为：B．
【分析】直接根据概率公式求解．
6．（2025·南宁模拟）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向
C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
A、丙家在甲家南偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
B、 甲家在丙家北偏西方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
C、甲家在乙家北偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
D、 丙家在乙家北偏东方向，故此选项原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，据此逐一分析如下：
A、以甲家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到丙家的方向线，角度是30°，所以丙家在甲家南偏东30°方向，而不是北偏西30°方向，因此选项A错误；
B、以丙家为观测点，从正北方向开始，逆时针旋转到甲家的方向线，角度是30°，所以甲家在丙家北偏西30°方向，而不是南偏东30°方向，因此选项B错误；
C、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是50°，所以甲家在乙家北偏东50°方向，而不是南偏西50°方向，因此选项B错误；
D、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是80°，所以丙家在乙家北偏东80°方向，因此选项D正确.
7．（2025·南宁模拟）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出.
故答案为：A．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，这这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为x=(a＞0)，据此先计算25的算术平方根；然后根据无理数定义“无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数”据此判断计算结果是不是无理数，是就输出，不是就回到程序再求算术平方根，直至计算结果是无理数止.
8．（2025·南宁模拟）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：设梯子的长度为L，
根据正弦的定义得出：，
∴
∵5＞0，
∴L随的增大而减小
又∵随着α的增大，增大，
∴当时，L取得最小值为：.
故答案为：B.
【分析】设梯子的长度为L，根据正弦函数的定义得出，根据反比例函数的性质得L随的增大而减小，由根据正弦函数的性质得随着α的增大，增大，故当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案．
9．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不合题意；
D、，该选项错误，不合题意.
故答案为：B．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相减进行计算可判断A选项；由积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算可判断B选项；由单形式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
10．（2025·南宁模拟）《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业具有巨大的发展潜力，未来将对国民经济作出重要贡献年我国低空经济规模为万亿元，预计年我国低空经济规模将达到万亿元.如果设这两年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：年我国低空经济规模为万亿元，年平均增长率为，
年低空经济规模为万亿元，
则年低空经济规模为万亿元，
又预计年我国低空经济规模将达到万亿元，
．
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
11．（2025·南宁模拟）关于的二次函数（为常数，）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的二次函数，
抛物线与轴的交点为，对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，抛物线与轴的交点在负半轴，对称轴在轴的左侧，
故选项B符合题意，选项A不符合题意；
当时，抛物线开口向下，抛物线与轴的交点在正半轴，对称轴在轴的右侧，
故选项C、D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】令抛物线y=ax2+a2x-3a中的x=0，算出对应的函数值，可得其与y轴交点坐标为（0，-3a），由对称轴直线公式可得该抛物线的对称轴直线为，然后分a＞0与a＜0两种情况，判断出抛物线的开口方向、对称轴位置及与轴交点大致位置，从而逐项判断即可．
12．（2025·南宁模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，，，为定点，
点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接，
，即
点在四边形内部（含边界），
当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示，
四边形为菱形，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，连接DN，由三角形三边关系得，结合折叠性质得，即， 可推出当点N正好落在AD边上时，DN最短；由菱形对角相等得∠D=∠ABC=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形的△DEN是等边三角形，进而再根据等边三角形的三边相等可得DN的长，从而可德答案.
13．（2025·南宁模拟）分解因式： 　 　.
【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
14．（2025·南宁模拟）若式子有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，建立不等式，求解即可.
15．（2025·南宁模拟）已知是方程组的解，则　 　 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
得，解得；
得，解得；
∴
故答案为：1．
【分析】根据方程组解的定义，x=2与y=-3代入原方程组可得到关于字母a，b的二元一次方程组，用两式相减可得，利两式相加可得，最后整体代入待求式子，按有理数乘法法则计算可得答案.
