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广西柳州市鱼峰区等2地2025年中考二模数学试题
1．（2025·柳北模拟）下面是我国几个城市某一年一月份的平均气温，温度最低的是（　　）
A．北京-4.6℃ B．武汉3.8℃
C．广州13.1℃ D．哈尔滨-19.4℃
【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|-4.6|=4.6，|-19.4|=19.4，而4.6＜19.4，
∴，
故答案为：D．
【分析】正数都大于0；负数都小于正数；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小，两个正数，绝对值大的就大，据此比较可得答案.
2．（2025·柳北模拟）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故A不符合题意；
能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故B不符合题意；
能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故C不符合题意；
不能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2025·柳北模拟）2024年柳州市旅游人数为120万人次，将120万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120万，
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·柳北模拟）要使有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”，据此列出不等式，求解即可．
5．（2025·柳北模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算错误，不符合题意；
C、，原选项运算正确，符合题意；
D、，原选项运算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断A选项；由单项式除以单项式，把系数与相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此计算判断B选项；由二次根式性质“”可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6．（2025·柳北模拟）如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意；
若添加∠B=∠D，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合；
若添加BC=DC，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合；
若添加∠BAC=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合；
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论．
7．（2025·柳北模拟）如图，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图，过B作，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=38°，过B作BD∥m，由二直线平行，内错角相等得∠4=∠ABD=38°，进而根据角的和差求出∠DBC=32°，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得BD∥N，最后再由二直线平行，内错角相等求出∠2=∠DBC=32°.
8．（2025·柳北模拟）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其二次项系数，
∴该函数图象开口向上，
∵对称轴为，
∴点到对称轴的距离为：，
点到对称轴的距离为：，
点就在对称轴上，到对称轴距离为，
∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大 ，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】由二次项系数a=1＞0，得出抛物线的开口向上，由对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线x=3，故抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，据此分别求出A、B、C三点到直线x=3的距离，再比较大小即可判断出y1、y2、y3的大小.
9．（2025·柳北模拟）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，列出关于x的一元二次方程即可．
10．（2025·柳北模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为
故答案为：B．
【分析】根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大”确定不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
11．（2025·柳北模拟）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：平分，，
，
，
，
，
点F为的中点，
，
的周长为：
，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形三线合一得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，然后利用勾股定理求得BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求得EF，最后求出的周长．
12．（2025·柳北模拟）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当0＜x≤4时，y＝=x2，
②当4＜x≤8时，y＝×4×4 2××（4 x）2＝ x2＋4x 8，
③当x＞8时，y＝8，
∴B选项的函数图象符合，
故答案为：B．
【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段，分别求出函数解析式即可判断；
13．（2025·柳北模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b ab3=ab(a b2).故答案为：ab(a b2).
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．（2025·柳北模拟）如果一个正n边形的一个外角是，那么　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 正n边形的一个外角是，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据正多边形的外角和为360度求解．
15．（2025·柳北模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为　 　cm.
【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，
∵DE＝8cm，OF⊥DE，
∴EF＝DE＝＝4（cm），
∵OC＝5cm，
∴OE＝OC＝5cm，
∴OF＝cm．
故答案为：3.
【分析】先根据垂径定理可得出EF的长，再根据勾股定理求出OF的长.
16．（2025·柳北模拟）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则　 　
【答案】或
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：在中，根据勾股定理，得.
∴.
如图，过点作交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由矩形的性质可知，，
又∵，
，
，
则，
，
，相似比为，
，
，
，
；
与的函数关系式为；
，
，
解得，或，
当时，或．
故答案为：或．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC=90°，由勾股定理得到AC=10，过点O作OH⊥BC于点H，由矩形的对角线相等且互相平分得OB=OC，由等腰三角形的三线合一得BH=CH，从而根据三角形的中位线定理得出OH=AB=3；然后利用ASA判断出△DOP≌△BOE，由全等三角形的对应边相等得BE=PD=8-x，从而根据三角形的面积公式表示出△BOE的面积；由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DFQ∽△DOC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△DFQ的面积；利用割补法，由表示出五边形OECQF的面积，然后根据五边形OECQF的面积与三角形ACD的面积之比为9∶16建立方程，求解即可.
