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期末综合评价卷
时间:120分钟　满分:150分
班级: 　学号: 　姓名: 　成绩:
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.在实数-,0,,π,中,无理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法:①3的平方根是;②-3是9的一个平方根;③的平方根是±;④0.01的算术平方根是0.1;⑤=±2;⑥-8的立方根是2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列运算中,正确的是( )
A.3a3-a2=2a B.(a+b)2=a2+b2
C.a3b2÷a2=a D.=a4b2
4.若x2+mxy+y2是完全平方式,则常数m的值为( )
A.5 B.-5
C.±5 D.±
5.计算(x+1)(x-5)-x(x+1)的结果为( )
A.5x+1 B.5x-1
C.-5x+5 D.-5x-5
6.下列命题是真命题的是( )
A.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
B.在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
7.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是( )
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
8.据统计,数学家群体是一个长寿群体,某研究小组随机抽取了收录约2 200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本,对数据进行整理与分析,统计图表(部分数据)如下,下列结论错误的是( )
年龄范围(岁) 人数
90～91 25
92～93
94～95
96～97 11
98～99 10
100～101 m
A.该小组共统计了100位数学家的年龄
B.统计表中m的值为5
C.长寿数学家年龄在92～93岁的人数最多
D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96～97岁的人数估计为110
9.下列各组长度的线段:①9,12,15;②7,24,25;③32,42,52;④3a,4a,
5a(a>0);⑤m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n).其中可以构成直角三角形的有( )
A.5组 B.4组
C.3组 D.2组
10.已知+|b-1|=0,那么(a+b)2 023的值为( )
A.-1 B.1
C.32 023 D.-32 023
11.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图所示图形.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A.2 020 B.2 021
C.2 022 D.2 023
12.如图所示,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.下列结论:①△ACE≌△BCD;②∠DAB=∠ACE;③AE+AC=AD;④AE2+AD2=2AC2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.比较大小: 1.5.(填“>”“<”或“=”)
14.分解因式:x3-xy2= .
15.已知2x+y=3,则4x·21+y= .
16.如图所示,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO.若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为 .
17.如图所示是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18 cm,BC=
12 cm,BF=10 cm,点M在棱AB上,且AM=6 cm,点N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为 cm.
18.如图所示,以△ABC的边AB,AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,连结ED,BD,CE,过点A的直线l分别交线段DE,BC于点M,N,以下说法:①当AB=AC=BC时,∠AED=30°;②EC=BD;③若AB=3,AC=4,BC=6,则DE=2;④当直线l⊥BC时,点M为线段DE的中点.其中正确的有 .(填序号)
三、解答题(共78分)
19.(8分)计算:
(1)2++-|-2|;
(2)(-xy2)2·(-x2yz)3÷xyz2.
20.(10分)(1)若实数x满足x2-x-1=0,求x3-2x2+2 022的值;
(2)先化简,再求值:4x2-[6xy+(y2+2x2)-2(3xy-y2)],其中x=-1,y=.
21.(10分)为扎实推进劳动教育,把学生参与劳动教育情况纳入考核,学校随机抽取了部分学生的劳动教育成绩,并整理得到如下所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
(1)随机抽取的学生共有 名,m= ,n= ;
(2)通过计算补上频数分布直方图中的90～100部分;
(3)在扇形统计图中,90～100部分所对应的圆心角是多少度
22.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE相交于点H,AE=BE.求证:
(1)△AEH≌△BEC;
(2)AH=2BD.
23.(12分)在海平面上有A,B,C三个标记点,C为灯塔,港口A在灯塔C的北偏西55°方向上,港口A与灯塔C的距离是40海里;港口B在灯塔C的南偏西35°方向上,港口B与灯塔C的距离是30海里,一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物,货船的航行速度为10海
里/时.
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间
(2)为了保障航行的安全,C处灯塔将向航船发送安全信号,信号有效覆盖半径为25海里,货船由港口A向港口B运输货物时,为保证安全航行,货船接收安全信号时间要求不低于1小时.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准 请说明理由.
24.(13分)我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图①所示,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任意一点,连结PA,PB.将线段AB沿直线MN对折,我们发现PA与PB完全重合.由此即有:
线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知:如图①所示,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点.求证:PA=PB.
分析:图中有两个直角三角形△APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.
(1)请根据以上分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
①
(2)如图②所示,在△ABC中,直线l,m,n分别是边AB,BC,AC的垂直平分线.
②
求证:直线l,m,n交于一点.(请将下面的证明过程补充完整)
证明:设直线l,m相交于点O.
(3)如图③所示,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,若∠ABC=120°,AC=15,则DE的长为 .
③
25.(15分)在等边三角形ABC中,E为线段AB上一动点,点E与点A,B不重合,点D在CB的延长线上,且ED=EC.试确定AE与BD的数量关系.
【特例研究】
(1)如图①所示,当E为AB的中点时,请判断线段AE与BD的数量关系:
AE BD(填“>”“<”或“=”).
【一般探索】
(2)如图②所示,当E为边AB上任意一点时,(1)中的结论是否成立 若不成立,请直接写出AE与BD的数量关系;若成立,请说明理由.