16．（2025·南宁模拟）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图，
点是内切圆的圆心，
，，，，，
四边形是正方形，
，
，，
，，
在中，，
内切圆的半径，
点坐标为，
，
，，
，即点到三边距离都相等，
每次滚动后圆心的纵坐标都为1，
第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为；
第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为；
第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为；
每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，
，
点的横坐标为：，
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】设内切圆与OA，OB，AB的切点分别为F，E，G，连接PE，PF，PG，根据勾股定理求得AB，根据切线的性质及正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出四边形FOEP是正方形，则OF=OE=PF=PE；由切线长定理得AF=AG及BG=BE，OF=OE，从而可求出圆的半径为1，则PE=PF=PG=1，即点P到三角形三边得距离都为1，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，因此P的坐标为；根据线段和差和差算出BE=2，AF=3，然后计算P1、P2、P3的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案．
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂性质“”、二次根式的性质及绝对值的代数意义分别化简，再计算加减法即可得出答案；
（2）先把小括号内被减数 “1”看成，利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，进而根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数把除法变成乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可.
18．（2025·南宁模拟）如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
19．（2025·南宁模拟）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染）
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出 ， ，并补全条形统计图．
（2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人．
（3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）．
【答案】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一）
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数；根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，据此可补全条形统计图；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组，由题意可知，C组共三个数据，分别是94、90、94，从而即可解答；
（2）用该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别乘以样本中七、八年级成绩的优秀率，再求和，即可估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生人数；
（3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，
故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．
20．（2025·南宁模拟）某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：包） 总费用（单位：元）
红色气球 黄色气球
3 4 85
2 3 60
（1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？
（2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？
【答案】（1）解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元，
根据题意得：，
解得：
答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元；
（2）解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
答：该中学至少可以购买包黄色气球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设红色气球每包为x元，黄色气球每包为y元，利用总价=单价×数量及“购买3包红色气球的费用+购买4包黄色气球的费用=85，购买2包红色气球的费用+购买3包黄色气球的费用=60”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买黄色气球为m包，则购买红色气球为(100-m)包，利用总价=单价×数量，结合购买（100-m）包红色气球的费用+购买m包黄色气球的费用不超过元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论．
（1）解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元，
根据题意得：，
解得：
答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元；
（2）解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
答：该中学至少可以购买包黄色气球．
21．（2025·南宁模拟）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）．
（1）当时，求证：；
（2）连接，交半径于点M，已知．
①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值；
②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
∴，
∵，半径为2，
∴，
，
，
∴；
②当时，如图，
，
，
，
由（1）知，不符合题意；
当时，连接，，
和是的两条直径，
，
，
，
∴EO⊥BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
当时，连接，设与交于G，
，
，
，，
是直径，
，
，
∴，
，
，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
∴，
，
∴，
综上所述，线段的长或．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角可得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边成比例即可得解；
（2）①过P作于H，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三角形重心定义（三角形三边中线的交点就是三角形的重心）可得PE=CE，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PD=CD=4，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而根据对顶角相等及余弦函数的定义可求解；
②分三种情况讨论，①当时，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得此种情况不符合题意；②当时，连接，，由直径所对的圆周角是直角得∠BEA=∠DEC=90°，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得OE⊥BD，由等腰三角形的三线合一得∠BEO=∠DEO，由等边对等角及三角形外角性质及角的构成推出∠EOP=∠DEB=2∠DEO，由同角的余角相等推出∠PEA=∠BED=∠EOP，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PEA∽△POE，进而根据相似三角形对应边成比例即可得解；③当时，连接，设与交于G，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得CD⊥BE，BG=EG，由同位角相等两直线平行得EA∥CD，由平行线分线段成比例定理可推出PE=CE，则AE是△POC的中位线，易得OG是△BAE的中位线，由三角形的中位线等于第三边的一半可得，，再根据勾股定理即可得解．
