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2024-2025学年山东省青岛市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.若数据，，，的方差为，则数据，，，的方差为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知的面积为，，，则( )
A. B. C. D.
5.所有顶点都在两个平行平面上的多面体叫做“拟柱体”，两个平行平面之间的距离为“拟柱体”的统一体积公式为其中，，分别为的上底面面积、中截面与上下底面平行且距离相等的截面面积、下底面面积，如图在多面体中，底面是边长为的正方形，，，点到底面的距离是，则该多面体的体积为( )
A. B. C. D.
6.，为不同的平面，，为不同的直线，则下列判断正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
8.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知平面内点，，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校举办了数学知识竞赛，已知该校有名学生，随机抽取名学生的成绩，整理成如图所示的频率分布直方图，则( )
A.
B. 估计该校学生成绩的众数为
C. 估计该校学生成绩的中位数为
D. 估计该校学生成绩的平均数在到之间
10.假设，，，则( )
A. 与互为对立
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，相互独立，则
11.已知正四棱台的上、下底面的边长之比为：，其内切球的半径为，则该正四棱台( )
A. 上底面边长 B. 下底面边长 C. 高为 D. 体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据，，，，，，，的第百分位数是______．
13.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则在上的最小值为______．
14.已知三棱锥的体积为，平面，，，若三棱锥的外接球半径最大值为，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某企业拟招聘部分技术人员，有人参与竞聘，其中研究生人，本科生人，现采用分层抽样的方式，对他们的竞聘成绩满分分进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：，，，，．
请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
若本科生竞聘成绩样本的平均数为，方差为，求整体样本数据的平均数和方差．
参考公式：若总体划分为层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则，．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点．
证明：平面；
求与平面所成角的大小．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，是等边三角形，点，分别是，的中点，，，．
求；
求；
求．
18.本小题分
如图，由三棱锥顶点出发的三条棱两两垂直设，，．
若，求点到平面的距离；
若的面积为，二面角的大小为．
(ⅰ)求的面积；
(ⅱ)求三棱锥体积的最大值．
19.本小题分
在某密码通信系统中，字母只通过符号“”和“”传输，每个符号或的传输可能出错，传输结果相互独立系统只有两种传输模式：模式：若首次传输或前一位传输正确时，则：当发送“”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为；当发送“”时，正确接收的概率为，错误接收的概率为模式：若前一位传输错误，则当前位错误概率变为，假设，，，已知字母的密码为“”，字母的密码为“”．
若，求字母A正确接收的概率；
若，在字母接收的个符号中，记“收到的个数为”，“收到的个数为”，试比较和的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.平均数为，方差为：；
因为研究生有人，本科生人，且研究生抽取人，
由于采用分层抽样的方式，所以本科生抽取人，
故整体样本数据的平均数，
整体样本数据的方差，
所以整体样本数据的平均数为，方差为．
16.证明：因为，为线段的中点，所以，
又底面，底面为正方形，
所以，，，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，，，平面，
所以平面；
由知，平面，
所以为直线与平面所成的角，
设，则，，
在直角三角形中，
则，
所以直线与平面所成角为．
17.在中，，，，
由余弦定理，可得
，
所以；
在中，由正弦定理得，
又，，，
所以；
因为是等边三角形，所以，
因为点，分别是，的中点，，所以，
所以
．
18.因为，
所以，．
设到平面的距离为，
则．
又，
所以，
解得，
所以到平面的距离为．
在三棱锥中，过作于，连接，
因为，，，
所以平面，故A．
又因为，，
所以平面，所以，
因此为二面角的平面角，
所以，在直角中，，
因为，
所以．
(ⅱ)在中，因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立．
又因为，所以，
在直角中，，
所以，当且仅当时等号成立．
综上，三棱锥体积的最大值为．
19.字母的密码为“”，一共接收个符号，个都正确，
则字母A正确接收，
，，
字母A正确接收的概率为；
若，在字母接收的个符号中，
记“收到的个数为”，“收到的个数为”，
，
若字母接收的个符号中，收到“”的个数为，可分种情况：
传输为“”或“”或“”，
，
同理，若字母接收的个符号中，收到“”的个数为，
可分种情况：传输为“”或“”或“”，
，
当时，，
，
当时，，
，
，
若，则；
若，则；
若，则．
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