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(共49张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
●命题热点诠释
1．命题热度：本章属于热点内容，10年来，从命题频次上看，全国卷10年15考，地方卷51考。
2．考查热点：(1)平抛运动规律。
(2)圆周运动的描述和动力学规律。
(3)平抛运动实验操作和数据处理。
(4)探究向心力大小的影响因素的实验操作和数据处理。
第19讲　曲线运动　运动的合成与分解
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
基础梳理·易错辨析
一、曲线运动
1．速度方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的________方向。
2．运动性质
做曲线运动的物体，速度的________时刻改变，故曲线运动一定是________运动，即必然具有加速度。
切线
方向
变速
3．曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的__________方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受__________的方向跟速度方向不在同一条直线上。
加速度
合外力
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动概念
(1)运动的合成：已知__________求合运动。
(2)运动的分解：已知__________求分运动。
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循__________________。
3．运动分解的原则
根据运动的________分解，也可采用正交分解法。
分运动
合运动
平行四边形定则
效果
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的________相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动__________，不受其他分运动的影响。
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的________。
时间
相互独立
效果
1．曲线运动一定是变速运动。( 　)
2．曲线运动的速度大小可能不变。( 　　)
3．曲线运动的加速度可以为零。( 　　)
4．曲线运动的加速度可以不变。(　　)
5．合运动不一定是物体的实际运动。(　　)
6．合运动的速度一定大于分运动的速度。(　　)
√
√
×
√
×
×
核心考点·重点突破
1
物体做曲线运动的条件及轨迹分析
(基础考点·自主探究)
1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2．曲线运动中速率变化的判断
【跟踪训练】
(曲线运动的速度方向和运动性质)翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度方向如图所示，在圆形轨道内经过A、B、C三点。下列说法正确的是(　　)
A．过山车做匀速运动
B．过山车做变速运动
C．过山车受到的合力等于零
D．过山车经过A、C两点时的速度方向相同
1
[答案]　B
[解析]　过山车做曲线运动，其速度方向时刻变化，速度是矢量，故过山车的速度是变化的，即过山车做变速运动，A错误，B正确；过山车做变速运动，即运动状态时刻变化，因此其所受合力一定不为零，C错误；过山车经过A点时速度方向竖直向上，经过C点时速度方向竖直向下，D错误。
(合力方向与运动轨迹的关系)如图是一种创新设计的“空气伞”，它的原理是从伞柄下方吸入空气将空气加速，并从顶部喷出，形成辐射状气流，从而改变周围雨水的运动轨迹，形成一个无雨区，起到遮挡雨水的作用。在无风的雨天，若“空气伞”喷出的气流水平，不计空气阻力，则雨滴从气流上方某处下落并穿过气流区的运动轨迹，可能是下列哪一幅图(　　)
2
[答案]　C
[解析]　气流对雨滴有排斥力，当雨滴接近“空气伞”时，受到水平方向的作用力，将产生水平方向的加速度，此时雨滴所受的合力与运动的方向不在一条直线上，所以其运动轨迹将逐渐发生弯曲，速度的方向不能发生突变，故A、B错误；雨滴原来的运动方向竖直向下，当受到水平方向的作用力后，水平方向做变加速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，从受力点开始，合外力和速度的夹角为锐角，雨滴的运动轨迹一定向合外力方向发生弯曲，穿过气流区后，由于雨滴的速度方向斜向下，与重力不在同一直线上，故雨滴仍做曲线运动，故C正确，D错误。
(物体做曲线运动的条件)(多选)光滑水平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图所示，与此同时给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿y轴正方向的恒力Fy，则(　　)
A．因为有Fx，质点一定做曲线运动
B．如果FyC．如果Fy＝Fxtan α，质点做直线运动
3
[答案]　CD
(合力与速率的关系)(2023·全国乙卷)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是(　　)
[答案]　D
4
[解析]　由题干中的信息知，小车的动能一直增加，可知合力使小车的速度增大，又曲线运动中合力改变运动的方向，可知合力方向与速度的夹角应小于90°，又速度沿轨迹的切线方向，合力指向轨迹的凹侧，故D正确。
2
运动的合成与分解
(能力考点·深度研析)
1．合运动性质的判断
加速度(或合外力)
方向与合速度方向
2．两个直线运动的合运动性质的判断
(不共线)分运动 合运动
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
(不共线)分运动 合运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动
若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动
(多选)如图甲所示，一无人机正在配送快递。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向。下列说法正确的是(　　)
A．0～2 s内，无人机做匀加速曲线
运动
B．2～4 s内，无人机做匀减速直线
运动
C．t＝4 s时，无人机运动到最高点
D．0～5 s内，无人机的位移大小为
9 m
[答案]　AC
【跟踪训练】
(合运动与分运动的关系)如图所示，某跳伞运动
员从一定高度跳伞(空气阻力可以忽略不计)，在降落
过程中受到水平方向大小恒定的风力影响，最后降落
到同一水平面上，下列说法正确的是(　　)
A．该运动员一定做曲线运动
B．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短
C．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长
