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第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连结AE.若CE=5,AC=12,则BE的长是( )
A.5 B.10 C.12 D.13
2.如图所示是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B之间的距离为　 　mm.
D
150
3.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=20,BC=24,CD=7,AD=15,则四边形ABCD的面积是　 　.
234
4.如图所示的象棋盘中,各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发,不走重复路线,按照“马走日”的规则,走两步后的落点与出发点间的最短距离为　　 .
5.笔直的河流一侧有一旅游地C,河边有两个漂流点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,为方便游客,决定在河边新建一个漂流点H(A,H,B在同一直线上),并新修一条路CH,测得BC=5 km,CH=4 km,
BH=3 km.求原路线AC的长.
6.某中学有一块空地ABCD,如图所示,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量,∠ADC=90°,CD=9米,AD=12米,AB=39米,BC=36米.
(1)求出空地ABCD的面积;
(2)若每种植1平方米草皮需要100元,则总共需投入多少元
解:(2)216×100=21 600(元).
答:总共需投入21 600元.
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7.(2023济宁)如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F.若∠CFB=α,则∠ABE等于( )
A.180°-α B.180°-2α
C.90°+α D.90°+2α
C
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9.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图所示,有一台风中心沿AB由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为60 km和80 km,AB=100 km,以台风中心为圆心周围50 km以内为受影响区域.
(1)海港C受台风影响吗 为什么
(2)若台风的速度为14 km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长
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13.2　勾股定理的应用
第1课时　勾股定理的实际应用
过教材　要点概览
1.求立体图形表面最短距离问题,先把立体图形转化为平面图形,然后再根据“两点之间,线段最短”来解决.
2.求平面内最短路线问题,可以通过作辅助线或轴对称变换构造直角三角形,根据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”解决.
精讲练　新知探究
探究点一　立体图形表面最短路径问题
例1　一圆柱的底面周长为20 cm,高AB为4 cm,BC是上底面的直径.
(1)如图①所示,一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,求蚂蚁爬行的最短路程;
①
①
(2)如图②所示,若蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行一圈到点B,求蚂蚁爬行的最短路程.(精确至0.01 cm)
②
②
重点归纳
求立体图形中最短路径问题的步骤
(1)展平:将立体图形展开为平面图形.注意:
①只需展开包含相关点的面;
②可能存在多种展开方法.
(2)定点:确定相关点的位置.
(3)连线:连结相关点,构造直角三角形.
(4)计算:根据勾股定理进行计算求解.
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1.如图所示,已知圆柱底面的周长为6 dm,圆柱的高为4 dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝长度的最小值为( )
A.10 dm B.15 dm C.20 dm D.25 dm
A
2.如图所示,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短长度为多少
探究点二　勾股定理的其他实际应用
例2　如图所示,铁路MN和公路PQ相交于点O,公路PQ上距离点O 240 m的A处与铁路MN的距离是120 m.如果火车行驶时,周围200 m以内会受到噪声的影响,那么火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶时,A处受噪声影响的时间是多少
解:如图所示,过点A作AC⊥ON,以点A为圆心,200 m为半径画弧与ON相交于点B,D,连结AB,AD,则AB=AD=200 m.
∵AB=200 m,AC=120 m,
∴在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=160 m.
∵AB=AD,AC⊥BD,
∴CD=BC=160 m,
∴BD=320 m.
∵火车在铁路MN上沿ON方向以72 km/h的速度行驶,
72 km/h=20 m/s,
∴A处受噪声影响的时间是320÷20=16(s).
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3.如图所示,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的长方形空地,他在以BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长需小于( )
A.9 m B.7 m
C.5 m D.4 m
D
4.如图所示,在离水面8米的岸上有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了　 　米.
9
5.如图所示,在笔直的公路AB旁有一个图书馆C,图书馆C到公路AB的距离CD为80米,AC为100米,BC为300米.一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶,如果公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪声影响,那么公交车至少　 　秒不鸣笛才能使在图书馆C看书的读者不受鸣笛声影响.