17．（2025·柳北模拟）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则，二次根式性质，绝对值的代数意义将原式分别化简，再进行加减运算即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可.
（1）解：
；
（2）
．
18．（2025·柳北模拟）我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
A：无人机 36
B：交响乐团 　
C：诗歌鉴赏 16 b
D：木工制作 8 　
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的　 　，　 　；
（2）D对应扇形的圆心角为 　 　度；
（3）甲、乙两位同学参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
【答案】（1）80，
（2）36
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，
∴甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： (1)∵A的频数为36，占0.45，
∴，
∵C的频数为16，
∴，
故答案为：80，；
(2)∵D的频数为8，
∴D对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36；
【分析】（1）由A的频数除以频率得出a的值，即可解决问题；
（2）由乘以D所占的比例即可；
（3）画树状图，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，再由概率公式求解即可．
19．（2025·柳北模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：把点代入直线，
得，
解得：，
一次函数的解析式为；
把点代入，
得
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得：，
∴点的坐标为，
．
，
，
．
当代入，得，
当代入，得
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（3，1）代入y=x+m可算出m的值，从而得到一次函数的解析式；将点A（3，1）代入 算出k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求出点C的坐标，从而根据三角形面积计算公式求出△AOC的面积，进而根据已知条件可求出△POC的面积，接着根据三角形面积公式建立方程求出点P的纵坐标，最后将P点的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，即可得到点P的坐标.
（1）解：把点代入直线得，
解得：，
一次函数的解析式为；
把点代入得，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得：，
∴点的坐标为，
．
，
，
．
当代入，得，
当代入，得
∴点的纵坐标为，则，
点的坐标为或．
20．（2025·柳北模拟）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
（1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
【答案】（1）解①400；
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：400；
【分析】（1）①根据水量等于水速乘时间及水杯容量等于用时14s接的温水的体积+用时8s接的开水的体积，列式计算即可；
②根据“开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度” 列出方程，解方程即可；
（2）设嘉琪接温水的时间为xs，接开水的时间为ys，由“水杯容量等于用时xs接的温水得体积+用时ys接的开水得体积”及“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”列出二元一次方程组，再解方程即可.
（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得：
，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
21．（2025·柳北模拟）如图，等腰内接于，点是线段上异于，的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：连接，．
∵是等腰的外接圆，为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：设，则，
∴．
∵是直角三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）先证明，，从而有，再证明，进而得出结论；
（2）设，则，则有，然后根据勾股定理用a分别表示出PB与PE，再求出．
（1）证明：连接，．
因为是等腰的外接圆，为的中点，
所以，．
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
在中，，
所以．
所以．
所以是的切线．
（2）解：设，则，
此时．
由（1）知，是直角三角形．
由勾股定理可得：．
因为，
所以．
即．
解得．
所以．
所以．
22．（2025·柳北模拟）综合与实践
问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
问题提出：
科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述．
（1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题延伸：
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域．
（3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【答案】解：（1）； ；
（2）依题意，得，
解得，（舍），，
当时，，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，
∵，
∴，
∴，
在中，
当时，；
当时，．