【拓展应用】
(3)如图③所示,在等边三角形ABC中,点E在AB的延长线上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的长.
① 　②　 ③期末综合评价卷
时间:120分钟　满分:150分
班级:　　　　　　学号:　　　　　　姓名:　　　　　　成绩:　　　　　
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.在实数-,0,,π,中,无理数有(B)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列说法:①3的平方根是;②-3是9的一个平方根;③的平方根是±;④0.01的算术平方根是0.1;⑤=±2;⑥-8的立方根是2.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列运算中,正确的是(D)
A.3a3-a2=2a B.(a+b)2=a2+b2
C.a3b2÷a2=a D.=a4b2
4.若x2+mxy+y2是完全平方式,则常数m的值为(C)
A.5 B.-5
C.±5 D.±
5.计算(x+1)(x-5)-x(x+1)的结果为(D)
A.5x+1 B.5x-1
C.-5x+5 D.-5x-5
6.下列命题是真命题的是(B)
A.等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合
B.在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
C.有一个角是60°的三角形是等边三角形
D.有两边及一边的对角对应相等的两个三角形全等
7.我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角形的三个内角的和大于180°.这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是(A)
A.反证法 B.比较法
C.综合法 D.分析法
8.据统计,数学家群体是一个长寿群体,某研究小组随机抽取了收录约2 200位数学家的《数学家传略辞典》中部分90岁及以上的长寿数学家的年龄为样本,对数据进行整理与分析,统计图表(部分数据)如下,下列结论错误的是(D)
年龄范围(岁) 人数
90～91 25
92～93
94～95
96～97 11
98～99 10
100～101 m
A.该小组共统计了100位数学家的年龄
B.统计表中m的值为5
C.长寿数学家年龄在92～93岁的人数最多
D.《数学家传略辞典》中收录的数学家年龄在96～97岁的人数估计为110
9.下列各组长度的线段:①9,12,15;②7,24,25;③32,42,52;④3a,4a,
5a(a>0);⑤m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n).其中可以构成直角三角形的有(B)
A.5组 B.4组
C.3组 D.2组
10.已知+|b-1|=0,那么(a+b)2 023的值为(A)
A.-1 B.1
C.32 023 D.-32 023
11.有一个边长为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图所示图形.如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(D)
A.2 020 B.2 021
C.2 022 D.2 023
12.如图所示,△ABC和△ECD都是等腰直角三角形,△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上.下列结论:①△ACE≌△BCD;②∠DAB=∠ACE;③AE+AC=AD;④AE2+AD2=2AC2.其中正确的有(C)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.比较大小:　>　1.5.(填“>”“<”或“=”)
14.分解因式:x3-xy2=　x(x+y)(x-y)　.
15.已知2x+y=3,则4x·21+y=　16　.
16.如图所示,已知△ABC三个内角的平分线交于点O,点D在CA的延长线上,且DC=BC,AD=AO.若∠BAC=80°,则∠BCA的度数为　60°　.
17.如图所示是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18 cm,BC=
12 cm,BF=10 cm,点M在棱AB上,且AM=6 cm,点N是FG的中点.一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为　20　cm.
18.如图所示,以△ABC的边AB,AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD,连结ED,BD,CE,过点A的直线l分别交线段DE,BC于点M,N,以下说法:①当AB=AC=BC时,∠AED=30°;②EC=BD;③若AB=3,AC=4,BC=6,则DE=2;④当直线l⊥BC时,点M为线段DE的中点.其中正确的有　①②④　.(填序号)
三、解答题(共78分)
19.(8分)计算:
(1)2++-|-2|;
(2)(-xy2)2·(-x2yz)3÷xyz2.
解:(1)2++-|-2|
=2×+×10+(-2)-(2-)
=1+1-2-2+
=-2.
(2)(-xy2)2·(-x2yz)3÷xyz2
=x2y4·(-x6y3z3)÷xyz2
=-x8y7z3÷xyz2
=-x7y6z.
20.(10分)(1)若实数x满足x2-x-1=0,求x3-2x2+2 022的值;
(2)先化简,再求值:4x2-[6xy+(y2+2x2)-2(3xy-y2)],其中x=-1,y=.
解:(1)∵x2-x-1=0,
∴x2=x+1,x2-x=1,
∴x3-2x2+2 022=x·x2-2x2+2 022=x(x+1)-2x2+2 022=x2+x-2x2+2 022=
-x2+x+2 022=-1+2 022=2 021.
(2)4x2-
=4x2-6xy-y2-2x2+6xy-y2
=2x2-2y2.
当x=-1,y=时,
原式=2×(-1)2-2×=2-=.
21.(10分)为扎实推进劳动教育,把学生参与劳动教育情况纳入考核,学校随机抽取了部分学生的劳动教育成绩,并整理得到如下所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
(1)随机抽取的学生共有　　　名,m=　　　,n=　　　;
(2)通过计算补上频数分布直方图中的90～100部分;
(3)在扇形统计图中,90～100部分所对应的圆心角是多少度
解:(1)90　20　9
(2)90～100之间的人数为90×20%=18.