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第2课时　勾股定理的简单应用
知识点1　勾股定理的简单应用
1.在平静的湖面上,有一朵红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,这里的水深为( )
A.1.5米 B.2米
C.2.5米 D.1米
A
2.放学后,小红从学校出发向西走150米,接着向北走了360米回到家中,小红的家与学校之间的距离是　 　米.
3.如图所示,为修通铁路需凿通隧道AC,量出∠A=38°,∠B=52°,AB=
10 km,BC=6 km.若每天凿隧道0.5 km,则多少天能把隧道AC凿通
390
解:∵∠A=38°,∠B=52°,∴∠C=90°,
∴AC2=AB2-BC2=64,∴AC=8 km.
∵8÷0.5=16(天),∴16天能把隧道AC凿通.
4.如图所示,某人欲乘船横渡(垂直于河岸)一条河,由于水流的影响,实际上岸地点A偏离欲到达地点B50米,结果他在水中实际的路程比河的宽度多10米,求该河的宽度BC.
解:由题知AB=50米,
设该河的宽度BC为x米,
则AC为(x+10)米.
在Rt△ABC中,根据勾股定理,得
AC2=AB2+BC2,
即(x+10)2=502+x2,解得x=120.
答:该河的宽度BC为120米.
知识点2　勾股定理与图形问题
5.(2024成都期末)如图所示,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,以A为圆心,AB为半径画弧,交最上方的网格线于点D,则CD的长为( )
B
6.如图所示,等边三角形ABC的周长为12,则它的高AD为( )
C
7.如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠CDA=90°,分别以四边形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形,面积分别为S1,S2,S3,S4,若S1=8,S2=11,
S3=15,则S4的值是　 　.
18
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以三角形的三边为边长向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3,已知S1+S2-S3=32,那么图中阴影部分的面积是　 　.
8
9.如图所示,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形组成的网格的格点
上,BD⊥AC 于点D,求线段BD的长及△ABC的周长.
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10.有一块三角形的土地,相邻的两条边长分别为17 m和10 m,第三条边上的高为8 m,则这块三角形土地的面积为　 　m2.
84或36
11.如图所示,某学校(点A)与公路(直线l)的距离AB为 300 m,与公交车站(点D)的距离AD为500 m.现要在公路上建一个小商店(点C),使CA=CD,求商店与车站之间的距离CD.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC2=AB2+BC2,
即x2=3002+(400-x)2,解得x=312.5.
答:商店与车站之间的距离CD为312.5 m.
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12.某镇决定在相距25 km的A,B两站之间的点E处修建一个土特产加工基地.如图所示,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要使C,D两村到点E的距离相等,那么基地E应建在离A站多远的地方
解:设AE=x km.
∵AB=25 km,∴BE=(25-x)km.
∵DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,
∴在Rt△DAE中,DA2+AE2=DE2,
在Rt△EBC中,BE2+BC2=CE2.
∵CE=DE,
∴DA2+AE2=BE2+BC2,
∴152+x2=(25-x)2+102,解得x=10.
答:基地E应建在离A站10 km的地方.
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2.直角三角形的判定
知识点1　勾股定理的逆定理
1.下列长度的三根木棒能组成直角三角形的是( )
A.2,3,4 B.0.5,1.2,1.3
C.8,16,17 D.12,18,22
B
2.根据下列条件判断△ABC不是直角三角形的是( )
A.AB∶BC∶AC=6∶8∶10
B.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
C.∠A=∠B-∠C
D.AB2=BC2-AC2
B
3.下列命题中,正确的是( )
A.在直角三角形中,两条边的平方和等于第三边的平方
B.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若a2+b2=c2,则∠A=90°
C.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,若c2-a2=b2,则∠B=90°
D.在三角形中,若两个角互余,则这个三角形是直角三角形.
D
4.如图所示,在边长都为1的正方形网格图中,△ABC的顶点都在格点上,下列结论不正确的是( )
D
5.(1)已知a,b,c为△ABC的三边长,且|a2+b2-c2|+a2=2ab-b2,则△ABC是
　 　.
(2)若△ABC的三边长分别是a,b,c,且满足 (b-c)(a2+b2)=bc2-c3,则△ABC是　 　.