D．其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大
5
[答案]　D
[解析]　由于运动员的初速度未知，若运动员初速度为零，且起跳时立即打开降落伞，则运动员做直线运动，A错误；风力大小不影响竖直方向的运动，所以运动员的下落时间与风力无关，B、C错误；水平方向风力越大，水平方向加速度越大，落地时的水平速度越大，其他条件不变时，该运动员着地时速率越大，D正确。
(两直线运动合运动性质和轨迹的确定)如图是码头的旋臂式起重机，当起重机旋臂水平向右保持静止时，吊着货物的天车沿旋臂向右匀速行驶，同时天车又使货物沿竖直方向先做匀加速运动，后做匀减速运动。该过程中货物的运动轨迹可能是下图中的(　　)
6
[答案]　C
[解析]　货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上先做匀加速运动，后做匀减速运动，根据平行四边形定则知，合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，合运动的轨迹为曲线，货物的加速度方向先向上后向下，因为加速度的方向指向轨迹的凹侧，故C正确。
3
小船渡河问题
(能力考点·深度研析)
1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3．三类问题、四种情境
[答案]　AC
【跟踪训练】
(多选)(2024·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　)
7
[答案]　BD
反思提升
小船渡河问题分析思路
4
绳(杆)端的关联速度问题
(能力考点·深度研析)
1．此类问题绳或杆的特点
绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
2．关联速度常见模型
情境图示 分解图示 定量结论
vB＝vAcos θ
vAcos θ＝v0
情境图示 分解图示 定量结论
vAcos β＝vBcos α
vBsin α＝vAcos α
考向1　绳端速度分解模型
[答案]　A
反思提升
绳(杆)端的关联速度问题解题思路
考向2　杆端速度分解模型
甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v1，乙球的速度为v2，如图所示，下列说法正确的是(　　)
[答案]　B
【跟踪训练】
如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时(　　)
8
[答案]　C
[解析]　小球b的速度分解为沿绳方向的分速度
v1和垂直于绳方向的分速度v2，木块a的速度大小等
于v1＝vcos β，故A、B错误；小球b向左运动过程中，
β逐渐减小，则木块a的速度逐渐增大，即木块a做加
速运动，细线的拉力大于mgsin α，故C正确，D错误。
如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　)
9
[答案]　C(共70张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
第20讲　抛体运动
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
基础梳理·易错辨析
一、平抛运动
1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在________作用下的运动。
2．性质：平抛运动是加速度为g的__________曲线运动，其运动轨迹是__________。
3．研究方法：化曲为直
(1)水平方向：____________运动；
(2)竖直方向：____________运动。
重力
匀变速
抛物线
匀速直线
自由落体
4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0
方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立
如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有：
v0t
v0
gt
二、斜抛运动
1．定义：将物体以初速度v0____________或斜向下方抛出，物体只在________作用下的运动。
2．性质：斜抛运动是加速度为g的__________曲线运动，运动轨迹是__________。
3．研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：________直线运动。
(2)竖直方向：__________直线运动。
斜向上方
重力
匀变速
抛物线
匀速
匀变速
4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v0x＝____________，v0y＝____________。
在水平方向，物体的位移和速度分别为
v0cos θ
v0sin θ
x＝v0xt＝(v0cos θ)t
vx＝v0x＝v0cos θ
在竖直方向，物体的位移和速度分别为
1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( )
2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。(　　)
3．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。(　　)
4．做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。(　　)
5．做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。 (　　)
×
×
√
×
×
6．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。(　　)
7．从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。(　　)
×
√
核心考点·重点突破
1
平抛运动的规律应用
(能力考点·深度研析)
1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量
物理量 相关分析
速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示
2．平抛运动的两个重要推论
考向1　平抛运动基本规律的应用
(2025·贵州六盘水月考)今年贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．球在空中运动的时间约为1 s
B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s
C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s
D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45°
[答案]　C
考向2　平抛运动推论的应用
