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2024-2025学年甘肃省白银市某校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，且，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前项和为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数的图象在处的切线在轴上的截距为，则实数( )
A. B. C. D.
4.某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长，则此扇形花池的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知空间中有，，三点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6.某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛每人被选中的机会均等，则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至多一个被选中的概率是( )
A. B. C. D.
7.若直线与曲线相切，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.在一次抽奖活动中，主办方在一个箱子里放有个写有“谢谢参与”的奖券，个写有“恭喜中奖”的奖券，活动规定从箱子中随机不放回地抽取奖券若抽到写有“谢谢参与”的奖券，则继续；若抽到写有“恭喜中奖”的奖券，则停止求得抽奖次数的均值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，满足，，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. D.
10.如图，在中，，，，若点为的中点，点在上，且，与相交于点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知直线经过点，且与曲线相切，则直线的方程可以为( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四面体中，，棱，的中点分别为，，若，则______．
13.已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数 ______．
14.某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于至之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图是函数的部分图象．
求函数在区间上的值域；
若，且，求的值．
16.本小题分
如图，在正方体中，是的中点，是的中点．
在平面内确定一点，使平面；
证明：棱上不存在点，使平面平面．
17.本小题分
为检验网课学习效果，某机构对名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有在网课结束后对这名学生进行考试，根据考试结果将这名学生分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生
没有家长督促的学生
合计
完成以上列联表，并通过计算结果精确到说明，是否有的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联？
从有家长督促的名学生中按成绩是否上升，采用分层随机抽样的方法抽出人，再从人中随机抽取人作进一步调查记抽到名成绩上升的学生得分，抽到名成绩没有上升的学生得分，抽到的名学生的总得分用表示，求的分布列和数学期望．
18.本小题分
已知函数和，其中，为常数且．
过轴上一点作曲线：的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程；
若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于、两点点在点的上方与轴交于点．
若直线的斜率为，求点的坐标．
设，求证：为定值，并求出该值．
若椭圆的右焦点为，内切圆的半径为，求直线的方程．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15解：由图可知：，即，
所以，此时，
由图可知是五点作图法中的第三点，
所以，即，所以，
则，又
所以，则，
故，得函数在区间上的值域为；
由知，
又，可得，
所以，
所以
．
16在正方体中，是的中点，是的中点，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为，
则，，，
，，，
设，．
，，，
又，不共线，
当时，平面．
，解得，，
当点的坐标为时，平面．
证明：设平面的法向量为，
，，
，令，则，，
平面的一个法向量．
若平面平面，则也是平面的一个法向量．
，，
，即，得，
此时，
不是平面的一个法向量，与平面不垂直．
棱上不存在点，使平面平面．
17.完成列表如下：
成绩上升 成绩没有上升 合计
有家长督促的学生
没有家长督促的学生
合计
因为，
所以有的把握认为家长是否督促学生上网课与学生的成绩是否上升有关联；
采用分层随机抽样的方法抽出人，其中成绩上升的有人，成绩没有上升的有人，再从这人中随机抽取人．
由题意知随机变量所有可能的取值为，，，
则，
，
，
所以的分布列为：
所以均值为：．
18.因为曲线为，所以，
设过的切线切曲线于点，
所以切线方程为，又其过，
所以，
根据题意可知关于的方程只有一个实数解，
即只有一个实数解，
所以，解得或，
当时，，此时切线方程为；
当时，，此时切线方程为．
所以所求切线方程为或．
由，且定义域为，
函数的定义域为，且，
设曲线在点处的切线的斜率为，
则，所以，则点，
设曲线在店处的切线的斜率为，
可得，解得，则点，
因为直线的斜率为，所以，
又因为，所以，即的取值范围为．
19解：易知椭圆左焦点坐标为，则直线方程为，
联立，解得或，
则点的坐标为．
证明：易知直线的斜率存在且不为，且设为，
则联立，
消去得，
设，，则，
由，
且点的横坐标为，
得，，
从而：
，
为定值，且．
解：假设存在直线：满足题意，则的内切圆的半径为，
又、为椭圆的焦点，
故的周长为，
从而，
设、，
则，
即．
由两方程联立得，
得，
化简得，
解得或舍去，
故，即存在直线满足题意．
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