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2024-2025学年四川省成都七中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.复数，它的共轭复数对应的点位于第几象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，为空间中不重合的直线，，，为空间中不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.已知，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.如图，正八面体所有面都是等边三角形中异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
6.某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为的个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取个小球事件“取出的小球编号为奇数”，事件“取出的小球编号为偶数”，事件“取出的小球编号小于”，事件“取出的小球编号大于”，则下列结论错误的是( )
A. 与互斥 B. 与互为对立事件
C. 与互为对立事件 D. 与相互独立
7.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生人，其每天睡眠时间均值为小时，方差为，抽取高中生人，其每天睡眠时间均值为小时，方差为，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列结论错误的是( )
A. 是纯虚数
B. 若，则是方程的一个复数根
C. 若，则
D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为
10.已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，，垂足为，则( )
A. B. 点的坐标为
C. 的面积为 D.
11.如图所示，在直角梯形中，，，分别是，上的点，且，，将四边形沿向上折起，连接，，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A. 平面 B. 与所成的角先变大后变小
C. 几何体体积有最大值 D. 平面与平面不可能垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥高为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的母线长为______
13.已知函数，若在上有且仅有个零点，则正整数的取值为______．
14.现有甲，乙，丙，丁四支球队进行单循环比赛，即每两支球队在比赛中都要相遇且仅相遇一次若每场比赛中每队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队胜场且乙队胜场的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．
试估计全市参赛者成绩的第百分位数保留小数点后一位和平均数单位：分；
若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为的样本，再从这人中随机抽取两人求抽取的两人都及格大于等于分为及格的概率．
16.本小题分
已知向量，设函数．
化简的解析式，并写出的最小正周期；
若，且，求的值．
17.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，点是的内心，若，．
求角；
延长交于点，若，求的周长．
18.本小题分
如图，在正方体中，，点为棱上的动点不含端点，点为上一点，直线交平面于点．
求证平面．
若，
(ⅰ)求证平面；
(ⅱ)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为．
19.本小题分
本题需使用综合几何法，利用空间向量法不得分
如图，在四棱锥中，，，，，，现设，，其中．
求证：平面平面；
若，求二面角的余弦的取值范围；
当时，求三棱锥的外接球体积的最小值．
参考答案
1.
2.
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9.
10.
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12.
13.
14.
15.，则，
；，
故百分位数在，
则百分位数为，
平均数为；
因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为：
，
，
，
从这人中随机抽取两人，
记中抽取的人编号为，
抽取的人编号为、，
抽取的人编号为、、，
记事件“抽取的两人都及格”，
，，，，，，，，，，，，，，，
所以，
，，，，，，，，，，
所以，
所以．
16.因为，
所以
，故最小正周期；
，由，可得，
因为，且，
所以．
17.由正弦定理及得，，
因为，所以，即，
而，所以．
因为点是的内心，
所以是的平分线，即，
因为，
所以，
即，
整理得，
由余弦定理得，，
所以，
由得，
解得，
因为，所以，
所以的周长为．
18.证明：，，，，四点共面，
平面平面，平面平面，
平面平面，
，
平面，平面，
平面；
证明：连接，
平面，平面，，
又，，平面，，
平面，
平面，
，
又，，平面，，
平面；
(ⅱ)解：设，作交于点，
，，，，平面，
平面，
即为所求，
平面，
，
平面，平面，
，，
设直线与平面所成角为，
则，
整理可得，解得，
当时，直线与平面所成角的正弦值为．
19.证明：因为，，，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
如图，因为，，
所以二面角的平面角即为．
，
在中，由且，结合可得，
故，所以的范围是
即二面角的余弦的取值范围是．
如图，设和的外接圆圆心分别和，
则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点为．
在中，因为，
由余弦定理得
，
再由正弦定理得的外接圆半径．
在中，由余弦定理得
，
再由正弦定理得的外接圆半径．
过点作于，连接，设，显然四边形为矩形，
所以，
则，
即，
整理得，
故当时，取得最小值为，
此时三棱锥外接球的体积最小值为．
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