一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示。第一次出手，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角为α＝60°；第二次出手，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°。两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球、橙色篮球运动的高度之比为(　　)
[答案]　B
[解析]　两个不同颜色的篮球做斜抛运动，经
过相同的最高点，可将其逆运动看成水平向左的平
抛运动，运动轨迹如图所示。两平抛运动的水平位
移相同，设为x，速度的反向延长线均过水平位移
的中点，相交于同一点。
【跟踪训练】
关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　)
A．平抛运动是一种变加速运动
B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大
C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等
D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等
[答案]　C
1
(2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
2
[答案]　C
[解析]　
如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两小球水平抛出后，不计空气阻力，两小球落地时的水平位移分别为s和2s。重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
3
[答案]　D
如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B为AO连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，A、B两球击中斜面的位置到O点的距离之比为(　　)
4
[答案]　B
[解析]　设落到斜面上的位置分别为P、Q，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP、BQ与水平面夹角也相等，则△POA与△QOB相似，对应边成比例，B正确。
2
平抛运动的临界和极值问题
(能力考点·深度研析)
1．平抛运动的临界问题有两种常见情形
(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；
(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。
2．解题技巧
在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。
考向1　平抛运动的临界问题
第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过(　　)
[答案]　B
考向2　平抛运动的极值问题
3
斜上抛运动
(能力考点·深度研析)
1．解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。
2．斜上抛运动的极值
考向1　斜抛运动规律的应用
(多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　)
[答案]　BD
考向2　利用逆向思维研究斜抛运动
(2024·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上
沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的
直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮
球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮
球击中篮板时的速度大小。
[答案]　2.1 m/s
4
类平抛运动
(能力考点·深度研析)
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。
2．运动特点
3．求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。
(多选)一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度v0滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度大小为gsin θ
[答案]　ABC
【跟踪训练】
(多选)如图所示，两个倾角分别为30°、45°
的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于
小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是(　　)
A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′>t2′>t3′ D．t15
[答案]　AB
名师讲坛·素养提升
有约束条件的平抛运动模型
考向1　与斜面相关的平抛运动
[答案]　D
考向2　与弧面相关的平抛运动
如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　)
[答案]　C
考向3　平抛运动与台阶面的关联问题
(2025·河北张家口调研)如图所示，小球从楼
梯上以2 m/s的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽
度均为0.25 m，取g＝10 m/s2，小球抛出后首先落到
的台阶是(　　)
A．第一级 B．第二级
C．第三级 D．第四级
[答案]　D
【跟踪训练】
如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　)
A．夹角α将变大
B．夹角α与初速度大小无关
C．小球在空中的运动时间不变
D．PQ间距是原来间距的3倍
6
[答案]　B
(2025·湖南长沙调研)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　)
7
[答案]　A
8
[答案]　A(共54张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
第21讲　圆周运动
基础梳理·易错辨析
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
基础梳理·易错辨析
一、描述圆周运动的物理量
二、匀速圆周运动及向心力
1．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处______，所做的运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小________，方向始终指向________，是变加速运动。