故补上的频数分布直方图如图所示:
(3)在扇形统计图中,90～100部分所对应的圆心角是360°×20%=
72°.
22.(10分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD,BE相交于点H,AE=BE.求证:
(1)△AEH≌△BEC;
(2)AH=2BD.
证明:(1)∵AD⊥BC,
∴∠DAC+∠C=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEH=∠BEC=90°,
∴∠EBC+∠C=90°.
∴∠DAC=∠EBC.
在△AEH与△BEC中,
∵∠DAC=∠EBC,AE=BE,∠AEH=∠BEC,
∴△AEH≌△BEC(ASA).
(2)∵△AEH≌△BEC,
∴AH=BC.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BC=2BD.
∴AH=2BD.
23.(12分)在海平面上有A,B,C三个标记点,C为灯塔,港口A在灯塔C的北偏西55°方向上,港口A与灯塔C的距离是40海里;港口B在灯塔C的南偏西35°方向上,港口B与灯塔C的距离是30海里,一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物,货船的航行速度为10海
里/时.
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间
(2)为了保障航行的安全,C处灯塔将向航船发送安全信号,信号有效覆盖半径为25海里,货船由港口A向港口B运输货物时,为保证安全航行,货船接收安全信号时间要求不低于1小时.请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准 请说明理由.
解:(1)由题意,知∠ACN=55°,∠BCS=35°,
∴∠BCA=180°-35°-55°=90°.
又∵AC=40海里,BC=30海里,
∴AB==50 海里.
∵货船的航行速度为10海里/时,
∴t==5(小时),
答:货船从A港口到B港口需要5小时.
(2)符合航行安全标准.理由如下:
如图所示,过C作CD⊥AB交AB于D,
在AB上取两点M,N,使得CM=CN=25海里,连结CM,CN.
∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,
∴CD===24(海里),
∴DM==7(海里).
∵CM=CN,CD⊥AB,
∴MD=ND,∴MN=2DM=14海里,
∴=1.4(小时),1.4小时>1小时.
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准.
24.(13分)我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴.如图①所示,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任意一点,连结PA,PB.将线段AB沿直线MN对折,我们发现PA与PB完全重合.由此即有:
线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
已知:如图①所示,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点.求证:PA=PB.
分析:图中有两个直角三角形△APC和△BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.
(1)请根据以上分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程.
①
(1)证明:∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°.
在△PAC和△PBC中,
∴△PAC≌△PBC(SAS),∴PA=PB.
(2)如图②所示,在△ABC中,直线l,m,n分别是边AB,BC,AC的垂直平分线.
②
求证:直线l,m,n交于一点.(请将下面的证明过程补充完整)
证明:设直线l,m相交于点O.
(3)如图③所示,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,若∠ABC=120°,AC=15,则DE的长为　　　　.
③
(2)证明:如图①所示,设直线l,m相交于点O,连结AO,BO,CO.
∵直线l是边AB的垂直平分线,∴OA=OB.
∵直线m是边BC的垂直平分线,
∴OB=OC,∴OA=OC,
∴点O在边AC的垂直平分线n上,
∴直线l,m,n相交于点O.
①
(3)解:如图②所示,连结BD,BE.
②
∵BA=BC,∠ABC=120°,∴∠A=∠C=30°.
∵边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,
∴DA=DB,EB=EC,
∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°,
∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°,
∴△BDE是等边三角形,∴AD=BD=DE=BE=EC.
∵AC=15,∴DE=AC=5.故答案为5.
25.(15分)在等边三角形ABC中,E为线段AB上一动点,点E与点A,B不重合,点D在CB的延长线上,且ED=EC.试确定AE与BD的数量关系.
【特例研究】
(1)如图①所示,当E为AB的中点时,请判断线段AE与BD的数量关系:
AE　　　　BD(填“>”“<”或“=”).
【一般探索】
(2)如图②所示,当E为边AB上任意一点时,(1)中的结论是否成立 若不成立,请直接写出AE与BD的数量关系;若成立,请说明理由.
【拓展应用】
(3)如图③所示,在等边三角形ABC中,点E在AB的延长线上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的长.
① 　②　 ③
解:(1)=
(2)成立.理由如下:
如图①所示,过点E作EF∥BC交AC于点F.
①
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC.
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF.
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF.
在△DEB和△ECF中,
∵∠DBE=∠EFC,∠DEB=∠ECF,DE=EC,
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF,
∴AE=BD.
(3)如图②所示,过点E作EF∥BC交AC的延长线于点F,则∠ECD=
∠CEF.
②
同(2),得△AEF为等边三角形,
∴AF=AE=EF=2,∠F=60°.
∵EC=ED,
∴∠D=∠ECD,
∴∠CEF=∠D.
∵△ABC是等边三角形,
∴BC=AC=1,∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠F=∠DBE.
在△CEF和△EDB中,
∵∠F=∠DBE,∠CEF=∠D,EC=DE,
∴△CEF≌△EDB(AAS),
∴BD=EF=2,
∴CD=BD+BC=2+1=3.

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