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
∴，
∵，半径为2，
∴，
，
，
∴；
②当时，如图，
，
，
，
由（1）知，不符合题意；
当时，连接，，
和是的两条直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
当时，连接，设与交于G，
，
，
，，
是直径，
，
，
∴，
，
，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
∴，
，
∴，
综上所述，线段的长或．
22．（2025·南宁模拟）【模型构建】
如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，
①则点坐标为______；点坐标为______；
②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______；
（2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
【答案】解：（1）①，；②；
（2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，
则，
，
，
直线绕点逆时针旋转得到直线，
，
是等腰直角三角形，则，
，
，，
一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点
当时，，当时，由得，
，，
，，
，，
，
设直线对应的函数表达式为，
将、代入，得，解得，
直线对应的函数表达式为；
（3）点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，由，解得，
点坐标为：点坐标为；
故答案为：，．
②在图中，过作于，
，
，
，
，
点坐标为，点坐标为，
，
，
，
，
在中，；
是正比例函数图象上的两个动点，
根据垂线段最短，得的最小值是的长，
故的最小值是；
（3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作，交延长线于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）①分别令直线y=x-6中的和，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标；
②过作于，由同角的余角相等得出∠OBC=∠AOD'，从而用AAS证△BOC≌△OAD'，由全等三角形的对应边相等得到BC=OD'=4，利用勾股定理求得AD'，根据垂线段最短得AD的最小值是AD'的长，进而可求解；
（2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，由同角的余角相等得∠OAB=∠DBC，由旋转的性质可证明△ABC是等腰直角三角形，且，从而用AAS判断出△AOB≌△BDC，由全等三角形的对应边相等得到，；分别令直线y=-2x+4中的和，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，进而求得，然后利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）当n＜3时，过点作轴于，过点作于，由同角的余角相等得∠1=∠3，从而用ASA证明，由全等三角形的对应边相等得QT=PS=2，PT=SC=3-n，则ST=5-n，从而可得点Q（2+n，n-5），将点Q的坐标代入直线y=-2x+3可求出n的值，从而求出Q点坐标；n＞3时， 过点作轴于，过点作，交延长线于， 由同角的余角相等得∠2=∠3，从而用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得QT=PS=2，PT=SC=n-3，则ST=n-1，从而可得点Q（n-2，1-n），将点Q的坐标代入直线y=-2x+3可求出n的值，从而求出Q点坐标，综上可得答案.
23．（2025·南宁模拟）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论．
【特殊化感知】
（1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______；
【一般化探究】
（2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）；
【拓展性延伸】
（3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）5
（2）解：∵正方形纸片，，，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故的周长为：，
故的周长为；
（3）解：∵正方形纸片，，，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故的周长为：，
故的周长为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5；
【分析】（1）由正方形性质得AB=BC=CD=D=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由中点定义得，设，则，由中点性质得PM=BM=8-x，在Rt△PCM中，根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案；
（2）设，则，在Rt△PCM中，利用勾股定定理建立方程可求出得到，则，由折叠性质得∠MPQ=∠B=90°，从而由同角的余角相等得∠MPC=∠PQD，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MPC∽△PQD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求得，然后利用勾股定理表示出PQ，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可；
（3）设，，由正方形性质得，，则，设，则，在Rt△PCM中，利用勾股定定理建立方程可求出得到，则，由折叠性质得∠MPQ=∠B=90°，从而由同角的余角相等得∠MPC=∠PQD，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MPC∽△PQD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求得，然后利用勾股定理表示出PQ，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可.
1 / 1广西壮族自治区南宁市2025年初中毕业班模拟训练（一）数学
1．（2025·南宁模拟）下列各数中，是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·南宁模拟）下列标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·南宁模拟）年月日，自治区统计局和国家统计局广西调查总队联合公布今年一季度广西经济主要数据，一季度全区生产总值亿元，其中数据“亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·南宁模拟）铜鼓是我国古代南方少数民族使用的打击乐器和礼器，世界上最重的铜鼓王出土于广西、如图是铜鼓的实物图，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·南宁模拟）壮族“三月三”民族文化活动中，学校设置了“碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·南宁模拟）甲、乙、丙三家的位置如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．丙家在甲家北偏西方向 B．甲家在丙家南偏东方向
C．甲家在乙家南偏西方向 D．丙家在乙家北偏东方向
7．（2025·南宁模拟）如图是一个数值转换器，当输入的值为时，输出的值是（　　）
A． B． C．2 D．4
8．（2025·南宁模拟）要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足，如果现在想要安全地攀上高的墙，那么使用的梯子最短约为（　　）．（结果精确到）
A．4.9 B．5.2 C．6.5 D．19.2
9．（2025·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·南宁模拟）《低空经济产业发展白皮书》指出，我国低空经济产业具有巨大的发展潜力，未来将对国民经济作出重要贡献年我国低空经济规模为万亿元，预计年我国低空经济规模将达到万亿元.如果设这两年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·南宁模拟）关于的二次函数（为常数，）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2025·南宁模拟）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（　　）
A．2 B． C．4 D．
13．（2025·南宁模拟）分解因式： 　 　.