(3)条件：合外力大小________，方向始终与________方向垂直且指向圆心。
相等
不变
圆心
不变
速度
2．向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________。
(2)大小：Fn＝_________＝mω2r＝_______＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的________提供，还可以由一个力的________提供。
方向
大小
圆心
合力
分力
三、变速圆周运动
1．速度特点
线速度的大小、方向都________。
2．合力特点
合力产生两个效果：
(1)沿半径方向的分力______，即向心力，它改变速度的________。
(2)沿切线方向的分力______，它改变速度的________。
变化
Fn
方向
Ft
大小
四、离心运动
1．定义：做____________的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需__________的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。
2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的________，总有沿着圆周____________飞出去的倾向。
圆周运动
向心力
惯性
切线方向
3．受力特点
(1)当Fn＝mω2r时，物体做____________运动。
(2)当Fn＝0时，物体沿________方向飞出。
(3)当Fn(4)当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。
匀速圆周
切线
远离
注意　物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。
1．做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用。(　　)
2．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，周期为2 s，则速度变化率的大小为4π m/s2。(　　)
3．在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯。(　　)
×
√
×
4．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。 (　　)
5．飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态。(　　)
√
√
核心考点·重点突破
1
圆周运动中的运动学分析
(基础考点·自主探究)
1．匀速圆周运动的关系式
(1)线速度与角速度：v＝ωr。
2．常见的三种传动方式及特点
(1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。
(3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。
【跟踪训练】
(描述圆周运动的物理量及其关系)如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　)
1
[答案]　D
(同轴转动)(2024·黑吉辽卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A．半径相等
B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等
D．角速度大小相等
[答案]　D
2
[解析]　
(齿轮传动)(2024·淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带，大齿轮齿数为N1，小齿轮齿数为N2，A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　)
A．大小齿轮转动的方向相同
B．A、B两点的线速度大小之比为N1∶N2
C．A、B两点的角速度大小之比为N2∶N1
D．A、B两点的向心加速度大小之比为N∶N
[答案]　C
3
2
圆周运动中的动力学分析
(能力考点·深度研析)
1．对向心力的理解
(1)向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。
(2)向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。
2．匀速圆周运动向心力来源
做匀速圆周运动的物体合力一定时刻指向圆心，合力就是向心力。
3．变速圆周运动中向心力来源
考向1　匀速圆周运动的动力学分析
[规范答题]　
(1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、
轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，
如图所示。
要有必要的文字说明和受力分析图哟！
设转椅的质量为m，
将题干中未出现字母要设出来哟！
写方程时要用题目中给出的物理量表示未知量哟！
不用写出数学运算的过程，直接写出结果就可以
(2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力
要写出下面公式中Fn2的意义
转椅受到的摩擦力f2＝μN2(1分)
要写原始方程哟！
要写出哪个方向的，根据什么得到的
反思提升
圆周运动的动力学问题的分析思路
考向2　变速圆周运动的动力学分析
质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　)
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
[答案]　A
【跟踪训练】
(对向心力公式的理解)(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　C
4
(圆锥摆模型)(多选)如图所示的三幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，A、B为两相同小球，下列说法正确的是(　　)
A．如图甲，小球受到重
力、绳子拉力和向心力
B．如图甲，小球A、B
在同一水平面内，小球A的角
速度比小球B的大
C．如图乙，小球A、B在光滑且固定的圆锥筒内做匀速圆周运动，则小球A的线速度比小球B的大
D．如图丙，小球A、B的绳长相同，则小球B的周期比小球A的小
5
[答案]　CD
(车辆转弯问题)(多选)列车转弯时的受力分析
如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之
间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水
平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，
重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
