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2024-2025学年广东省深圳中学初中部八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列性质中菱形一定具有的是( )
A. 对角线相等 B. 有一个角是直角 C. 对角线互相垂直 D. 四个角相等
2.用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在四边形ABCD中，，添加下列一个条件后，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，BE是平行四边形ABCD的外角平分线，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
5.反比例函数，下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线对称 D. y随x的增大而增大
6.如图，在平行四边形ABCD中，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，点P从B点向C点的运动的过程中，EF的长度( )
A. 保持不变 B. 逐渐增加 C. 先增加再减小 D. 先减小再增加
7.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边上的一点，以AE为边作矩形AEFG，使GF经过点D，则矩形AEFG的面积为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.已知，是关于x的方程的两个实数根，已知等腰的一边长为3，若，恰好是另外两边长，则周长为( )
A. 9 B. 9或11 C. 13 D. 9或13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.方程的两根为，，则的值为______.
10.一个正多边形的每个外角都等于，则它是______边形．
11.如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，过点A作轴，取AB中点C，点D在y轴上，连接AD、CD，的面积为2，则k的值是______.
12.如图，菱形ABCD中，，，AC交BD于点O，于点E，连接OE，则OE的长为______.
13.如图，在等腰中，，，将沿射线BC方向平移至，将点B绕点A逆时针旋转得到点D，连接，，在平移过程中，的最大值为______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题6分
解下列方程：
；
15.本小题8分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图.
在图1中画一个 ABCD，使；
在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的 ABCD；
图2中 ABCD的面积为______.
16.本小题8分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和
根据函数图象可知，当时，x的取值范围是______；
求反比例函数和一次函数的解析式.
17.本小题10分
如图，在 ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，连接AF，
求证：四边形BFDE是矩形；
若，AF平分，，求AB的长.
18.本小题8分
已知关于x的方程
求证：此方程总有实数根；
若m为整数，且此方程有两个互不相等的非负整数根，求m的值.
19.本小题9分
根据以下素材，探索完成任务：
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送.
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到万元.
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办盲盒进行销售.盲盒是一个长方体盒子，其底面面积是，如图，该长方体盒子可用矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子制成.已知矩形硬纸板的长宽分别为26cm，
素材3 已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元.
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率；
任务2 根据素材2，求矩形硬纸板剪去的正方形的边长；
任务3 根据素材3，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能减少库存，求下调后每个手办的售价.
20.本小题12分
四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.
【探究发现】：如图1，小明将沿AE翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边CD于点F，小明发现折痕AE与BF存在特殊的数量关系，数量关系为______；
【类比探究】：如图2，小明继续折纸，将四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边CD于点F，请你猜想线段AG，CE，DF之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】：在的翻折过程中，正方形ABCD的边长为9，
①如图3，若线段恰好经过点D，求AG的长，
②如图4，连接BG，EF，F是CD中点，直接写出的最小值.
参考答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.D
6.D
7.A
8.A
9.3
10.正十
11.8
12.6
13.
14.解：，
，
，
，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，
15.解：如图1， ABCD即为所求．
如图2， ABCD即为所求．
ABCD的面积为
故答案为：
16.解：由图象可知，当时，x的取值范围是或，
故答案为：或；
点和在反比例函数的图象上，
，
解得，
，，
反比例函数为，
将点A和点B的坐标代入得，
解得，
一次函数为
17.证明四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
且，
四边形DFBE是平行四边形，
又，
四边形DFBE是矩形；
解：方法一：
，，，
，，
四边形DFBE是矩形，
，
平分，
，且，
方法二：
，，，
，
，
，
平分，
，
，
，
又，

18.证明：关于x的方程，
当时，方程为，解得；
当时，，
方程总有实数根；
解：由求根公式可求得或，
方程有两个互不相等的非负整数根，
或
19.解：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为x，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设矩形硬纸板剪去的正方形的边长为ycm，，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：矩形硬纸板剪去的正方形的边长为3cm；
任务3：设降价m元，则下调后每个手办的售价为元，销售量为个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
20.解：如图，
由题可知AE垂直平分，
，
在正方形ABCD中，，，
，
≌，
；
故答案为：
；
证明：四边形ABCD是正方形，
，，
翻折，
，
，
过点G作，垂足为点N，
，
，，
，
，
四边形ABNG是矩形，
，，
，
又，，
≌，
，
，即，
①正方形ABCD的边长为9，，
，，
过点D作，垂足为H，交线段AB于点P，连接PE，
四边形ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形，线段经过点D，
，P关于直线GE对称，，
垂直平分DP，
由得，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，
四边形PBFD是平行四边形，
，
，
连接PG，
，
，
；
②如图，过A作交BC于点K，
，
四边形AKEG是平行四边形，
，
过K作于点K，且，
，
≌，
，
，当且仅当H、E、F依次共线时，取等，
过H作，交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，
，，
是CD中点，
是CD中点，
，
，
由中方法可证≌，
，
，
在中，，
即的最小值为

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