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2024-2025学年天津市西青区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.学校食堂的一个窗口共卖种菜品，甲、乙、丙、丁名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.函数，则等于( )
A. B. C. D.
3.如果随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
4.经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中环的概率为，此运动员两次均击中环的概率为，则在第一次击中环的条件下，第二次也击中环的概率，( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
6.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.设函数可导，的图象如图所示，则导函数可能为( )
A. B.
C. D.
8.若随机变量服从二项分布，且，则( )
A. B. C. D.
9.设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的合格率为，第二车间的合格率为，两个车间的皮品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为：，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为( )
A. B. C. D.
10.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，共30分。
11.若展开式的二项式系数之和为， ______；展开式中项的系数为______．
12.已知随机变量的分布列如下图，若，则______．
13.据典籍周礼春官记载，“宫、商、角、徵、羽”这五音是中国古乐的基本音阶，成语“五音不全”就是指此五音若把这五个音阶全部用上，排成一个五音阶音序，则“徵”和“羽”之间恰好有一个音阶的排法种数为______种用数字作答
14.袋中有个白球，个黑球从中随机地连续抽取次，每次取个球，设取到黑球的个数为，若不放回抽样时，则 ______；若放回抽样时，则 ______用数字作答
15.已知具有线性相关关系的变量，，设其样本点为，经验回归方程为，若______．
16.已知函数且，给出下列结论：
当时，
以上四个结论中不正确的序号为______
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人岁以下喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者岁以上更喜欢阅读纸质书、现在某书店随机抽取名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年轻人 年长者 总计
喜欢阅读电子书
喜欢阅读纸质书
总计
请将上面列联表填写完整；
依据小概率值的独立性检验，分析上表中的抽样数据，能否据此推断喜欢阅读电子书与年龄有关联；
现从年长者中采用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽选人，求抽到至少人为喜欢阅读纸质书年长者的概率．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．
参考公式：，其中．
18.本小题分
已知函数．
求当时，函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
已知函数在上的最大值为，求的值．
19.本小题分
年蛇年春晚舞台上，由中国某科技企业制造的人形机器人扭秧歌表演秧成为一大亮点，引发世界热议，这一节目完美的展示了中国的科技进步与文化自信，更为人形机器人的创新发展注入新的动力，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻某企业为了测试某型号谐波减速器运行情况必须对其中三项不同运行指标甲、乙、丙进行通过量化检测：假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为指标甲、乙、丙检测合格分别记分、分、分，若某项指标不合格，则该项指标记分，各项指标检测结果互不影响．
求该型号谐波减速器运行情况量化得分不低于分的概率；
记该型号谐波减速器运行情况的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量，求的分布列与数学期望．
20.本小题分
已知函数的极值为．
求实数的值；
当时，讨论函数的单调性；
当时，若在有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.列联表如下：
年轻人 年长者 总计
喜欢阅读电子书
喜欢阅读纸质书
总计
零假设：喜欢阅读电子书与年龄无关，
，
依据小概率值的独立性检验可知零假设不成立，
可以推断喜欢阅读电子书与年龄有关联，且犯错的概率不超过；
抽取的喜欢阅读电子书人数为；抽取的喜欢阅读纸质书人数为；
记“抽到至少人为喜欢阅读纸质书年长者”为事件，
．
18.由得：，
所以，
可得，切点坐标为，
且，
则切线方程为，
即；
因为函数的定义域为，且，
令或；
令；
函数的增区间为，，减区间为，
因为，
由可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则函数在上的最大值为，
解得．
19.设甲通过量化检测为事件，乙通过量化检测为事件，
丙通过量化检测为事件，得分不低于分为事件，
因为假设该谐波减速器运行情况的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为，
所以，，，
则；
易知的所有可能取值为，，，．
此时，
，
，
，
则的分布列为：
费用．
20.解：由，得，
由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
则在处取得极大值，解得；
由，得，
若，则，由，得或，由，得，
则在，上单调递增，在上单调递减；
若，，则在上单调递增；
若，则，由，得或，由，得，
则在，上单调递增，在上单调递减；
由，结合，可得，．
因为在有两个零点，则在上有个零点．
令，，得不是其零点，
令，得，
则原题等价于函数与直线在上有个交点．
令，，
则，
由，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增．
从而，
当，，当，．
则可得大致图象如下：则，解得，
所以的取值范围是．
第1页，共1页

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