14．（2025·南宁模拟）若式子有意义，则的取值范围是　 　．
15．（2025·南宁模拟）已知是方程组的解，则　 　 ．
16．（2025·南宁模拟）如图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，依此规律，第2025次滚动后，内切圆的圆心的坐标是　 　．
17．（2025·南宁模拟）（1）计算：；
（2）化简：．
18．（2025·南宁模拟）如图，已知，．
（1）尺规作图：在上找出点，使点到两边的距离相等；
（2）根据（1）所求点，以点为圆心，长为半径作，求证：直线与相切．
19．（2025·南宁模拟）某校提倡数学学习与生活紧密结合，数学问题要源于生活，用于生活．为此学校开展了以“生活中的数学”为主题的知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99 80 99 86 99 96 90 100 89 82
八年级10名学生的竞赛成绩是： 94 90 94 （部分数据被污染）
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
七年级 92 93 a 52
八年级 92 b 100 50.4
八年级抽取的学生竞赛成绩条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出 ， ，并补全条形统计图．
（2）该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别为600人和700人，估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀（）的学生共有多少人．
（3）分析上述信息，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握“生活中的数学”知识较好？请说明理由（一条即可）．
20．（2025·南宁模拟）某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表：
购买数量（单位：包） 总费用（单位：元）
红色气球 黄色气球
3 4 85
2 3 60
（1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？
（2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？
21．（2025·南宁模拟）如图1，和是半径为2的的两条直径，点P是延长线上的一点．连接交于点E（点E在线段上，且不与点P、点C重合）．
（1）当时，求证：；
（2）连接，交半径于点M，已知．
①连接，如图2，当点M是的重心时，求的余弦值；
②连接、，当为等腰三角形时，求线段的长．
22．（2025·南宁模拟）【模型构建】
如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，
①则点坐标为______；点坐标为______；
②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是______；
（2）如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标．
23．（2025·南宁模拟）在综合与实践活动中，“特殊到一般”是一种常用的方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图1，在正方形纸片中，点是边上一动点（不与端点重合）．折叠正方形纸片，使点与点重合，折痕分别交边、于点M、N，的对应边为，与交于点．探究的周长与边的等量关系，并证明你的结论．
【特殊化感知】
（1）先从简单的、特殊的情况开始研究：若，点恰好是边的中点，则______；
【一般化探究】
（2）对正方形的边长一般化处理，并改变点的位置：如图2，若，求的周长（用含的代数式表示）；
【拓展性延伸】
（3）通过（1）（2）的解决，可猜想出的周长与边的等量关系．但由于边长的一般化及点位置的不确定，会导致、、的长度也不确定，从而使代数计算显得非常繁琐，那能否从几何角度证明若干个不确定的长度之和是确定的呢？请猜想的周长与边的等量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A． 是无理数，
∴此选项不符合题意；
B． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
C． 为无理数，
∴此选项不符合题意；
D．∵是分数，
∴是有理数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：D．
【分析】 根据无理数的定义“无理数是指无限不循环小数”与有理数的定义“整数和分数统称为有理数”并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】平面内， 把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：D．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可得选项B的图形，
故答案为：B．
【分析】利用三视图的定义并结合图形分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： ∵学校设置了 “碰彩蛋”“抛绣球”“竹竿舞”三项民俗体验项目，
∴小宁随机抽取一项参加，则抽中“抛绣球”的概率是，
故答案为：B．
【分析】直接根据概率公式求解．
6．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：如图，
A、丙家在甲家南偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
B、 甲家在丙家北偏西方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
C、甲家在乙家北偏东方向，故此选项原说法错误，不符合题意；
D、 丙家在乙家北偏东方向，故此选项原说法正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，据此逐一分析如下：
A、以甲家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到丙家的方向线，角度是30°，所以丙家在甲家南偏东30°方向，而不是北偏西30°方向，因此选项A错误；
B、以丙家为观测点，从正北方向开始，逆时针旋转到甲家的方向线，角度是30°，所以甲家在丙家北偏西30°方向，而不是南偏东30°方向，因此选项B错误；
C、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是50°，所以甲家在乙家北偏东50°方向，而不是南偏西50°方向，因此选项B错误；
D、以乙家为观测点，从正北方向开始，顺时针旋转到甲家的方向线，角度是80°，所以丙家在乙家北偏东80°方向，因此选项D正确.