6
[答案]　BD
(一般曲线运动)化曲为圆是曲线运动的一种分解方式，如图所示，在变力作用下质量为m的物体的轨迹可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，在B点物体的受力F与速度v的夹角为θ，则物体在B点的向心加速度大小为(　　)
7
[答案]　C
(离心运动)如图所示，滚筒洗衣机脱
水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒
上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水
从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，下
列说法正确的是(　　)
A．脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力
B．衣物在最低点B时脱水效果最好
C．衣物在A、B两点时的加速度相同
D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等
8
[答案]　B
名师讲坛·素养提升
圆周运动与平抛运动的综合问题
1．问题概述
此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。
2．解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。
(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。
考向1　圆周运动与平抛运动综合问题
(1)速度v大小；
(2)BD及EC的距离；
(3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点
速度大小是多少可以恰好落在C点？
[答案]　(1)20 m/s　(2)15 m　50 m
(3)25 m/s
[解析]　(1)对运动员在倾斜圆轨道上受力分析，如图所示
其做匀速圆周运动，可得向心力为
Fn＝mg·tan α
考向2　圆周运动与平抛运动的多解问题
(多选)如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5 m，横截面圆环半径为1 m，g取10 m/s2。π≈3.14。则(　　)
A．小球下落时间为1 s
B．小球进入圆筒的初速度大小可能为3.14 m/s
C．小球进入圆筒的初速度大小可能为6.28 m/s
D．小球进入圆筒的初速度大小可能为12.56 m/s
[答案]　ACD(共44张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
第22讲　专题强化五　圆周运动的临界问题
核心考点·重点突破
1
水平面内圆周运动的临界问题
(能力考点·深度研析)
1．题型概述
物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。
2．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
3．与弹力有关的临界极值问题
(1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
考向1　摩擦力作用下的临界问题
[答案]　A
反思提升
解决临界问题的注意事项
(1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。
(2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。
(3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。
考向2　绳子拉力作用下的临界问题
(多选)如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者
互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的
另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通
过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，
三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　)
[答案]　BC
考向3　接触面上弹力作用下的临界问题
(多选)如图所示，一种圆锥筒状转筒左、右分别系着一长一短两根轻质绳子，两端挂着相同的小球，圆锥筒静止时绳子平行于圆锥面。当圆锥筒绕中心轴开始缓慢加速转动时，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．角速度慢慢增大，一定是绳子较长的球先离开圆锥筒
B．角速度达到一定值时两个球一定同时离开圆锥筒
C．两个球都离开圆锥筒后，高度不一定相同
D．两个球都离开圆锥筒后，高度一定相同
[答案]　AD
2
竖直面内圆周运动的临界问题
(能力考点·深度研析)
1．运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动。
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度。
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点两种情形。
2．竖直面内圆周运动的两种模型
轻绳模型 轻杆模型
模型图示 有支撑的小球
弹力特征 小球受到的弹力可能向下，也可能等于零 小球受到的弹力可能向下，可能向上，也可能等于零
考向1　轻“绳”模型问题
如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，重力加速度大小为g，下列说法正确的是(　　)
A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，
全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小
为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
[答案]　D
反思提升
分析竖直面内圆周运动问题的思路
考向2　单球轻杆模型
如图所示，有一个半径为R的内壁光滑的圆管道
(管壁厚度可忽略)。现给小球一个初速度，使小球沿管
道在竖直面内做圆周运动。关于小球在最高点的速度v，
下列叙述中正确的是(小球可看成质点)(　　)
[答案]　C
反思提升
解题技巧
(1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程。
(2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。
(3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。
考向3　双球轻杆模型
如图，轻杆长2l，中点装在水平轴O上，两端分别固定着小球A和B(均可视为质点)，A球质量为m，B球质量为2m，重力加速度为g，两者一起在竖直平面内绕O轴做圆周运动。