∴．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，把代入一次函数解析式，
得：，
解得k=5，
∴x=5t；
设把，代入二次函数解析式，
，
解得：，
∴；
【分析】（1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，从而运用待定系数法求解即可；
（2）将y=0代入（1）所求的二次函数解析式，算出对应的自变量t的值，进而再将t的值代入一次函数解析式算出x的值，即可得到答案；
（3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，根据进行计算即可求解．
23．（2025·柳北模拟）综合与实践
【问题情境】
如图，在中，，，，是斜边的中线．
【初步探究】
（）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【深入思考】
将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．在旋转过程中，与交于点．
（）如图，当时，垂足为，与交于点，求线段的长．
（）在旋转的过程中，线段与交于点，当点与点重合时，求线段的长．
【答案】解：（1）四边形是矩形，理由如下：
在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知BD=B'D'，BD∥B'D'，BC=B'D，BC∥B'D，
∴AD=B'D'，AD∥B'D'，
∴四边形ADB'D'是平行四边形，
∴AD'=DB'，AD'∥DB'
∴AD'=CB，AD'∥BC，
∴四边形ACBD'是平行四边形，
∵，
∴四边形ACBD'是矩形；
（）∵，，，
∴，
∴，，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，，，
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（）当点与点重合时，如图，过点作于点，
由旋转和平移得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点不与点重合时，如图，过点作于点，
由旋转和平移得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，线段的长为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CD=BD=AD，由平移性质得BC=B'D，BC∥B'D，BD=B'D'，BD∥B'D'，则AD=B'D'，AD∥B'D'，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADB'D'是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得AD'=DB'，AD'∥DB'，则AD'=CB，AD'∥BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AACBD'是平行四边形，进而由有一个内角为直角的平行四边形是矩形即可求证；
（2）由勾股定理可得AB的长，根据正弦与正切三角函数的定义分别求出∠B的正弦值与正切值，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CD=BD=AD=5，由等边对等角得到∠B=∠DCB，由平移及旋转的性质得△CDB≌△DD'B'≌△DNM，由全等三角形的对应角相等得∠CDB=∠N，∠B=∠M，由全等三角形的对应边相等得DM=BC=6，进而得到∠DEC=∠PEM=∠MDB'=90°，在Rt△CED中，由∠DCB的正弦啊哈双女户及等角的同名三角函数值相等可算出DE=4，进而由线段和差求出EM=2，最后在Rt△PEM中，由∠M的正切函数及等角的同名三角函数值相等可求出PE的长；
（3）分点B与点N重合和点B不与点N重合两种情况，分别画出图形，利用平移和旋转的性质、锐角三角函数解答即可求解．
1 / 1广西柳州市鱼峰区等2地2025年中考二模数学试题
1．（2025·柳北模拟）下面是我国几个城市某一年一月份的平均气温，温度最低的是（　　）
A．北京-4.6℃ B．武汉3.8℃
C．广州13.1℃ D．哈尔滨-19.4℃
2．（2025·柳北模拟）习近平总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·柳北模拟）2024年柳州市旅游人数为120万人次，将120万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柳北模拟）要使有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·柳北模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·柳北模拟）如图，∠1＝∠2，补充一个条件后仍不能判定△ABC≌△ADC是（　　）
A．AB＝AD B．∠B＝∠D
C．BC＝DC D．∠BAC＝∠DAC
7．（2025·柳北模拟）如图，已知直线，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·柳北模拟）若二次函数的图象经过，，三点，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·柳北模拟）广西六堡茶2022年的总产量约3万吨，2024年总产量的4.3万吨．设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·柳北模拟）不等式组，的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·柳北模拟）如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（　　）
A． B． C． D．4
12．（2025·柳北模拟）如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点A为中心的正方形EFGH边长为x（x＞0），EF∥AB，正方形EFGH与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025·柳北模拟）分解因式：　 　．
14．（2025·柳北模拟）如果一个正n边形的一个外角是，那么　 　．
15．（2025·柳北模拟）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm. 则直尺的宽为　 　cm.