等腰直角三角形
等腰三角形或直角三角形
6.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形,若是,请说出哪条边所对的角是直角.
(1)a=7,b=24,c=25;
解:(1)∵a2+b2=72+242=625,
c2=252=625,
∴a2+b2=c2.
∴由线段a,b,c组成的三角形是直角三角形,线段c所对角是直角.
7.已知△ABC的周长为12 cm,AC=3 cm,AB-BC=1 cm,判断△ABC的形状,并说明理由.
解:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵△ABC的周长为12 cm,AC=3 cm,
∴AB+BC=9 cm.
又∵AB-BC=1 cm,
∴AB=5 cm,BC=4 cm.
∵AC2+BC2=32+42=25,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形.
知识点2　勾股数
8.下列各组数中,是勾股数的是( )
B
9.(2025西安月考)若9,41,m是一组勾股数,则m的值为　 　.
10.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数,例如:3,4,
5是一组勾股数.现有如下勾股数组:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),….可以发现4=3+1,12=2×(5+1),24=3×(7+1),则第6个勾股数组为
　 　.
40
(13,84,85)
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11.如图所示,在等腰三角形ABC中,底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD=4,
BD=3,则AD的长为　 　.
12.如图所示,△ABC的三边长的比为 AC∶BC∶AB=5∶12∶13,且周长为30,点D在CB上,将△ABC沿AD折叠,使点C落在AB上的点E处,则DC的长
为　　.
13.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称该四边形为勾股四边形.如图所示,已知△ABD和△BCE是等边三角形,连结DC,AC,DE.若四边形ABCD是勾股四边形,且BC2+CD2=AC2,求∠DCB的度数.
解:∵△ABD和△BCE是等边三角形,
∴BA=BD,BE=BC=CE,
∠ABD=∠EBC=∠ECB=60°.
∴∠ABC=∠DBE.
∴△ABC≌△DBE(SAS).
∴AC=ED.
∵BC2+CD2=AC2,∴CE2+DC2=DE2.
∴△DCE是直角三角形,且∠DCE=90°.
∵∠ECB=60°,∴∠DCB=∠DCE-∠ECB=90°-60°=30°.
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14.已知,点P为等边三角形ABC所在平面内一点.
(1)如图①所示,点P在△ABC外,∠BPC=120°,∠ABP=90°,
求证:BP=CP;
①
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵∠ABP=90°,∴∠PBC=30°.
又∵∠BPC=120°,
∴∠PCB=180°-120°-30°=30°,
∴∠PBC=∠BCP,∴BP=CP.
(2)如图②所示,在正方形ABCD内部有一点P,若∠APD=135°,试判断线段PA,PB,PD之间的数量关系,并说明理由.(提示:将△ADP绕点A顺时针旋转90°)
②
(2)解:2PA2+PD2=PB2.理由如下:
如图所示,把△ADP绕点A按顺时针旋转90°得到△ABP′,连结PP′.
则P′B=PD,P′A=PA,∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形,
∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2,∠PP′A=45°.
∵∠APD=135°,∴∠AP′B=∠APD=135°,
∴∠PP′B=90°.
在Rt△PP′B中,由勾股定理,得
PP′2+P′B2=PB2,
∴2PA2+PD2=PB2.
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勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于　 　.即在直角三角形ABC中,若两直角边分别为a,b,斜边为c,则一定有　 　.
斜边的平方
a2+b2=c2
13.1 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理
第13章 勾股定理
精讲练　新知探究
探究点一　勾股定理及证明
例1　观察　(1)如图①所示,将Rt△ABC放置在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形.
①正方形ABED的面积S1为　　　;
②正方形ACMN的面积S2为　　　;
③正方形BCGF的面积S3为　　　.
解:(1)①13　②4　③9
①
(2)可以发现S1,S2,S3之间的关系是 　　　　　　.
(3)如果用a,b,c分别表示正方形ACMN、正方形BCGF、正方形ABED的边
长,可以得出Rt△ABC的三边长存在的关系式是　　　　　　　.