(1)若A球在最高点时，杆的A端恰好不受力，求此
时B球的速度大小；
(2)若B球到最高点时的速度等于第(1)问中的速度，
求此时O轴的受力大小和方向；
(3)在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？若不能，请说明理由；若能，求出此时A、B球的速度大小。
【跟踪训练】
(多选)(2024·陕西延安市黄陵中学模拟)如图所示，一
质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻
绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法
正确的是(　　)
1
[答案]　ABC
(多选)(2025·贵阳联考)如图甲所示，一轻质杆一端固定在水平转轴O上，另一端与小球(可视为质点)连接，小球随轻杆绕转轴在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时杆对小球的弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，重力加速度取10 m/s2，其F－v2图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
2
A．轻质杆长为0.3 m
B．小球的质量为0.75 kg
C．当v2＝1 m2/s2时，小球受到的弹力方向向上，且大小等于2.5 N
D．当v2＝8 m2/s2时，小球受到的弹力方向向下，且大小等于10 N
[答案]　AB
3
斜面上圆周运动的临界问题
(能力考点·深度研析)
1．题型简述：在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。
2．解题关键——重力的分解和视图
物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。
[答案]　D
【跟踪训练】
如图所示，在倾角为θ的足够大的固定斜面上，一长度为L的轻绳一端固定在O点，另一端连着一质量为m的小球(视为质点)，可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动，通过最高点B。重力加速度大小为g，轻绳与斜面平行，不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
3
[答案]　C
如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10 m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)
4
[答案]　A(共38张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
第23讲　实验五　探究平抛运动的特点
实验知识·自主回顾
核心考点·重点突破
实验知识 · 自主回顾
一、实验思路
用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度。
二、实验器材
末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等。
2．安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否________，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能__________________________，则表明斜槽末端已调水平，如图。
三、实验过程
1．安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否________。
竖直
水平
静止在轨道上的任意位置
3．描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹。
4．确定坐标原点及坐标轴：选定_____________________________ _______的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴。
斜槽末端处小球球心在白纸上的
投影
四、数据处理
1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线
(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则应以抛出点为坐标原点建立直角坐标系，且轨迹上各点的坐标满足y＝ax2的关系，且同一运动轨迹上a是一个特定的值。
(2)验证方法
方法一：代入法
用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y＝ax2中求出常数a，判断a值在误差允许的范围内是否为一常数。
方法二：图像法
建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a的值。
2．计算平抛运动物体的初速度
①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，
如图所示。A到B与B到C的时间相等，设为T。
②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB。
(2)类型2：若原点O不是抛出点
五、注意事项
1．固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，保证小球的初速度沿水平方向。
2．固定木板时，木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。
3．为保证小球每次从斜槽上的同一位置由静止释放，可在斜槽上某一位置固定一个挡板。
4．要在斜槽上适当高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由木板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差。
5．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
6．计算小球的初速度时，应选距抛出点稍远一些的点为宜，以便于测量和计算。
核心考点·重点突破
1
教材原型实验
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
(实验操作和数据处理)(2024·河北卷)图1为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图2所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点。
1
(1)每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度________(填“相同”或“不同”)。
(2)在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
