2024-2025学年广东省潮州市高一(下)期末数学试卷(PDF版,含答案)

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2024-2025学年广东省潮州市高一(下)期末数学试卷(PDF版,含答案)

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2024-2025 学年广东省潮州市高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知 是虚数单位,在复平面内,复数 = (3 + ),则 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.某同学做立定投篮训练,共 3 组,每组投篮次数和命中的次数如表:根据表中的数据信息,用频率估计
一次投篮命中的概率,误差较小的可能性的估计是( )
第一组第二组第三组合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 66 126 183 375
命中的频率 0.66 0.63 0.61 0.625
A. 0.61 B. 0.63 C. 0.625 D. 0.66
3.在△ 中,已知 = 45°, = 2,则△ 的外接圆直径为( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
2
2
4.平面直角坐标系中,△ 的顶点坐标分别为 (0,0), ( , 2), (4,0),∠ = 90°,则实数 =( )
A. 2 B. 2 C. ±2 D. 2
5.已知圆台的上、下底面半径和高的比为 1:4:4,母线长为 5,则圆台的侧面积为( )
A. B. 16 C. 17 D. 25
6.已知 = (0,6), = (1,1),向量 在 上的投影向量的坐标为( )
A. (1,1) B. ( 3,3) C. (3,3) D. ( 3, 3)
7.如图,△ ′ ′ ′是△ 用“斜二测画法”画出的直观图, ′ ′ =
′ ′, ′ ′ ⊥ ′ ′, ′ ′ = 2,则△ 的周长是( )
A. 2 2 + 2
B. 4 2 + 2
C. 2 + 4
D. 2 2 + 2 3 + 2
8 .在△ 中,已知 = 2, = 3, = ,点 为 上的点,且 = 3 ,则 3
=( )
A. 3 17 17 316 B. 4 C. 16 D. 2
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二、多选题:本题共 3 小题,共 12 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9. 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为 2.5日均值在 35 / 3以下,空气质量
为一级;在 35~75 / 3,空气质量为二级;超过 75 / 3为超标.如图是某地 12 月 1 日至 10 日 2.5
的日均值(单位: / 3),则下列说法正确的是( )
A.这 10 天 2.5的日均值逐日增大
B.这 10 天中 2.5日均值的平均值是 48.8
C.从 2.5日均值看,前 5 天的日均值的标准差小于后 5 天的日均值的标准差
D.这 10 天 2.5日均值超标的有 3 天
10.如图, 垂直于以 为直径的圆所在的平面,点 是圆周上异于 , 的任一
点,则下列结论中正确的是( )
A. ⊥
B. ⊥
C.平面 ⊥平面
D.平面 ⊥平面
11.口袋里装有 2 红,2 白共 4 个形状相同的小球,从中不放回的依次取出两个球,事件 =“第一次取出
的是红球”, =“取出的两球同色”, =“取出的两球不同色”,下列判断中正确的是( )
A. ( ) = 12 B. 与 互为对立事件
C. 与 互斥 D. 与 相互独立
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 4 分,共 12 分。
12.已知 是虚数单位,复数 满足| 2 | = 1,请写出一个满足条件的复数 = ______.
13.假设事件 与 相互独立,且 ( ) = 0.8, ( ) = 0.5,则 ( ∪ ) = ______.
14.二面角 的大小是 30°,线段 , ∈ , 与 所成的角为 60°,则 与平面 所成的角的正
弦值是______.
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四、解答题:本题共 5 小题,共 44 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 8 分)
已知| | = 1, | | = 2, = 1.
(1)求 与 的夹角 ;
(2)求| |.
16.(本小题 8 分)
如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中, 为 1的中点.
(1)求证: 1//平面 ;
(2)求三棱锥 的体积.
17.(本小题 8 分)
为了解中学生的身高情况,某部门随机抽取了某学校的 100 名学生,将他们的身高数据(单位: )按
[140,150)、[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]分为五组,绘制成如图所示的频率分布直方图
(1)求 值,并估计这 100 名学生身高的第 45 百分位数;
(2)在上述样本中,用分层抽样的方法从身高在[150,170)的学生中抽取 5 人,再从这 5 人中随机抽取 2 人,
求这 2 人身高都不低于 160 的概率.
18.(本小题 10 分)
3
如图, , , , 四点在同一个圆上, = = 5, = 2,∠ 为钝角,且 sin∠ = 5.
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(1)求 ;
(2)记∠ 为 ,求 sin( + )的值.
19.(本小题 10 分)
为了普及垃圾分类知识,某校举行了垃圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概
率都为 ,乙同学答对每题的概率都为 ( > ),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两
3 1
人同时答对的概率为10,每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为2.
(1)求 和 的值;
(2)求甲、乙两人共答对 3 道题的概率.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1 + 2 (答案不唯一)
13.0.9
14. 34
15.(1)由| | = 1, | | = 2, = 1,
可知 = | | | | = 2 = 1,
则 = 12,又 ∈ [0, ],