16．（2025·柳北模拟）如图．在矩形中，，，对角线、交于点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，过点作，交于点．设运动时间为．若五边形的面积与三角形的面积之比为，则　 　
17．（2025·柳北模拟）计算
（1）
（2）
18．（2025·柳北模拟）我校开设了无人机、交响乐团、诗歌鉴赏、木工制作四门校本课程，分别记为A、B、C、D．为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况，对学生进行了随机问卷调查，将调查结果整理后绘制成两幅均不完整的统计图表．
校本课程 频数 频率
A：无人机 36
B：交响乐团 　
C：诗歌鉴赏 16 b
D：木工制作 8 　
合计 a 1
请您根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计表中的　 　，　 　；
（2）D对应扇形的圆心角为 　 　度；
（3）甲、乙两位同学参加校本课程学习，若每人从A、B、C三门校本课程中随机选取一门，请用画树状图或列表格的方法，求两人恰好选中同一门校本课程的概率．
19．（2025·柳北模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标为．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
20．（2025·柳北模拟）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．利用图中信息解决下列问题：
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”．
（1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为．①王老师的水杯容量为________；
②若不计热损失，请求此时的值；
（2）嘉琪同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求嘉琪同学接温水和开水的时间分别为多少？
21．（2025·柳北模拟）如图，等腰内接于，点是线段上异于，的一点．连接并延长交于点，点在的延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值．
22．（2025·柳北模拟）综合与实践
问题背景：某学校课外科技活动小组研制了一种航模飞机，经过多次试验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据，如表：
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞行水平距离 0 10 20 30 40 …
飞行高度 0 22 40 54 64 …
问题提出：
科技活动小组的同学通过研究对比得到的实验数据，发现航模飞机的飞行水平距离x与飞行时间t，飞行高度y与飞行时间t之间的数量关系都可以用我们已学过的函数来描述．
（1）请帮助科技活动小组直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题延伸：
如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（2）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
拓展应用：科技活动小组通过研究，在保证安全的前提下，设置回收区域回收航模飞机．如图，活动小组在安全线上设置回收区域．
（3）活动小组需要飞机落到内（不包括端点），请帮助他们求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23．（2025·柳北模拟）综合与实践
【问题情境】
如图，在中，，，，是斜边的中线．
【初步探究】
（）如图，将沿方向平移，当点落在点的位置时，点，的对应点分别是点，，连接，．试判断四边形的形状，并说明理由．
【深入思考】
将绕点顺时针旋转得到，，的对应点分别是，．在旋转过程中，与交于点．
（）如图，当时，垂足为，与交于点，求线段的长．
（）在旋转的过程中，线段与交于点，当点与点重合时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵|-4.6|=4.6，|-19.4|=19.4，而4.6＜19.4，
∴，
故答案为：D．
【分析】正数都大于0；负数都小于正数；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小，两个正数，绝对值大的就大，据此比较可得答案.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故A不符合题意；
能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故B不符合题意；
能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，它是轴对称图形，故C不符合题意；
不能沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120万，
故答案为：A．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】二次根式有意义的条件是“被开方数不能为负数”，据此列出不等式，求解即可．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原选项运算错误，不符合题意；
B、，原选项运算错误，不符合题意；
C、，原选项运算正确，符合题意；
D、，原选项运算错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】由同底数幂的除法，底数不变，指数相减，即可判断A选项；由单项式除以单项式，把系数与相同字母的幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此计算判断B选项；由二次根式性质“”可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若添加AB=AD，不能判定△ABC≌△ADC， 故A符合题意；
若添加∠B=∠D，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）， 故B不符合；
若添加BC=DC，
∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）， 故C不符合；
若添加∠BAC=∠DAC，
∵∠1=∠2，
∴，
∴∠ACB=∠ACD，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（ASA）， 故D不符合；
故答案为：A．
【分析】根据全等三角形的判定定理ASA、AAS、SAS，即可推出结论．
7．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
如图，过B作，则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等得∠4=∠1=38°，过B作BD∥m，由二直线平行，内错角相等得∠4=∠ABD=38°，进而根据角的和差求出∠DBC=32°，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得BD∥N，最后再由二直线平行，内错角相等求出∠2=∠DBC=32°.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其二次项系数，
∴该函数图象开口向上，
∵对称轴为，
∴点到对称轴的距离为：，
点到对称轴的距离为：，
点就在对称轴上，到对称轴距离为，
∵二次函数图象开口向上时，抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大 ，且，
∴．
故答案为：D．
【分析】由二次项系数a=1＞0，得出抛物线的开口向上，由对称轴直线公式得抛物线的对称轴为直线x=3，故抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，据此分别求出A、B、C三点到直线x=3的距离，再比较大小即可判断出y1、y2、y3的大小.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，根据题意得：．
故答案为：A．
【分析】设广西六堡茶总产量的年平均增长率为，利用广西六堡茶2024年的总产量=广西六堡茶2022年的总产量广西六堡茶总产量的年平均增长率，列出关于x的一元二次方程即可．
10．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为
故答案为：B．
【分析】根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大”确定不等式组的解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可判断得出答案.