解:(2)S1=S2+S3
(3)a2+b2=c2
(4)如图②所示,分别以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆,若BC=a,AC=b,
AB=c,判断在(2)中发现的S1,S2,S3之间的关系是否还成立,并说明理由.
②
巩固训练
1.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是( )
D
A B C D
2.勾股定理的证法多样,其中“面积法”是常用的方法.小明发现:4个全等的直角三角形的直角边长分别为a,b,斜边长为c,现把这四个直角三角形适当拼合,可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股定
理.你能说明其中的道理吗 请试一试.
探究点二　利用勾股定理求直角三角形的边长
例2　在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)已知a=6,c=10,求b的长;
(2)已知a=40,b=9,求c的长;
(3)已知c=25,b=15,求a的长.
例3　如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,CD是边AB上的高,求BD的长.
方法点拨
在直角三角形中,当已知一边的长度及另外两边的关系时,常设未知数,利用勾股定理建立方程解决问题.
巩固训练
3.(1)在直角三角形中,两条直角边的长分别为2和3,则斜边长为　 　.
(2)若直角三角形的两边长为6和8,则第三边长为　 　 .
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=9,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
(1)求AB的长;
(2)求CE的长.
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13.2　勾股定理的应用
第1课时　勾股定理的实际应用
知识点1　立体图形表面最短路径问题
1.如图所示,圆柱的底面周长为12 cm,AB是底面圆的直径,在圆柱的表面上有一点D,已知BC=10 cm,DC=2 cm,一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的表面爬行到点D,则最短路程为( )
A.14 cm B.12 cm
C.10 cm D.8 cm
C
2.(2024成都期中)如图所示,一个长方体盒子的长、宽、高分别为2 cm,
2 cm,3 cm,一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点,则这只蚂蚁要爬行的最短距离是　 　cm.
5
3.如图所示,直四棱柱的上下底面是正方形,底面边长为5 cm,高AB为
9 cm.在其侧面从点A开始,绕侧面两周,嵌入装饰彩条至点B停止,则彩条的最短长度是多少
知识点2　实际应用中的长度(或高度)问题
4.一条河的宽度处处相等,小刚想从河的南岸横渡(垂直于河岸)到北岸去,由于水流影响,小刚上岸地点偏离目标地点200 m,他在水中的实际路程为520 m,那么该河的宽度为( )
A.440 m B.460 m C.480 m D.500 m
5.爱动脑筋的小明设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面,测得此时绳子末端距旗杆底端2 m,然后将绳子末端拉直到距离旗杆5 m处,测得此时绳子末端距离地面高度
为1 m,最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为
　 　.
C
11 m
6.如图所示,某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿固定方向航行,“远航”号每小时航行16 n mile,“海天”号每小时航行12 n mile,它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处,且相距30 n mile.
(1)求PQ,PR的长度;
解:(1)PQ的长度为16×1.5=24(n mile),
PR的长度为12×1.5=18(n mile).
(2)如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗
解:(2)∵PR2+PQ2=182+242=302=RQ2,
∴∠RPQ=90°.
∵“远航”号沿东北方向航行,
∴“海天”号沿西北(或北偏西45°)方向航行.
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7.如图①所示的是一款竹木材质的二宫格托盘,从内部测得每个格子的底面均是边长为8 cm的正方形,且深为4 cm,两个格子之间的隔断厚
1 cm.图②是该托盘的俯视图(即从上面看到的形状图),若一只蚂蚁从该托盘内部底面的顶点A处,经托盘隔断爬行到内部底面的顶点B处,则蚂蚁爬行的最短距离为　 　 cm.
①　 ②
8.为筹备元旦晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸.如图所示,已知圆筒高108 cm,其平行于底面的截面周长为36 cm.如果在灯罩侧面从底部到顶部缠绕4圈油纸,那么需要油纸的长度最短为　 　cm.
180
9.教材题变式 某隧道的截面由半圆和长方形构成,长方形的长BC为8 m,宽AB为1 m,该隧道内设双车道(共有2条车道),正中间有一条0.6 m宽的双黄线,车辆必须在双黄线两侧行驶,不能压双黄线.现有一辆货运卡车高4 m,宽2 m,则这辆货运卡车能否通过该隧道 说明理由.