所以 = 3;
2
(2)由| |2 = 2 + 2 = 1 + 4 2 = 3,
可得| | = 3.
16.(1)证明:连接 交 于 ,连接 ,所以 是△ 1的中位线,
所以 // 1,
又 面 , 1 面 ,所以 1//平面 ;
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(2)解:正方体 1 1 1 1中, ⊥平面 1 1,
所以 =
1 1 1
= 3 △ = 3 × 2 × × × =
1 1 2
3 × 2 × 2 × 2 × 1 = 3.
17.(1)在频率分布直方图中,所有矩形面积之和为 1,组距 = 10,
由(0.010 + + 0.030 + 0.028 + 0.012) × 10 = 1,即 0.010 + + 0.030 + 0.028 + 0.012 = 0.1,
解得 = 0.1 (0.010 + 0.030 + 0.028 + 0.012) = 0.020,
1 5 组的频率分别为 0.1,0.2,0.3,0.28,0.12,
前 2 组的频率之和为 0.1 + 0.2 = 0.3 < 0.45,
前 3 组的频率之和为 0.3 + 0.3 = 0.6 > 0.45,
所以第 45 百分位数落在[160,170),设为 ,
则 0.3 + ( 160) × 0.03 = 0.45,解得 = 165,
所以这 100 名学生身高的第 45 百分位数为 165;
(2)身高在[150,160)的学生有 100 × 10 × 0.02 = 20 人,
身高在[160,170)的学生有 100 × 10 × 0.03 = 30 人,
故身高在[150,170)的学生共有 50 人,
用分层抽样的方法从身高在[150,160) 20的学生中抽取 5 × 50 = 2 名,记为 1,2,
从身高在[160,170) 30的学生中抽取 5 × 50 = 3 名,记为 , , .
从这 5 名学生中随机选取 2 名学生的所有结果为 , , 1, 2, , 1, 2, 1, 2,12,共 10 种,
记 =“这 2 人身高都不低于 160 ”,
则 包含的结果有: , , ,共 3 种,
3
故所求概率 ( ) = 10.
18.(1)∠ 3为钝角,sin∠ = 5,则 cos∠ = 1 (
3 )25 =
4
5,
4
在△ 中,由余弦定理, 2 = 22 + 52 2 × 5 × 2 × ( 5 ) = 45,则 = 3 5,
圆内接四边形对角互补,于是∠ + ∠ = ,又 sin∠ = 35,则 sin∠ =
3
5,
∠ ∠ cos∠ = 1 ( 3 )2 = 4由题知 为钝角,则 是锐角,于是 5 5,
在△ 中,由余弦定理, 2 + 52 2 × × 5 × 45 = 45,
即 2 8 20 = 0,解得 = 10(负值舍去);
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2 2 2
(2)由(1)知, = 10, = 3 5, = 5,由余弦定理, = 10 +(3 5) 52×10×3 5 =
2 5
5 ,
显然 ∈ (0, ), > 0,则 = 1 cos2 = 55 ,
sin( + ) = + = 5 × 4+ 3 × 2 55 5 5 5 =
2 5
5 .
19.(1) 3 1根据题意,每题甲、乙两人同时答对的概率为10,每题甲、乙两人恰有一人答对的概率为2.
= 3
则 10 ,且 > ,
(1 ) + (1 ) = 12
3
解得 = 5, =
1
2;
(2)根据题意,甲、乙两人共答对 3 道题,有 2 种情况,
①甲答对 2 题,乙答对 1 题,概率 21 = × 2 (1 ) = (
3 )2 × 2 × 1 × 1 = 95 2 2 50;
②甲答对 1 题,乙答对 2 题,概率 2 = 2 (1 ) × 2 = 2 ×
3
5 ×
2
5 ×
1 3
4 = 25;
9 3 3
于是甲、乙两人共答对 3 道题的概率 = 1 + 2 = 50 + 25 = 10.
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