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2024-2025学年河北省衡水市、廊坊市等 2地 NT20名校高一（下）期
末数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 3 2 ，则复数 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.已知向量 = (1, 2), = ( 2, 1)，若 // ，则 =( )
A. 4 B. 4 C. 5 D. 5
3.某校高一年级有 720 名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 48 的样本，其中身高在
175 以下的学生人数为 32，则该校高一年级身高在 175 以下的学生人数为( )
A. 320 B. 360 C. 420 D. 480
4.在空间直角坐标系 中， ( 1,1,0)， (2,1, 2)， (0,2, 1)，则平面 的一个法向量为( )
A. (2,1,3) B. ( 2,1,3) C. (2, 1,3) D. (2,1, 3)
5.已知随机事件 和 相互独立，且 ( ) = 0.6， ( ) = 0.75，则 ( ∪ ) =( )
A. 0.9 B. 0.85 C. 0.8 D. 0.78
6 .已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 , , , = 4 , = 4，若△ 有两解，则 的取值范围是( )
A. (2,2 2) B. (2 2, 4) C. (2 2, 2 3) D. (2 3, 4)
7.用抽签法抽取的一个容量为 10 的样本 1， 2，…， 10的平均数为 12，方差为 6，用随机数表法抽取的一
个容量为 20 的样本 1， 2，…， 20的平均数为 15，方差为 9，则样本 1， 2，…， 10， 1， 2，…， 20
的方差为( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
8 .已知菱形 的边长为 6，∠ = 3，现将△ 沿直线 翻折，得到三棱锥 ′ ，则当三棱
锥 ′ 体积最大时，三棱锥 ′ 的外接球的表面积为( )
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于非零向量 , 的说法正确的是( )
A. ,

= B.

若 共线，则 | | | 若| | | = | ，则 , 共线|
C.若 > 0，则 , 的夹角为锐角 D.若 , 的夹角为锐角，则 > 0
10.已知事件 ， 1 7 11， 两两互斥，若 ( ) = 4 , ( ∪ ) = 12 , ( ∪ ) = 15，则( )
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A. ( ) = 1 23 B. ( ) = 5
C. ( ∪ ) = 1320 D. ( ∪ ∪ ) =
53
60
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2，则下列说法正确的有( )
A. 1 ⊥ 1
B. 3直线 1到平面 1 1的距离为 3
C. 6直线 1 与平面 1所成角的正弦值为 3
D. 3平面 1与平面 1 1所成角的正弦值为 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知一组数据如下：3，4，4，6，7，7，8，8，9，10，则这组数据的第 80 百分位数是______．
13.若圆锥的母线长为 6，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为______．
14.在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，记△ 的面积为 ，若 = 3， = 2 ，2 3 =
，则△ 的面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 1 = + ， 2 = 2 (其中 ， ∈ )．

(1)若 1 = 2，求 + 的值；
(2)若 1是关于 的方程 2 + 2 = 0 的一个根，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2, = 2 2, 为线段 的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ；
(2)平面 1 将三棱柱分成两部分，求这大小两部分体积的比值．
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17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，向量 = ( , )， = ( + , )，且 ⊥ ．
(1)求 ；
(2)若△ 的外接圆的面积为 4 ，求△ 周长的取值范围．
18.(本小题 17 分)
这么近，那么美，周末到河北.“五一”小长假过后，为更好地提升旅游品质，邯郸东太行旅游度假区的工
作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分(满分 100 分)，将评分绘制成频率分布直方图，请根据
下面尚未完成的频率分布直方图解决下列问题．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的中位数；
(3)若工作人员从这 100 名游客中随机抽取了 5 名，其中评分在[50,60)内的有 2 人，评分在[70,80)内的有
3 人.现从这 5 人中随机抽取 2 人进行个别交流，求选取的 2 人评分均在[70,80)内的概率．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在直角梯形 中，已知 // ， = = 12 = 2, ∠ = 90°，现将△ 沿 折起到
△ 的位置，使平面 ⊥平面 ，如图 2．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值；
(3)求二面角 的平面角的余弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8.5
13.9 3
14.3 32
15.(1)复数 1 = + ， 2 = 2 (其中 ， ∈ )，