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10.某班级在探究“将军饮马”问题时抽象出数学模型:直线l同旁有两个定点A,B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的长度最小.请利用上述模型解决问题:
如图所示,A,B两个小镇在河流CD的同侧,到河的距离分别为AC=10千米,
BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A,B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万元.请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最低,并求出总费用.
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13.1 勾股定理及其逆定理
1.直角三角形三边的关系
第1课时 勾股定理
知识点1　勾股定理及证明
1.数学文化　我国古代数学家赵爽绘制了“弦图”.如图所示,△ABH,
△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形,如果EF=1,AH=3,那么四边形ABCD的面积等于　 　.
第13章 勾股定理
25
2.将两个全等的直角三角形按照如图所示的位置摆放,使点A,E,D在同一条直线上,∠A=∠D=90°,AE=CD=a,AB=ED=b,BE=CE=c.
(1)∠BEC=　　　°,根据三角形面积公式,可得△BEC的面积=　　　　;根据割补法,利用△BEC的面积=梯形的面积减去阴影部分
的面积求△BEC的面积.
(2)求证:a2+b2=c2.
(2)证明:由(1)可知△BEC的面积=c2=(a2+b2),∴a2+b2=c2.
知识点2　利用勾股定理求直角三角形的边长
3.如图所示,阴影部分是一个长方形,则阴影部分的面积是( )
A.6 cm2 B.8 cm2
C.10 cm2 D.12 cm2
C
B
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,将△ABC绕点A顺时针旋转得到对应的△ADE,若点E恰好在AB边上,则BE的长为　 　.
4
6.在Rt△ABC中,AB=2,BC=3,求AC的长.
7.如图所示,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=20,BC=12.
(1)求AB的长度.
(2)设点P在AB上,若∠PAC=∠PCA,求AP的长.
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8.如图所示,把一张长方形纸片沿对角线折叠.若BC=9,CD=3,则阴影部分的面积为　 　.
7.5
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC
的延长线于点E.若AC=8,AB=10,则EC的长为　 　.
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC=4,E在边BC上,且AE=3,∠BAE=90°,则CE的长为　 　.
1.4
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11.将两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放,其中∠ACB=∠AED=
∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.
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3.反证法
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1.反证法的定义
先假设　 　;然后通过　 　,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等　 　 ;从而说明　 　,进而得出原结论正确.这种证明方法叫做“反证法”.
结论的反面是正确的
演绎推理
相矛盾
假设不成立
2.用反证法证明命题的一般步骤
(1)假设结论的　 　是正确的;
(2)通过演绎推理,推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等
　 　;
(3)由矛盾说明假设　 　,进而得出原结论　 　.
反面
相矛盾
不成立
正确
精讲练　新知探究
探究点一　反证法
例1　如果在△ABC中,AB=AC,那么∠B<90°.下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾.
②因此假设不成立,所以∠B<90°.
③假设在△ABC中,∠B≥90°.
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是　 　.(填序号)
③④①②
巩固训练
1.用反证法证明“若|a|<2,则a2<4”时,应假设( )
A.|a|≥2 B.|a|>2
C.a2≥4 D.a2>4
2.(1)等腰三角形的底角必为锐角,用反证法证明,第一步是假设
　 　.
(2)利用反证法证明命题“四边形中至少有一个内角是钝角或直角”时,应假设　 　.
(3)用反证法证明命题“直角三角形中至少有一个锐角不小于
45°”时,首先应假设　 　.
C
等腰三角形的两底角都是直角或钝角
四边形中所有内角都是锐角
直角三角形的两个锐角都小于45°
探究点二　反证法的应用
例2　用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补.
已知:如图所示,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求证:∠1+∠2=180°
证明:假设∠1+∠2　 　180°.
∵l1∥l2,∴∠1　 　∠3.
∵∠1+∠2　 　180°,
∴∠3+∠2≠180°,这与　 　矛盾,
∴假设∠1+∠2　 　180°不成立,
即∠1+∠2=180°.