(3)根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为________m/s(当地重力加速度g为9.8 m/s2，保留2位有效数字)。
[答案]　(1)相同　(2)见解析图　(3)0.71
[解析]　(1)为了描绘平抛运动的轨迹，
应保证钢球每次离开斜槽末端的速度相同，
则每次释放钢球时，钢球在斜槽上的高度
相同。
(2)用平滑的曲线依次将坐标纸上的点连
接，如图所示。
(实验操作和数据处理)用如图甲所示装置研究平抛运动。实验操作如下：
a．将白纸和复写纸固定在竖直的背板上；
b．将钢球由斜槽上某一位置处静止释放，落在可上下调节的水平挡板N上(挡板N靠近背板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上留下印迹)；
c．上下调节挡板N，重复步骤b，在白纸上记录钢球所经过的多个位置；
2
d．___________________________________________________________________________________________________________________，就得到钢球做平抛运动的轨迹。
(1)请将操作d补充完整。
(2)实验中，必须满足的条件有________。(填正确答案标号)
A．斜槽轨道末端水平
B．斜槽轨道光滑
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(3)通过实验，记录了钢球在运动途中的三个位置，如图乙所示，则该钢球在A点速度的大小为________m/s，钢球抛出点位置的坐标为________。(取g＝10 m/s2)
[解析]　(1)以斜槽水平末端处钢球球心在白纸上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴；取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。
(2)斜槽轨道不一定需要光滑，但末端一定要水平，才能保证是平抛运动，故A正确，B错误；挡板只要能记录下小球下落在不同高度的不同位置即可，不需要等间距变化，故C错误；为了保证小球做平抛运动的初速度相等，小球每次应从斜槽的同一位置由静止释放，故D正确。
(平抛运动规律的实验探究)某同学探究平抛运动的特点。
(1)用如图1所示装置探究平抛运动竖直分运动的特
点。用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，
同时B球被松开并自由下落。若仅要探究A球竖直方向
分运动是否是自由落体运动，较为便捷的实验操作是______________________________________________
______________________________________________。
3
(2)用如图2所示装置研究平抛运动水平分运动
的特点。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬
板上。A球沿斜槽轨道PQ滑下后从斜槽末端Q飞出，
落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，
钢球落在挡板上时，A球会在白纸上挤压出一个痕
迹点。移动挡板，依次重复上述操作，白纸上将留
下一系列痕迹点。
①请给出一种检查“斜槽末端是否水平”的方法
________________________________________________________。
②某同学用图2的实验装置得到的痕迹点如图3所示，其中一个偏差较大的点产生的原因，可能是该次实验时________(选填选项前的字母)。
A．A球释放的高度偏高
B．A球释放的高度偏低
C．A球没有被静止释放
D．挡板MN未水平放置
③纠正②中错误后，该同学若每一次都使挡板MN下移相同的距离，多次实验后，在白纸上得到的图像是________。
(3)在利用图2所示装置确定平抛运动水平分运动的特点时，请你根据(1)得出的平抛运动在竖直方向分运动的特点，设计一个确定“相等的时间间隔”的方案____________________________________________。
[答案]　(1)见解析　(2)①将小球放在斜槽末端，若小球不滚动，则说明斜槽末端水平　②B　③B　(3)使挡板MN到Q的距离之比分别为1∶4∶9∶16∶…
[解析]　(1)打击弹性金属片后，听小球落地的撞击声是否重合，然后改变A、B两球释放的高度和小锤敲击弹性金属片的力度，若两小球落地的撞击声依旧重合，则可以说明平抛运动竖直分运动为自由落体运动。
(2)①将小球放在斜槽末端，若小球不滚动，则说明斜槽末端水平。
②通过图像可知，这个偏差较大的点处的水平速度相比其他的点较小，故产生的原因可能是该次实验A球释放的高度偏低，故B正确。
③由每次下降相同高度可知，相邻两点时间间隔减小，由于水平速度不变，所以相邻两点的水平距离减小，故B正确。
2
创新实验提升
(能力考点·深度研析)
1．实验方法的改进
(2024·南充模拟)在做“研究平抛运动”的实验中，为了确定小球在不同时刻所通过的位置，实验时用如图1所示的装置。实验操作的主要步骤如下：
A．在一块平木板上钉上复写纸和白纸，然后将其竖直立于斜槽轨道末端槽口前，木板与槽口之间有一段距离，并保持板面与轨道末端的水平段垂直
B．使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，小球撞到木板在白纸上留下痕迹A
C．将木板沿水平方向向右平移一段距离x，再使小球从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，小球撞到木板在白纸上留下痕迹B
D．再将木板水平向右平移同样距离x，让小球仍从斜槽上紧靠挡板处由静止滚下，在白纸上得到痕迹C
若测得x＝20 cm，A、B间距离y1＝15 cm，B、C间距离y2＝25 cm，已知当地的重力加速度g取10 m/s2。
(1)根据上述直接测量的量和已知的物理量可以计算出小球平抛的初速度v0＝________m/s；
(2)关于该实验，下列说法中不正确的是________；
A．斜槽轨道不一定光滑
B．每次释放小球的位置必须相同
C．每次小球均需由静止释放
D．小球的初速度可通过测量小球的释放点与抛出点之间的高度h，再由机械能守恒求出
(3)另外一位同学根据测量出的不同x情况下的y1和y2，令Δy＝y2－y1，并描绘出了如图2所示的Δy－x2图像，若已知图线的斜率为k，则小球平抛的初速度大小v0与k的关系式为________________。
[解析]　(1)小球在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，所以y2－y1＝gt2
解得t＝0.1 s
(2)实验中需要小球每次做平抛运动的轨迹相同，即从斜槽末端抛出时的初速度相同，所以每次释放小球的位置必须相同，且每次小球均需由静止释放，而斜槽轨道并不一定要光滑，故A、B、C正确；由于斜槽不可能完全光滑，且存在空气阻力，所以不能由机械能守恒求解小球的初速度，故D错误。故选D。(共29张PPT)
第四章
抛体运动与圆周运动
第24讲　实验六　探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系