7．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出.
故答案为：A．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，这这个正数x就是a的算术平方根，用符号表示为x=(a＞0)，据此先计算25的算术平方根；然后根据无理数定义“无限不循环的小数就是无理数，常见无理数有①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数”据此判断计算结果是不是无理数，是就输出，不是就回到程序再求算术平方根，直至计算结果是无理数止.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：设梯子的长度为L，
根据正弦的定义得出：，
∴
∵5＞0，
∴L随的增大而减小
又∵随着α的增大，增大，
∴当时，L取得最小值为：.
故答案为：B.
【分析】设梯子的长度为L，根据正弦函数的定义得出，根据反比例函数的性质得L随的增大而减小，由根据正弦函数的性质得随着α的增大，增大，故当时，L取得最小值，代入数值计算即可得出答案．
9．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项错误，不合题意；
B、，该选项正确，符合题意；
C、，该选项错误，不合题意；
D、，该选项错误，不合题意.
故答案为：B．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相减进行计算可判断A选项；由积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算可判断B选项；由单形式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，进行计算可判断C选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
10．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：年我国低空经济规模为万亿元，年平均增长率为，
年低空经济规模为万亿元，
则年低空经济规模为万亿元，
又预计年我国低空经济规模将达到万亿元，
．
故答案为：D．
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式列出方程即可.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：关于的二次函数，
抛物线与轴的交点为，对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，抛物线与轴的交点在负半轴，对称轴在轴的左侧，
故选项B符合题意，选项A不符合题意；
当时，抛物线开口向下，抛物线与轴的交点在正半轴，对称轴在轴的右侧，
故选项C、D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】令抛物线y=ax2+a2x-3a中的x=0，算出对应的函数值，可得其与y轴交点坐标为（0，-3a），由对称轴直线公式可得该抛物线的对称轴直线为，然后分a＞0与a＜0两种情况，判断出抛物线的开口方向、对称轴位置及与轴交点大致位置，从而逐项判断即可．
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；点与圆的位置关系；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，，，为定点，
点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接，
，即
点在四边形内部（含边界），
当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示，
四边形为菱形，，
，
又，
是等边三角形，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据题意可知点N在以E为圆心，DE长为半径的圆上运动，连接DN，由三角形三边关系得，结合折叠性质得，即， 可推出当点N正好落在AD边上时，DN最短；由菱形对角相等得∠D=∠ABC=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形的△DEN是等边三角形，进而再根据等边三角形的三边相等可得DN的长，从而可德答案.
13．【答案】2（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）.
故答案为：2（m+3）（m-3）.
【分析】先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可.
14．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】由二次根式的被开方数不能为负数及分式的分母不能为零，建立不等式，求解即可.