≠
=
≠
平角为180°
≠
巩固训练
3.已知:△ABC.
用反证法证明:在∠A,∠B,∠C三个内角中,至少有两个锐角.
证明:假设△ABC中至多有一个锐角,即至少有两个角是直角或钝角.
设0°<∠A<90°,90°≤∠B<180°,90°≤∠C<180°,
∴∠A+∠B+∠C>0°+90°+90°=180°.∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与“三角形的内角和是180°”相矛盾,
∴假设△ABC中至多有一个锐角不成立,∴在∠A,∠B,∠C三个内角
中,至少有两个锐角.
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第2课时　勾股定理的简单应用
精讲练　新知探究
探究点一　勾股定理的简单应用
例1　如图所示,小肖同学从滑雪台A处开始向下滑至B处.已知滑雪台的高度AC为14 m,滑雪台整体的水平距离BC比滑雪台的长度AB短2 m,则滑雪台的长度AB为多少米
解:设AB的长为x m,
则BC的长为(x-2)m.
∵AC=14 m,∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,
∴142+(x-2)2=x2,解得x=50.
答:滑雪台的长度AB为50 m.
例2　如图所示,已知一架竹梯AB斜靠在墙上,竹梯AB=13 m,梯子底端离墙脚的距离BO=5 m.
(1)求这架梯子顶端A离地面的高度.
(2)如果梯子的顶端A下滑4 m到点C,那么梯子的底端B在水平方向上滑动的距离BD是4 m吗 为什么
方法点拨
运用勾股定理解决实际问题时,要挖掘实际问题中隐含的条件,找到直角三角形,根据题意,画出图形,将实际问题转化为数学问题;若没有直角三角形,应结合题意构造直角三角形,在直角三角形中运用勾股定理解决问题.
巩固训练
1.如图所示,有少数同学为了避开拐角走“捷径”,在长方形的绿化草坪中走出了一条“路”,其实他们仅仅少走了( )
A.1米 B.2米
C.3米 D.4米
2.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行( )
A.8 m B.10 m
C.12 m D.14 m
D
B
3.如图所示,一位女士从O点向北行走1 km,然后向东走2 km,再向北走
3 km,最后又向东走5 km到达A点,此时她与出发点O的距离是　 　km.
4.如图所示,公园里一棵高16米的古树被台风吹断,断树的两段与地平线恰好组成一个直角三角形,经测量,断树的顶端到底端的距离是8米.古树在距离地面多少米的地方折断
解:示意图如图所示.
根据题意,得在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=16米.
设AC=x米,则AB=(16-x)米.
在△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AC2+BC2=AB2,∴x2+82=(16-x)2,∴x=6.
答:古树在距离地面6米的地方折断.
5.如图所示,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以16海里/时的速度沿北偏东60°方向航行,乙船沿南偏东30°方向航行,3小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛.若C,B两岛相距60海里,则乙船的航速是多少
探究点二　勾股定理与图形的面积
例3　如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=7,DC=24,BC=
15.
(1)求AB的长;
解:(1)如图所示,连结AC.
∵∠ABC=∠ADC=90°,AD=7,DC=24,BC=15,
∴AD2+CD2=AC2=AB2+BC2,
即72+242=AB2+152,
∴AB=20.
(2)求四边形ABCD的面积.
巩固训练
6.如图所示,图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,最大的正方形的边长为7 cm,则图中A,B两个正方形的面积之和为　 　.
49 cm2
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB的长为直径作半圆,当AC=
4,BC=6时,半圆的面积为　 　.(结果保留π)
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第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用
精讲练　新知探究
探究点一　勾股定理在网格中的应用
例1　如图所示,方格纸中小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上.
(1)求边AC,AB,BC的长.
(2)△ABC是直角三角形吗 请说明理由.
(3)求△ABC的面积.
方法点拨
(1)在网格中求斜线段的长度时,先确定斜线段所在的直角三角形,再应用勾股定理计算.
(2)在网格中求三角形的高时,先用割补法求出三角形的面积,再根据勾股定理求出三角形的底,最后应用面积公式进行计算.