实验知识·自主回顾
核心考点·重点突破
实验知识 · 自主回顾
一、实验目的
1．学会使用向心力演示器。
2．探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。
二、实验原理
1．本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了______________。
(1)使两物体的质量、转动的半径相同，探究向心力的大小跟转动的__________的定量关系。
控制变量法
角速度
(2)使两物体的质量、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟转动的________的定量关系。
(3)使两物体的转动半径、转动的__________相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。
半径
角速度
2．向心力演示器
如图所示，匀速转动手柄，可
以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，
槽内的小球也就随之做匀速圆周运
动，此时小球向外挤压挡板，挡板
对小球有一个向内(指向圆周运动的
圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过_______上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。
标尺
三、实验器材
向心力演示器
四、实验步骤
1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。
2．保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。
3．换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。
4．重复几次以上实验。
五、数据处理
分别作出_________、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论。
六、注意事项
摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中的一个标尺的格数。达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数。
Fn－ω2
核心考点·重点突破
1
教材原型实验
(基础考点·自主探究)
【跟踪训练】
如图甲所示为向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处分别到各自转轴中心距离之比为1∶2∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是_____；
A．探究平抛运动的特点
B．用单摆测量重力加速度的大小
C．探究加速度与物体受力、物体质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________层塔轮(选填“一”“二”或“三”)；
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，传动皮带位于第二层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
[答案]　(1)C　(2)一　(3)B
[解析]　(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，则探究向心力的大小与半径的关系，应使两球的角速度相同，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
2
创新实验提升
(能力考点·深度研析)
1．实验方法迁移应用
2．实验器材的改进
用力传感器测量向心力，用光电门测量线速度(角速度)。
3．实验目的的创新
以圆周运动的形式测量其他物理量。
考向1　实验仪器的改进
(2024·辽宁沈阳模拟)某实验小组用如图甲所示装置探究向心力大小与线速度大小和运动半径的关系。光滑的水平直杆固定在竖直转轴上，水平直杆的左侧固定宽度为d的遮光条，遮光条到竖直转轴的距离为2r，水平直杆的右侧套上质量为m的滑块，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，物块到转轴的距离为r，细线处于水平伸直状态，细线拉力的大小可以通过力传感器测得。安装在铁架台上的光电门可测遮光条通过光电门的时间。
(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度如图乙所示，d＝________cm。
[解析]　(1)用游标卡尺测量遮光条的宽度为d＝8 mm＋5×0.1 mm＝8.5 mm＝0.85 cm。
考向2　实验方案的创新
某兴趣小组的同学们用电动机、拉力传感器、电子计数器等设计了一个用圆锥摆验证向心力表达式的实验，如图所示。在支架上固定一个电动机，电动机转轴上固定一拉力传感
器，传感器正下方用细线连接一个小球，
在装置侧面安装一高度可以调节的电子计
数器。本实验中除图中给出的实验器材外
没有其他的器材，已知当地重力加速度大
小为g。
①用刻度尺量出细线的长度L；
②闭合电源开关，稳定后，小球在水平面内做匀速圆周运动，记录此时拉力传感器的示数为F；
③稳定后，调节计数器前端的位置与球心在同一高度处，当小球第一次离计数器最近的P点时计数器开始计数，并记录为1次，记录小球n次到达P点的时间t，用刻度尺测量出此时电子计数器前端与细线顶端的竖直距离h；
④切断电源，整理器材。
请回答下列问题：
(1)本实验中还需要测量的物理量是________(写出名称及符号)，如何测出该物理量________(写明测量方法)；
(2)小球运动的周期为________；(用题中所给物理量符号表示)
(3)根据测量数据，需验证的向心力表达式为__________________。(用题中所给物理量符号表示)
考向3　利用向心力公式求未知量
(2024·石家庄模拟)某同学用如图(a)所示装置探究钢质小球自由摆动至最低点时的速度大小与此时细线拉力的关系。其中力传感器显示的是小球自由摆动过程中各个时刻细线拉力FT的大小，光电门测量的是钢球通过光电门的挡光时间Δt。
(1)调整细线长度，使细线悬垂时，钢球中心恰好位于光电门中心。
(2)要测量小球通过光电门的速度，还需测出________(写出需要测量的物理量及其表示符号)，小球通过光电门的速度表达式为v＝______ (用题中所给字母和测出的物理量符号表示)。
(3)由于光电门位于细线悬点的正下方，此时细线的拉力就是力传感器显示的各个时刻的拉力FT中的________(选填“最大值”“最小值”或“平均值”)。
(4)改变小球通过光电门的速度，重复实验，测出多组速度v和对应拉力FT的数据，作出FT－v2图像如图(b)所示。已知当地重力加速度g＝9.7 m/s2，则由图像可知，小球的质量为________kg，光电门到悬点的距离为________m。

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