11．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：平分，，
，
，
，
，
点F为的中点，
，
的周长为：
，
故答案为：C．
【分析】先根据等腰三角形三线合一得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，然后利用勾股定理求得BC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求得EF，最后求出的周长．
12．【答案】B
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：①当0＜x≤4时，y＝=x2，
②当4＜x≤8时，y＝×4×4 2××（4 x）2＝ x2＋4x 8，
③当x＞8时，y＝8，
∴B选项的函数图象符合，
故答案为：B．
【分析】分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段，分别求出函数解析式即可判断；
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b ab3=ab(a b2).故答案为：ab(a b2).
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
14．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ 正n边形的一个外角是，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据正多边形的外角和为360度求解．
15．【答案】3
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，连结OE，
∵DE＝8cm，OF⊥DE，
∴EF＝DE＝＝4（cm），
∵OC＝5cm，
∴OE＝OC＝5cm，
∴OF＝cm．
故答案为：3.
【分析】先根据垂径定理可得出EF的长，再根据勾股定理求出OF的长.
16．【答案】或
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；A字型相似模型；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：在中，根据勾股定理，得.
∴.
如图，过点作交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
由矩形的性质可知，，
又∵，
，
，
则，
，
，相似比为，
，
，
，
；
与的函数关系式为；
，
，
解得，或，
当时，或．
故答案为：或．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC=90°，由勾股定理得到AC=10，过点O作OH⊥BC于点H，由矩形的对角线相等且互相平分得OB=OC，由等腰三角形的三线合一得BH=CH，从而根据三角形的中位线定理得出OH=AB=3；然后利用ASA判断出△DOP≌△BOE，由全等三角形的对应边相等得BE=PD=8-x，从而根据三角形的面积公式表示出△BOE的面积；由平行于三角形一边得直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△DFQ∽△DOC，由相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△DFQ的面积；利用割补法，由表示出五边形OECQF的面积，然后根据五边形OECQF的面积与三角形ACD的面积之比为9∶16建立方程，求解即可.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方运算法则，二次根式性质，绝对值的代数意义将原式分别化简，再进行加减运算即可；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式的运算法则将原式展开，再进行合并即可.
（1）解：
；
（2）
．
18．【答案】（1）80，
（2）36
（3）解：画树状图如下：
共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，
∴甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解： (1)∵A的频数为36，占0.45，
∴，
∵C的频数为16，
∴，
故答案为：80，；
(2)∵D的频数为8，
∴D对应扇形的圆心角为：，
故答案为：36；
【分析】（1）由A的频数除以频率得出a的值，即可解决问题；
（2）由乘以D所占的比例即可；
（3）画树状图，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人恰好选中同一门校本课程的的情况有3种，再由概率公式求解即可．
19．【答案】（1）解：把点代入直线，
得，
解得：，
一次函数的解析式为；
把点代入，
得
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得：，
∴点的坐标为，
．
，
，
．
当代入，得，
当代入，得
点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A（3，1）代入y=x+m可算出m的值，从而得到一次函数的解析式；将点A（3，1）代入 算出k的值，可得反比例函数的解析式；
（2）令一次函数解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，可求出点C的坐标，从而根据三角形面积计算公式求出△AOC的面积，进而根据已知条件可求出△POC的面积，接着根据三角形面积公式建立方程求出点P的纵坐标，最后将P点的纵坐标代入反比例函数解析式算出对应的自变量x的值，即可得到点P的坐标.
（1）解：把点代入直线得，
解得：，
一次函数的解析式为；
把点代入得，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得：，
∴点的坐标为，
．
，
，
．
当代入，得，
当代入，得
∴点的纵坐标为，则，
点的坐标为或．
20．【答案】（1）解①400；
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：400；
【分析】（1）①根据水量等于水速乘时间及水杯容量等于用时14s接的温水的体积+用时8s接的开水的体积，列式计算即可；
②根据“开水的体积开水降低的温度=温水的体积温水升高的温度” 列出方程，解方程即可；
（2）设嘉琪接温水的时间为xs，接开水的时间为ys，由“水杯容量等于用时xs接的温水得体积+用时ys接的开水得体积”及“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”列出二元一次方程组，再解方程即可.