巩固训练
1.如图所示,在4×4的正方形网格中有两个格点A,B,连结AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
B
2.如图所示是3×3的正方形网格,每个小正方形的边长都为1,已知△ABC
的三个顶点均在小正方形的顶点上,则边BC上的高是　 　.
3.如图所示,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,有线段AB,点A,B均在小正方形的顶点上.
(1)画一个以BC为底的等腰三角形ABC,使点C在小正
方形的顶点上;
解:(1)如图所示,△ABC即为所求.
(2)再在△ABC内画一个以AC为底的等腰三角形ACD,使点D在小正方形的顶点上,连结BD,并直接写出线段BD的长.
探究点二　勾股定理及逆定理的综合应用
例2　如图所示,有一个△ABC,三边长为AC=6,BC=8,AB=10,沿AD折叠,使点C落在边AB上的点E处.
(1)试判断△ABC的形状,并说明理由;
解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:
在△ABC中,AC2+BC2=62+82=100,
AB2=102=100,∴AC2+BC2=AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)求线段CD的长.
解:(2)根据翻折的性质,得
∠DEB=∠C=90°,CD=DE,AE=AC=6,∴BE=AB-AE=4.
设CD=DE=x,则BD=8-x.
在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,
∴x2+42=(8-x)2.∴x=3,
即线段CD的长为3.
重点必记
(1)应用勾股定理的逆定理可以判定一个三角形为直角三角形,从而计算它的面积.
(2)解答折叠问题的关键是抓住折叠过程中保持不变的量,寻找直角三角形,运用勾股定理求解,有时还需要运用方程思想.
巩固训练
4.如图所示,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉之间的距离AB=25 m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN=12 m,BM=15 m.
(1)求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM.
(1)解:由题意知MN⊥AB,
在Rt△MNB中,
∵BN2=BM2-MN2=152-122=81,
∴BN=9 m,
∴AN=AB-BN=25-9=16(m).
在Rt△ANM中,AM2=AN2+MN2=162+122=400,
∴AM=20 m,
∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长AM为20 m.
(2)求证:∠BMA=90°.
(2)证明:由(1)得AM2+BM2=202+152=252=AB2,
∴△AMB是直角三角形,∠BMA=90°.
5.如图所示,某运动公园有一块空地(四边形ABCD),公园管理处计划在四边形ABCD区域内种植草坪,并在AC处修一条小路,经测量:∠B=90°,AB=
10米,BC=20米,CD=20米,AD=30米.判断△ACD的形状,并说明理由.
解:△ACD是直角三角形.理由如下:
在△ABC中,∠B=90°,AB=10米,BC=20米,
∴AC2=AB2+BC2=102+202=500.
在△ACD中,AC2+CD2=500+400=900,AD2=900.
∴AC2+CD2=AD2.∴△ACD是直角三角形.
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2.直角三角形的判定
过教材　要点概览
1.直角三角形的判定方法
(1)两个角　 　的三角形是直角三角形.
(2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有关系　 　,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角.
2.勾股数
能够成为直角三角形三条边长的三个　 　,称为勾股数.
互余
a2+b2=c2
正整数
精讲练　新知探究
探究点一　勾股定理的逆定理
例1　已知a,b,c分别是△ABC的三边长,根据下列条件,判断△ABC是不是直角三角形.
(1)a=20,b=21,c=29;
(2)a=0.7,b=1.3,c=1.2;
解:(1)202+212=292,故△ABC是直角三角形.
(2)0.72+1.22≠1.32,故△ABC不是直角三角形.
(3)a=m2-n2,b=m2+n2,c=2mn(m>n,m,n为正整数).
解:(3)∵m>n,∴(m-n)2>0,即m2-2mn+n2>0,可得m2+n2>2mn.
又m2+n2>m2-n2,
∴m2+n2是最长边.
∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2,即a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形.
例2　对于任意大于或等于4的偶数,存在下列勾股数:
组别 a b c
第1组 4=2×2 3=22-1 5=22+1
第2组 6=2×3 8=32-1 10=32+1
第3组 8=2×4 15=42-1 17=42+1
(1)根据以上规律,请你直接写出第7组勾股数;
解:(1)第7组勾股数是16,63,65.