2 = 2 + ，

∵ 1 = 2，∴ + = 2 + ，
解得 = 2， = 1，
∴ + = 3．
(2) ∵ 1是关于 的方程 2 + 2 = 0 的一个根，
∴ ( + )2 ( + ) + 2 = 0，即 2 + 1 + (2 ) = 0．
2
∴ + 1 = 0 = 1 = 1，解得
2 = 0 = 2
或 = 2．
故 = 2 或 = 2．
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16.(1)证明：如图：
连接 1交 1 于点 ，连接 ，
则 为 1的中点，又 为线段 的中点，则 1// ，
因为 1 平面 1 ， 平面 1 ，
因此直线 1/ /平面 1 ．
(2) 2 + 2 = 2，因此 ⊥ ，
1
因此三棱柱的体积 = 2 × 2
2 × 2 = 4．
三棱锥 1 的体积 =
1 1
1 3 × 2 × 1 × 2 × 2 =
2
3，
2 10
因此多面体 1 1 1 的体积 2 = 4 3 = 3．

因此 2 = 5．1
17.(1)因为根据题意可知， ⊥ ，所以 = 0，
即( )( + ) + ( ) = 0，
由正弦定理可知( )( + ) + ( ) = 0，所以 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
根据余弦定理， = 2 = 2，
又 ∈ (0, )，所以 = 3；
(2)因为△ 的外接圆的面积为 4 ，所以半径 = 2，

由正弦定理可知sin = 2 = 4，所以 = 2 3，3
由 2 = 2 + 2 ，知 2 + 2 = 12，
即( + )2 3 = 12,3 = ( + )2 12 ≤ 3 × ( + 2 )
2，
解得( + )2 ≤ 48，即 + ≤ 4 3，当且仅当 = 时等号成立，
又 + > = 2 3，所以 2 3 < + ≤ 4 3，
所以 4 3 < + + ≤ 6 3，即△ 周长的取值范围为(4 3, 6 3]．
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18.(1)根据题意可知，0.02 + 10 + 0.18 + 0.25 + 0.4 = 1，可得 = 0.015，
(2)由 0.02 + 0.15 + 0.18 = 0.35 < 0.5，0.02 + 0.15 + 0.18 + 0.25 = 0.6 > 0.5，
所以中位数在[80,90)之间，设中位数为 ，那么( 80) × 0.025 = 0.5 0.35，
解得 = 86，所以中位数为 86；
(3)设在[50,60)中抽取的 2 人分别为 ， ；在[70,80)中抽取的 3 人分别为 ， ， ；
从这 5 人中随机抽取 2 人，则样本空间为：
{( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )}，共有 10 个基本事件，
设选取的 2 人评分均在[70,80)内为事件 ，
则 中包含( , )，( , )，( , )3 3个基本事件，所以 ( ) = 10．
19.(1) 1证明；因为 = = 2 = 2, ∠ = 90°，
则 = = 2 2，
可得 2 + 2 = 2，则 ⊥ ．
又因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ， 平面 ，
可得 ⊥平面 ，
且 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)过点 作 ⊥ ，交 于点 ．
因为 = ，则 为 的中点，
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
连接 ，则∠ 为 与平面 所成的角．
由(1)知 = = 2 2，
因为 = 2, = 2 + 2 = 10，
则 = 2 + 2 = 2 3，
6所以直线 与平面 所成的角的正弦值 sin∠ = = 6 ．
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(3)由(2)知 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ．
过 作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
因为 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
且 平面 ，所以 ⊥ ，
可知∠ 为二面角 的平面角．
在△ 1中， = 4 = 1，则 =
2 + 2 = 3，
1 3
可得 cos∠ = = 3 = 3 ，
所以二面角 3的平面角的余弦值为 3 ．
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