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2024-2025学年四川省成都市盐道街中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的虚部是( )
A. B. C. D.
2.某学校高一、高二、高三年级的人数之比为：：，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则( )
A. B. C. D.
3.长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4.设为所在平面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形
7.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，，，，，，，，，则( )
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的众数为
C. 该组数据的分位数为
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.已知不重合的直线，，和平面，，，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，，则
D. 若，，，，则直线过点
11.如图，正方体的棱长为，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 存在无数个点，使得平面
B. 过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形
C. 三棱锥的体积为定值
D. 三棱锥的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则向量与的夹角为______．
13.如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测量得，米，在点，处测得塔顶的仰角分别为，，则塔高______．
14.一个圆锥的母线长为，当它的轴截面面积最大时，该圆锥的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期和单调区间；
若，，求的值．
17.本小题分
汽车智能化无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示．
求样本中打分在内的客户人数并估计样本的中位数；
已知打分在内的样本数据的平均值为，方差为，打分在内的样本数据的平均值为，方差为，求打分在内的样本数据的平均值与方差．
18.本小题分
如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面．
求证：平面；
求二面角的大小；
在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求．
若，点，是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围．
若点，是直线上的两个动点，记若恒成立，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.米
14.
15.因为，
所以，
故；
，，
若，则，即．
16.解：
，
函数的最小正周期为，
令，
解得，
所以函数的单调增区间是，
令，
解得，
所以函数的单调减区间是．
由得，
则，
因为，
所以，，
所以
．
17.根据频率分布直方图可知，打分在内的频率为：
，
所以样本中打分在内的客户人数为人．
由图可知，打分在内的频率为，在内的频率为，
设样本的中位数为，则，
则，解得，
故样本的中位数为；
由题可知，打分在，内的频数分别为，，
所以打分在内的样本数据的平均值为．
打分在内的样本数据的方差为：
，
综上所述打分在内的样本数据的平均值与方差分别为，．
18.证明：因为在等腰梯形中，
，，是的中点，
所以四边形为菱形，所以，
又，所以，，又，
所以平面；
由平面，平面，可得；
易知，，所以；
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以即为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
所以，
所以；
假设线段上是否存在点，使得平面，
过点作交于，连接，，如下图所示：
所以，即可得，，，四点共面，
又因为平面，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，点为的中点；
故在线段上存在点，使得平面，且，
易知为正三角形，且，所以，
由勾股定理可得，
所以，
所以．
19.解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，
所以，
因为，
所以，
由，可得，即，
所以，
由正弦定理可得，则，
得，则或舍去，
所以；
设，在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
的面积
，
因为，
所以，
则，
故面积的取值范围为；
因为，
所以，
则，即，
又是定值，
所以，是定值，
所以，
因为，为的内角，
所以，
故的值为．
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