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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨三十二中高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的 40%分位数
为( )
A. 35 B. 40 C. 45 D. 50
2 2 .复数 满足 = ，则| | =( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
3.已知向量 = ( , 1)， = ( 2,3)，若 // ，则 =( )
A. 2 B. 23 3 C.
3
2 D.
3
2
4.在△ 中，若 = 3， = 6， = 4，则角 的大小为( )
A. 6 B.

3 C.
2 2
3 D. 3或 3
5.甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶 20 次，命中环数的频率分布条形图如图.设甲、乙命中环数的
2 2
众数分别为 甲， 乙，方差分别为 ， 甲 乙，则( )
A. = , 2 < 2甲 乙 B. 甲 = ，
2
乙 >
2
甲 乙 甲 乙
C. > , 2 > 2甲 乙 D. 甲 < 乙，
2 > 2
甲 乙 甲 乙
6.某校高一年级 1000 名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩
40～70 分的同学中共抽取 80 名同学，则抽取成绩 50～60 分的人数是( )
A. 20
B. 30
C. 40
D. 50
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7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的 3 个小球，分别标有数字 1，2，3，先后不放回地摸出两个球，
若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到 3 号球的概
率为( )
A. 1 1 1 26 B. 3 C. 2 D. 3
8.如图，透明塑料制成的长方体容器 1 1 1 1内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再
将容器绕边 倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是( )
A.没有水的部分始终呈棱柱形
B.棱 1 1始终与水面所在平面平行
C.水面 所在四边形的面积为定值
D.当容器倾斜如图(3)所示时， 是定值
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小明用某款手机性能测试 对 10 部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺
序(相等数据相邻排列)排列为：81，84，84，87， ， ，93，96，96，99，已知总体的中位数为 90，则( )
A. + = 180
B.该组数据的均值一定为 90
C.该组数据的众数一定为 84 和 96
D.若要使该总体的标准差最小，则 = = 90
10.袋中有红球 3 个，白球 2 个，黑球 1 个，从中任取 2 个，则互斥的两个事件是( )
A.至少有一个白球与都是白球 B.恰有一个红球与白、黑球各一个
C.至少一个白球与至多有一个红球 D.至少有一个红球与两个白球
11.正三棱台的上、下底面边长分别是 2 和 6，侧棱长是 5，则下列说法正确的是( )
A.该正三棱台的上底面积是 3 B.该正三棱台的侧面面积是 60
C. 59该正三棱台的表面积是 12 21 + 10 3 D.该正三棱台的高是 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.已知复数 为纯虚数，满足| | = 2，则 =______．
13.球员 罚球命中的概率是 0.7，球员 罚球命中的概率是 0.6，且两人罚球是否命中相互独立.那么在一次
两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______. (用小数表示)
14.如图所示，在正方体 1 1 1 1中，则四棱锥 的体积与正方体体积
的比为______．
四、解答题：本题共 4 小题，共 47 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 11 分)
已知平面向量 = (1, )， = (2 + 3, )， ∈ ．
(Ⅰ)若 ⊥ ，求 的值；
(Ⅱ)若 // ，求| |
16.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是菱形， = ， 为 的中点．
(1)求证： //面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ．
17.(本小题 12 分)
在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 = 2 + 2 2．
(1)求角 ；
(2) △ = 5 3若 的面积 4 ，且 = 21，求△ 的周长．
18.(本小题 100 分)
长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市.为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部
门随机选择 100 名游客对长沙旅游体验进行满意度评分(满分 100 分)，根据这 100 名游客的评分，制成如
图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
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(2)估计这 100 名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(3)旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在[50,60)，[60,70)的两组中共抽取 6 人，再从这
6 人中随机抽取 2 人进行单独访问，求选取的 2 人中，恰有 1 人评分在[50,60)内，另 1 人在[60,70)内的概
率．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.± 2
13.0.88
14.13
15.解：(1) ∵ ⊥ ，
∴ = (1, ) (2 + 3, ) = 2 + 3 2 = 0
整理得： 2 2 3 = 0
解得： = 1，或 = 3
(2) ∵ / /
∴ 1 × ( ) (2 + 3) = 0
即 (2 + 4) = 0
解得 = 2，或 = 0
当 = 2 时， = (1, 2)， = ( 1,2)
= (2, 4)
∴ | | = 2 5
当 = 0 时， = (1,0)， = (3,0)
= ( 2,0)
∴ | | = 2
故| |的值为 2 5或 2．
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16.解：(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
因为 ， 分别是 ， 的中点
，所以 // …(4 分)
而 面 ， 面 ，
所以 //面 …(7 分)
(2)连接 ，因为 = ，
所以 ⊥ ，
又四边形 是菱形，
所以 ⊥ …(10 分)
而 面 ， 面 ， ∩ = ，
所以 ⊥面 …(13 分)
又 面 ，
所以面 ⊥面 …(14 分)
2 2 2
17.(1) + 1因为 = 2 + 2 2，由余弦定理，得到 = 2 = 2，
又 0 < < ，所以 = 3；
(2)因为△ = 5 3的面积 4 ，且 = 21，
= 1 = 3 5 3所以有 2 22 4 = 4 ， = + 21，
2 + 2联立 = 26，则 + = ( + )2 = 2 + 2 + 2 = 6，
= 5
所以△ 的周长为 6 + 21．
18.(1)根据各个小长方形的面积之和即频率之和为 1，
所以(0.005 + 0.010 + 0.015 + + 0.040) × 10 = 1，解得 = 0.030；
(2)(55 × 0.005 + 65 × 0.010 + 75 × 0.015 + 85 × 0.030 + 95 × 0.040) × 10 = 84，
所以这 100 名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为 84 分；
(3)评分在[50,60)的人数为 100 × 0.005 × 10 = 5 人，
评分在[60,70)的人数为 100 × 0.010 × 10 = 10 人，
按比例分层抽样的方法从两组中共抽取 6 人，
则从评分在[50,60)中抽取 2 人，分别为 ， 表示；
从评分在[60,70)中抽取 4 人，分别用 ， ， ， 表示，
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则从这 6 人中随机抽取 2 人的所有结果为：
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 15 种．
则恰有 1 人评分在[50,60)内，另 1 人在[60,70)内的所有结果为：
， ， ， ， ， ， ， 共 8 种，
综上所述恰有 1 人评分在[50,60) 8内，另 1 人在[60,70)内的概率为15．
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