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2024-2025学年湖南省岳阳市湘阴县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，那么符合条件的集合的个数是( )
A. B. C. D.
3.八名学生的高考总分分别为，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是( )
A. B. C. D.
4.在中，，，，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.九章算术中将正四棱台称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知大于的三个实数，，满足，则，，的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于一个古典概型的样本空间和事件，，其中，，，，则( )
A. B. C. 与互斥 D. 与相互独立
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小正周期为
B. 是的一个对称中心
C. 函数在上单调递增
D. 函数图象与直线有个交点
11.如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为矩形，，，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为，其外接球球心为，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 四棱锥的内切球半径为
C. 四棱锥的体积为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的零点是______．
13.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．
14.已知个数，，，的平均数为，方差为，现从中剔除，，，，这个数，且剔除的这个数的平均数为，方差为，则剩余的个数，，，的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市消防救援大队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次逃生及安全常识综合安全事故、自然灾害等网络测试，满分为分测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组所有得分均满足，其中与的人数均为人，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分．
求图中的值，并估计本次测试的及格率“及格率”指得分为分及以上的市民所占比例；
分别求图中的值与的值．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别是，，，，．
求角和边；
若点是边上的中点，求的最大值．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，是四边形含边界内的动点且．
求证：平面；
求点的轨迹长．
若点又在线段上，求此时直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
几何体是从棱长为的正方体中截取所得，其中，分别为，的中点，点在线段上．
若为的中点，求证：平面；
求二面角的正切值；
证明：存在点，使得平面，并求的值．
19.本小题分
双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数．
证明：；
是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
求证：函数存在唯一零点且．
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15由题意，
所以及格率为．
由题意可知，可得，
所以平均分，
解得，．
16.因为，所以由正弦定理得：，
化简得：，
因为，所以，所以，
因为，所以，
又因为，所以；
因为点是边上的中点，所以，
所以，
又由余弦定理得：，
得，即，当且仅当时等号成立，
所以．
17.证明：在直三棱柱中，，，
，是四边形含边界内的动点且，
，，
在中，由余弦定理得：
，
，
由勾股定理得，，
为直三棱柱，则平面，
平面，则，
又，，平面，
平面C.
平面，平面，，
，，
则点在以为圆心，半径为的圆上，
又是四边形含边界内，
故点的轨迹所对圆心角为，点的轨迹长为．
点又在线段上且，，
过点作直线的平行线交于，连接，
则直线与直线所成角为或其补角，
又，，
，
在中，，
，
故直线与直线所成角的余弦值为．
18.证明：设，连接，
因为正方形，
所以为中点，
又矩形中，为的中点，
所以且，
所以为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
在平面中，过作于，连接，
因为几何体是从棱长为的正方体中截取所得，
所以平面，
又平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以是二面角的平面角，
因为，，
所以，
所以，
在中，，，
所以
所以二面角的正切值为．
证明：连接交于点，
因为是正方形，
所以，

又，，面，面，
所以平面，
平面，
所以，
当时，，，平面，
所以平面，
此时，，，则，
又∽，
所以，即，
所以，则，
所以，
又∽，
所以，则，
所以，
所以．
19.证明：右边
，
左边，
因此．
假设存在正实数满足题意，易知在上单调递增，
因此，
因此，为关于的方程的两个不等实数根，
令，即关于的一元二次方程有两个不等正根，，
因此，解得且
因此存在正实数满足题意，的取值范围且．
证明：，定义域为，
当时，函数在上单调递增，
因为，
因此，根据零点存在定理，使得，
故在上有且只有一个零点．
当时，因为单调递增，单调递减，
，，因此，
因此在上不存在零点；
当时，因为单调递增，，因为
因此，因此在上不存在零点；
综上：有且只有一个零点，且．
因为，因此，
因此，
因为在上单调递减，因此，
因此．
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