15．【答案】1
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
得，解得；
得，解得；
∴
故答案为：1．
【分析】根据方程组解的定义，x=2与y=-3代入原方程组可得到关于字母a，b的二元一次方程组，用两式相减可得，利两式相加可得，最后整体代入待求式子，按有理数乘法法则计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：设内切圆与，，的切点分别为，，，连接，，，如图，
点是内切圆的圆心，
，，，，，
四边形是正方形，
，
，，
，，
在中，，
内切圆的半径，
点坐标为，
，
，，
，即点到三边距离都相等，
每次滚动后圆心的纵坐标都为1，
第1次滚动后点的横坐标为：，即点的坐标为；
第2次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为；
第3次滚动后点的横坐标为：，点的坐标为；
每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加，
，
点的横坐标为：，
则点的坐标为，
故答案为：．
【分析】设内切圆与OA，OB，AB的切点分别为F，E，G，连接PE，PF，PG，根据勾股定理求得AB，根据切线的性质及正方形的判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”得出四边形FOEP是正方形，则OF=OE=PF=PE；由切线长定理得AF=AG及BG=BE，OF=OE，从而可求出圆的半径为1，则PE=PF=PG=1，即点P到三角形三边得距离都为1，可知每次滚动后圆心的纵坐标都为1，因此P的坐标为；根据线段和差和差算出BE=2，AF=3，然后计算P1、P2、P3的横坐标，得出每滚三次一个循环，每个循环横坐标增加12，进而可求得答案．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据零指数幂法则“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂性质“”、二次根式的性质及绝对值的代数意义分别化简，再计算加减法即可得出答案；
（2）先把小括号内被减数 “1”看成，利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，同时将除式的分子利用平方差公式分解因式，进而根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数把除法变成乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由题意，作的角平分线，与的交点即为所求的M点；
（2）过点作，垂足为．由（1）知为的平分线，则，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，即为半径．，然后根据圆的切线的判定即可求解．
（1）解：如图所示，点为所求．
（2）证明：如图，过点作，垂足为．
点到两边的距离相等，
为的平分线．
，
，
，
，
长为半径，
为半径，
直线与相切．
19．【答案】（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．（答案不唯一）
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此找出七年级成绩出现次数最多的数即为七年级成绩的众数；根据各个组的频数之和为10，可求出的八年级B组的人数，据此可补全条形统计图；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此可得八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组，由题意可知，C组共三个数据，分别是94、90、94，从而即可解答；
（2）用该校七、八年级参加此次竞赛活动的人数分别乘以样本中七、八年级成绩的优秀率，再求和，即可估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀的学生人数；
（3）从中位数、众数的角度得出八年级的成绩较好．
（1）解：七年级10名学生的竞赛成绩中出现次数最多的是99，共出现3次，
故众数为99，即，
八年级B组的人数为，
八年级10名学生的竞赛成绩的中位数应该是从小大大排列后的第5个和第6个学生竞赛成绩的平均数，即处在C组：，由题意可知，C组共三个数据，分别是，
∴中位数是，
即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
（2）解：由题意可得，（人）
答：估计在本次竞赛活动中七、八年级成绩优秀() 的学生共有人；
（3）解：八年级成绩较好，虽然七、八年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级的竞赛成绩的中位数、众数都比七年级的高，因此八年级的成绩较好．
20．【答案】（1）解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元，
根据题意得：，
解得：
答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元；
（2）解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
答：该中学至少可以购买包黄色气球．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设红色气球每包为x元，黄色气球每包为y元，利用总价=单价×数量及“购买3包红色气球的费用+购买4包黄色气球的费用=85，购买2包红色气球的费用+购买3包黄色气球的费用=60”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买黄色气球为m包，则购买红色气球为(100-m)包，利用总价=单价×数量，结合购买（100-m）包红色气球的费用+购买m包黄色气球的费用不超过元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值，即可得出结论．
（1）解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元，
根据题意得：，
解得：
答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元；
（2）解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最小值为，
答：该中学至少可以购买包黄色气球．
21．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
∴，
∵，半径为2，
∴，
，
，
∴；
②当时，如图，
，
，
，
由（1）知，不符合题意；
当时，连接，，
和是的两条直径，
，
，
，
∴EO⊥BD，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
当时，连接，设与交于G，
，
，
，，
是直径，
，
，
∴，
，
，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
∴，
，
∴，
综上所述，线段的长或．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OE，根据等边对等角可得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似可得，根据相似三角形的对应边成比例即可得解；
