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2024-2025学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.如图，某图形的直观图是一个边长为的菱形，则原图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.( )
A. B. C. D.
4.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：，，，，，，，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数
5.若三点，，在同一条直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，是边上靠近点的三等分点，是的中点，与交于点，( )
A.
B.
C.
D.
8.某数学兴趣小组要测量一个球体建筑物的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点切点，地面上，两点与点在同一条直线上，且在点的同侧若小明同学在，处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且米，则该球体建筑物的高度为米．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A. 若，，则、是异面直线 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.如图是函数的部分图象，下列说法正确的是( )
A. 点的坐标为
B. 的一个可能值是
C. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数
D.
11.群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在世纪年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用．
群的定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
封闭性：对任意的，，有；
结合律成立：对任意的，，，有；
单位元存在：存在，使得对任意的，有，称为单位元；
逆元存在：对任意的，存在，使，称与互为逆元．
则称关于“”新构成一个群则下列结论正确的有( )
A. 自然数集关于数的加法构成群
B. 某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群
C. 为虚数单位关于复数的乘法构成群
D. 关于数的乘法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算______．
13.在中，，，分别三个内角，，的对边，，，若该三角形有两个解，则边长的取值范围为______．
14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是关于的方程的一个根，其中，．
求、的值；
在复数范围内，求该方程的另一根．
16.本小题分
某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了名学生进行问卷测试，将这名学生测试的得分按，，，，分成组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在分以上的学生为“优秀”，成绩小于分的学生为“良好”．
求的值；
估计样本的中位数与平均数；
如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出人，再从这人中选人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？
17.本小题分
在中，，，．
求的值；
取一点，使得，求点到直线的距离．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点．
当为线段的中点时，
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，圆的半径为．
设为圆的一条弦，如图，当时，
当取何值时，取得最小值，并求出此最小值；
设是圆上的一动点，求的最大值；
设、为圆的两条弦，如图，已知，求的最大值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.因为为方程的一个根，
所以，
整理得，
所以，
解得；
因为，，
所以，
配方得，
解得或，
所以原方程的另一根为．
16.由频率分布直方图的性质，可得，解得．
设样本的中位数为，
因为，，所以，
则，解得，
所以样本中位数的估计值为；
由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得．
由题意，测试成绩良好的人数为，
优秀的人数为，
成绩优秀与良好的人数比为：，采用分层抽样的方法抽取的人中优秀人，良好人，
记“从这人中选人恰有人是优秀”为事件，
将优秀的三名学生记为，，，考试成绩良好的两名学生记为，，
从这人中任选人的所有基本事件包括：
，，，，，，，，，，共个基本事件，
事件包含的情况是：，，，，，，共个，
所以恰有一人是“优秀”的概率．
17.过点作，垂足为．
在中，因为，，
所以．
因为，所以，
在中，由勾股定理可得：，
所以．
因为，
所以点为靠近点的三等分点，
所以，．
过作，交的延长线于，
所以即为点到直线的距离．
在中，由余弦定理得：
，
因为，，所以，所以，
又因为，所以∽，所以，
所以，所以点到直线的距离为．
18.证明：底面，平面，，
又底面为正方形，，
又，，平面，
平面，
平面，，
又，为线段的中点，，
又，，平面，
平面；
(ⅱ)如图所示，取的中点，连接，过点作于点，连接，
为的中位线，，
底面，平面，
平面，，
，，，平面，
平面，
所以即为二面角的平面角，
设，则，，
由∽，
可得，即，
解得，
在直角中，，
．
二面角的余弦值为；
如图，连接，交于点，连接，
假设在线段上存在点，使得平面，
平面，平面平面，
由线面平行的性质定理可知，
在中，有，
∽，，
则，
假设成立，即在上存在点，使得平面，此时．
19.解：设，即为直线上某一点，则，
要使取得最小值，即最小，则此时只需，
过点作于点，则，即，
因为，所以，
所以当时，取得最小值，其最小值为．
(ⅱ)因为，，
过点作于点，
，，
所以或，
要使的最大，则需，同向，且最大，此时与圆相切，
平移的垂线至，使圆相切，
此时，，所以，
．
过点作于点，，
，而，
所以
，
因为，所以，，，，
所以，
所以当，共线时，取得最大值，
．
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