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2024-2025学年河北省沧州市高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.某校高中有个班，每个班有名学生，现从该校高中每班随机选派名学生参加交通安全知识竞赛并统计参赛人员的成绩，则其样本量是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，的对边分别为，，，若：：：：，则的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
5.已知事件，，两两互斥，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.小华为测量，视为质点两地之间的距离，选取，与，在同一水平面上两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则，两地之间的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.在正四棱台中，，，分别是棱，的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知复数是虚数，且是实数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，这是某地连续天日平均气温单位：的折线图，则( )
A. 该地这天日平均气温的众数是
B. 该地这天日平均气温的极差是
C. 该地这天日平均气温的分位数是
D. 该地前天日平均气温的标准差小于后天日平均气温的标准差
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.在正方体中，，分别为线段，的中点，为正方形内包含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 不存在点，使得平面平面
C. 存在唯一的点，使得平面
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是关于的方程的根，则 ______．
13.已知半径为的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为______．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中，，，，，分别是，，，，，的中点，是正六边形的中心若，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某校高一年级有名学生，为了解该校高一年级学生的课外阅读时间，研究人员从该校高一年级的学生中随机抽取名学生，获得了他们一周课外阅读时间单位：小时的数据，将所得数据按，，，，，分成六组，得到如图所示的频率分布直方图，其中．
求频率分布直方图中，的值；
试估计该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于小时的人数；
试估计该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
16.本小题分
如图，在四棱锥中，为等边三角形，四边形是菱形，，，．
证明：平面平面．
求点到平面的距离．
17.本小题分
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜局，此人最终获胜，比赛结束；局比赛后，没人累计获胜局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立．
求比赛局结束的概率；
求甲最终获胜的概率．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别是，，，向量，，且．
求；
若，，求面积的最大值；
若，求的取值范围．
19.本小题分
定义两个多面体，的相似度，其中是多面体，重合部分的体积，，分别是多面体，的体积如图，在三棱锥中，，，分别是棱，的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
当时，求三棱锥与三棱锥的相似度．
是否存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.由频率分布直方图可得，
则，又，解得，．
由图可知样本中这周课外阅读时间不低于小时的频率为，
则该校高一年级的学生这周课外阅读时间不低于小时的人数约为．
由题意可得该校高一年级学生该周课外阅读时间的平均数的估计值为：
小时．
16.解：证明：取棱的中点，连接，，
因为四边形是菱形，，
所以．
因为是棱的中点，
所以，则．
因为为等边三角形，且，是棱的中点，
所以．
因为，所以，即．
因为平面，平面，且，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
因为，，
所以的面积．
由可知平面，且，
则三棱锥的体积．
因为，
所以的面积．
设点到平面的距离为，
则三棱锥的体积．
因为，
所以，
解得，
即点到平面的距离为．
17.根据题意，设“比赛局结束”，
比赛局结束的情况有以下两种：
第一种情况，甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第二种情况，乙获胜，即前局比赛中乙获胜局，且第局比赛乙获胜，其概率为．
故；
根据题意，设“甲最终获胜”，
甲最终获胜的情况有以下三类：
第一类情况，比赛三局甲获胜，即甲连胜局，比赛结束，其概率为；
第二类情况，比赛是局甲获胜，即前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第三类情况，比赛五局甲获胜，即局比赛后甲最终获胜，包含三种情况：
甲获胜局，其他局平局，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，其概率为，
前局比赛中甲获胜局，乙获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，
其概率为，
故甲最终获胜的概率．
18.由已知可得，
由正弦定理可得：，
所以，所以，
因为，所以；
由已知可得，
所以，即，
所以，
因为，且，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，即面积的最大值为，
由正弦定理可得，
则，
故，
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
则，即的取值范围为．
19.设的面积为，点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
如图，
取棱的中点，连接，
因为，分别是棱，的中点，
所以，则∽，，
因为，所以是线段的中点，
则，
因为是线段的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，
则三棱锥的体积，
又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
所以三棱锥与三棱锥的重合部分的体积，
因为，且，所以，
即，所以，
同理可得：，，且，
所以，即，所以，
所以
则，则∽，，
因为，所以点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
故三棱锥与三棱锥的相似度；
因为，所以，，
所以，
因为是线段的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，
所以三棱锥的体积，
则三棱锥与三棱锥的重合部分的体积，
因为，且，
所以，即，
所以，
同理可得：，，且，
所以，即，
所以，
所以，则，∽，
所以．
因为点到平面的距离为，
所以点到平面的距离为，
则三棱锥的体积
，
故三棱锥与三棱锥的相似度
．
假设存在满足条件的，则，
所以，
所以，解得或或，
因为，所以，
即存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度．
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