（1）解：①依题意：
，
∴王老师的水杯容量为．
故答案为：
②接入水杯的温水吸收的热量为：
，
热水放出的热量为：，
由题意： ，
解得：，
答：王老师的水杯容量为，水温约；
（2）解：设嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为，根据题意得：
，
解得：，
∴嘉琪接温水的时间为，接开水的时间为．
21．【答案】（1）证明：连接，．
∵是等腰的外接圆，为的中点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：设，则，
∴．
∵是直角三角形．
∴．
∵，
∴．
∴．
解得：．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）先证明，，从而有，再证明，进而得出结论；
（2）设，则，则有，然后根据勾股定理用a分别表示出PB与PE，再求出．
（1）证明：连接，．
因为是等腰的外接圆，为的中点，
所以，．
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
在中，，
所以．
所以．
所以是的切线．
（2）解：设，则，
此时．
由（1）知，是直角三角形．
由勾股定理可得：．
因为，
所以．
即．
解得．
所以．
所以．
22．【答案】解：（1）； ；
（2）依题意，得，
解得，（舍），，
当时，，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，
∵，
∴，
∴，
在中，
当时，；
当时，．
∴．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，把代入一次函数解析式，
得：，
解得k=5，
∴x=5t；
设把，代入二次函数解析式，
，
解得：，
∴；
【分析】（1）根据表格信息，x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，从而运用待定系数法求解即可；
（2）将y=0代入（1）所求的二次函数解析式，算出对应的自变量t的值，进而再将t的值代入一次函数解析式算出x的值，即可得到答案；
（3）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，根据进行计算即可求解．
23．【答案】解：（1）四边形是矩形，理由如下：
在中，是斜边的中线，
∴，
由平移可知BD=B'D'，BD∥B'D'，BC=B'D，BC∥B'D，
∴AD=B'D'，AD∥B'D'，
∴四边形ADB'D'是平行四边形，
∴AD'=DB'，AD'∥DB'
∴AD'=CB，AD'∥BC，
∴四边形ACBD'是平行四边形，
∵，
∴四边形ACBD'是矩形；
（）∵，，，
∴，
∴，，
∵是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，，
∴，，，
∴，即，
∴，即旋转角为，
∴，
由平移可得，，
∴，
在中，，
∴，
∴在中，；
（）当点与点重合时，如图，过点作于点，
由旋转和平移得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点不与点重合时，如图，过点作于点，
由旋转和平移得，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，线段的长为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；平移的性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CD=BD=AD，由平移性质得BC=B'D，BC∥B'D，BD=B'D'，BD∥B'D'，则AD=B'D'，AD∥B'D'，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ADB'D'是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得AD'=DB'，AD'∥DB'，则AD'=CB，AD'∥BC，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AACBD'是平行四边形，进而由有一个内角为直角的平行四边形是矩形即可求证；
（2）由勾股定理可得AB的长，根据正弦与正切三角函数的定义分别求出∠B的正弦值与正切值，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CD=BD=AD=5，由等边对等角得到∠B=∠DCB，由平移及旋转的性质得△CDB≌△DD'B'≌△DNM，由全等三角形的对应角相等得∠CDB=∠N，∠B=∠M，由全等三角形的对应边相等得DM=BC=6，进而得到∠DEC=∠PEM=∠MDB'=90°，在Rt△CED中，由∠DCB的正弦啊哈双女户及等角的同名三角函数值相等可算出DE=4，进而由线段和差求出EM=2，最后在Rt△PEM中，由∠M的正切函数及等角的同名三角函数值相等可求出PE的长；
（3）分点B与点N重合和点B不与点N重合两种情况，分别画出图形，利用平移和旋转的性质、锐角三角函数解答即可求解．
1 / 1

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