（2）①过P作于H，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据三角形重心定义（三角形三边中线的交点就是三角形的重心）可得PE=CE，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PD=CD=4，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而根据对顶角相等及余弦函数的定义可求解；
②分三种情况讨论，①当时，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得此种情况不符合题意；②当时，连接，，由直径所对的圆周角是直角得∠BEA=∠DEC=90°，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得OE⊥BD，由等腰三角形的三线合一得∠BEO=∠DEO，由等边对等角及三角形外角性质及角的构成推出∠EOP=∠DEB=2∠DEO，由同角的余角相等推出∠PEA=∠BED=∠EOP，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PEA∽△POE，进而根据相似三角形对应边成比例即可得解；③当时，连接，设与交于G，由圆心角、弧、弦得关系及垂径定理可得CD⊥BE，BG=EG，由同位角相等两直线平行得EA∥CD，由平行线分线段成比例定理可推出PE=CE，则AE是△POC的中位线，易得OG是△BAE的中位线，由三角形的中位线等于第三边的一半可得，，再根据勾股定理即可得解．
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过P作于H，
是直径，
，
，
∵点M是的重心，
，
∴，
∵，半径为2，
∴，
，
，
∴；
②当时，如图，
，
，
，
由（1）知，不符合题意；
当时，连接，，
和是的两条直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
，
当时，连接，设与交于G，
，
，
，，
是直径，
，
，
∴，
，
，
，
是的中位线，
，
，
是的中位线，
，
，
∴，
，
∴，
综上所述，线段的长或．
22．【答案】解：（1）①，；②；
（2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，
则，
，
，
直线绕点逆时针旋转得到直线，
，
是等腰直角三角形，则，
，
，，
一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点
当时，，当时，由得，
，，
，，
，，
，
设直线对应的函数表达式为，
将、代入，得，解得，
直线对应的函数表达式为；
（3）点Q的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①直线与轴，轴分别交于，两点，
当时，，当时，由，解得，
点坐标为：点坐标为；
故答案为：，．
②在图中，过作于，
，
，
，
，
点坐标为，点坐标为，
，
，
，
，
在中，；
是正比例函数图象上的两个动点，
根据垂线段最短，得的最小值是的长，
故的最小值是；
（3）根据题意，当时，如图，过点作轴于，过点作，交延长线于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为；
当时，过点作轴于，过点作，交延长线于，
，
，
，
，
，
又，
．
，，
，
点的坐标为，
将点的坐标代入得，，
解得：，
点的坐标为．
综上，点的坐标为或．
【分析】（1）①分别令直线y=x-6中的和，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标；
②过作于，由同角的余角相等得出∠OBC=∠AOD'，从而用AAS证△BOC≌△OAD'，由全等三角形的对应边相等得到BC=OD'=4，利用勾股定理求得AD'，根据垂线段最短得AD的最小值是AD'的长，进而可求解；
（2）在图2中，过作交直线于，过作轴于，由同角的余角相等得∠OAB=∠DBC，由旋转的性质可证明△ABC是等腰直角三角形，且，从而用AAS判断出△AOB≌△BDC，由全等三角形的对应边相等得到，；分别令直线y=-2x+4中的和，算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标，进而求得，然后利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）当n＜3时，过点作轴于，过点作于，由同角的余角相等得∠1=∠3，从而用ASA证明，由全等三角形的对应边相等得QT=PS=2，PT=SC=3-n，则ST=5-n，从而可得点Q（2+n，n-5），将点Q的坐标代入直线y=-2x+3可求出n的值，从而求出Q点坐标；n＞3时， 过点作轴于，过点作，交延长线于， 由同角的余角相等得∠2=∠3，从而用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得QT=PS=2，PT=SC=n-3，则ST=n-1，从而可得点Q（n-2，1-n），将点Q的坐标代入直线y=-2x+3可求出n的值，从而求出Q点坐标，综上可得答案.
23．【答案】（1）5
（2）解：∵正方形纸片，，，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故的周长为：，
故的周长为；
（3）解：∵正方形纸片，，，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故的周长为：，
故的周长为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵正方形纸片，，点恰好是边的中点，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
故答案为：5；
【分析】（1）由正方形性质得AB=BC=CD=D=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由中点定义得，设，则，由中点性质得PM=BM=8-x，在Rt△PCM中，根据勾股定理建立方程，求解即可得出答案；
（2）设，则，在Rt△PCM中，利用勾股定定理建立方程可求出得到，则，由折叠性质得∠MPQ=∠B=90°，从而由同角的余角相等得∠MPC=∠PQD，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MPC∽△PQD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求得，然后利用勾股定理表示出PQ，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可；
（3）设，，由正方形性质得，，则，设，则，在Rt△PCM中，利用勾股定定理建立方程可求出得到，则，由折叠性质得∠MPQ=∠B=90°，从而由同角的余角相等得∠MPC=∠PQD，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MPC∽△PQD，由相似三角形对应边成比例建立方程，求得，然后利用勾股定理表示出PQ，最后根据三角形周长计算公式列式计算即可.
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