(2)请你猜想出第n(n为正整数)组勾股数,并证明这是一组勾股数.
解:(2)猜想:第n(n为正整数)组勾股数为2(n+1),(n+1)2-1,(n+1)2+1.
证明如下:[2(n+1)]2+[(n+1)2-1]2
=4(n+1)2+(n+1)4-2(n+1)2+1
=(n+1)4+2(n+1)2+1
=[(n+1)2+1]2,
故这是一组勾股数.
重点归纳
勾股数必须满足的两个条件
(1)三个数都是正整数;
(2)较小两数的平方和等于最大数的平方.
巩固训练
1.下列各组数中,不是勾股数的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.4,6,8 D.7,24,25
2.在△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则满足下列条件的△ABC不是直角三角形的为( )
A.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13
B.∠A=∠B-∠C
C.b2=a2-c2
D.a∶b∶c=3∶5∶4
C
A
探究点二　勾股定理及其逆定理的综合应用
例3　如图所示,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连结DC,DB,且CD=4,BD=3.
(1)求BC的长;
(2)求证:△BCD是直角三角形.
(2)证明:∵在△BCD中,CD=4,BD=3,BC=5,
∴CD2+BD2=42+32=52=BC2,
∴△BCD是直角三角形.
例4　如图所示,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9.
求证:△ABC是直角三角形.
巩固训练
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是边AB上一点,BD=6,CD=8,求AD的长.
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基础巩固练
3.反证法
知识点1　反证法
1.用反证法证明命题“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°”,第一步应先假设( )
A.∠B≥90° B.∠B>90°
C.∠B<90° D.AB≠AC
2.用反证法证明命题“三角形中最多有一个内角是直角”,应
假设　 　.
A
三角形中至少有两个内角是直角
知识点2　反证法的应用
3.已知命题“在△ABC中,若AC2+BC2≠AB2,则∠C≠90°”.要证明这个命题是真命题,可用反证法,其步骤为:假设　 　,根据　 　　,一定有　 　,但这与已知　 　矛盾,因此假设是错误的,于是可知原命题是真命题.
4.用反证法证明:一条线段只有一个中点.先假设线段AB有两个中点M,N,
不妨设M在N的左边,则AM个中点.
∠C=90°
勾股定理
AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
5.用反证法证明:等腰三角形的底角是锐角.
证明:假设等腰三角形的底角不是锐角,
则其底角大于或等于90°.
∵等腰三角形的两个底角相等,
∴两个底角的和大于或等于180°.
则该三角形的三个内角的和一定大于180°,
这与三角形的内角和定理矛盾,故假设不成立,∴等腰三角形的底角是
锐角.
能力提升练
6.用反证法证明命题“若a,b是整数,且ab能被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,应假设　 　.
a,b都不能被5整除
7.请用反证法证明:如果两个整数的积是偶数,那么这两个整数中至少有一个是偶数.
证明:假设这两个整数都是奇数,其中一个奇数为2n+1,另一个奇数为2p+1(n,p为整数).
则(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1.
∵n,p为整数,∴无论n,p取何值,2(2np+n+p)+1都是奇数,
这与已知中两个整数的积是偶数矛盾,
∴假设不成立,
∴这两个整数中至少有一个是偶数.
素养培优练
8.阅读正文并解答下列问题:
如图所示,已知在△ABC中,AB>AC,求证:∠ACB>∠ABC.
证明:假设∠ACB≤∠ABC,
①若∠ACB<∠ABC,则在BC上取点D,连结AD,使∠ADB=∠B.
则AD=AB;
在AC上取点E,使AE=AD,则AC>AD,
∴AC>AB.这与已知AC②若∠ACB=∠ABC……
综上,∠ACB>∠ABC.
(1)上述证明过程采用的方法是　　　　;
(2)请你补充②中所缺失的部分.
解:(1)反证法
(2)若∠ACB=∠ABC,
则AB=AC,这与已知AC∴假设不成立.
谢谢观赏！

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