资源简介

2024-2025 学年福建省福州市福清市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有 5 班，动车有 12 趟，高铁有 10 个车次，则小丁当天
出行的方案共有( )
A. 12 种 B. 27 种 C. 120 种 D. 600 种
2.计算 2 + 2 38 5的值是( )
A. 48 B. 76 C. 148 D. 176
3.设函数 ( ) = + ，若 ′(1) = 2，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.设随机变量 ～ (2, 2)， ( 1 < < 5) = 0.6，则 ( > 5) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
5.已知二项式(3 1) 的展开式中仅有第 5 项的二项式系数最大，则 为( )
A. 15 B. 10 C. 9 D. 8
6.从 5，6，7，8，9 中任取两个不同的数，事件 =“取到的两个数之和为偶数”，事件 =“取到的两个
数均为偶数”，则 ( | ) =( )
A. 2 B. 1 1 15 2 C. 4 D. 8
7.设函数 ( ) = 12 ， ∈ [0, ]，则 ( )的最小值和最大值分别为( )
A. 0 B. 3 3 C. 3 3 3 3 2， 2， 6 2， 6 D. 0， 6
8.已知 ， 两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球.其中 盒中有 3 个红球，1 个白球； 盒中
有 1 个红球，3 个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记 盒中的红球个数为 ，
盒中的红球个数为 ，则( )
A. ( ) > ( )， ( ) = ( ) B. ( ) < ( )， ( ) > ( )
C. ( ) > ( )， ( ) < ( ) D. ( ) < ( )， ( ) = ( )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从标号为 0，1，2，3，4，5 的六个蓝球和标号为 6，7，8，9 的四个红球中随机选出 4 个，则下列说法
正确的有( )
A.若选出的 4 个球全部为蓝球，则不同的选法有 15 种
B.若选出的 4 个球中蓝球红球各有 2 个，则有 120 种不同的选法
第 1页，共 7页
C.若蓝球的 0 号和红球的 6 号必须在选出的 4 个球内，则有 56 种不同的选法
D.若蓝球的 0 号和红球的 6 号至少有 1 个在选出的 4 个球内，则有 140 种不同的选法
10.设函数 ( ) = ( 1)2，则( )
A. = 1 是 ( )的极小值点
B. ( )的对称中心是(0,0)
C.当 > 1 时， ( 2) > ( )
D.当 0 < < 1 时， 4 < (2 1) < 0
11.乒乓球，被称为中国的“国球”.某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比
赛时，就由该选手晋级而比赛结束，每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响.假
设甲在任一局赢球的概率为 (0 ≤ ≤ 1)，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为 ( )，则下列说法中
不正确的是( )
A.打满三局结束比赛的概率为 2(1 ) + (1 )2
B. ( )的常数项为 4
C. 1函数 ( )在(0, 3 )上单调递增
D. ( 12 ) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔童闹海》、《唐探 1900》、《 重启
未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
13.某水果店的苹果，60%来自 基地，40%来自 基地， 基地苹果的新鲜率为 90%， 基地苹果的新鲜率
为 85%，从该水果店随机选取一个苹果，则选到新鲜苹果的概率是______．
14.已知函数 ( ) = 1 有两个零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 2 + 3 4 52 3 + 4 + 5 ．
(1)求 4的值；
(2)求 1 + 2 + 3 + 4 + 5的值．
16.(本小题 15 分)
某运动会需要招募一批志愿者，测试合格者录用为志愿者.现有备选题 10 道，规定每次测试都从备选题中随
机抽出 3 道题进行测试，至少答对 2 道题者视为合格.若甲能答对其中的 5 道题，求：
第 2页，共 7页
(1)甲测试合格的概率；
(2)甲答对的试题数 的分布列．
17.(本小题 15 分)
中国国际大数据产业博览会(简称“数博会”)从 2015 年在贵阳开办，至今已过 9 年.某校机器人社团为了
解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了 1000 名市民进行问卷调查，问
卷调查的成绩 近似服从正态分布 (77, 2)，且 (77 ≤ ≤ 80) = 0.3．
(1)估计抽取市民中问卷成绩在 80 分以上的市民人数；
(2)若本次问卷调查得分超过 80 分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取 3 名
市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( + 2).
(1)当 = 0 时，求曲线 = ( )过原点的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
现有 、 两个不透明的袋子， 袋中装有 2 个红球、2 个白球， 袋中装有 1 个红球、2 个白球.玩家甲和玩
家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜.游戏规则是：玩家先从袋子 中随机摸
出 2 个球．
情况 1：摸出的 2 个球颜色相同，则将这 2 个球放入袋子 中，然后从袋子 中随机摸出 2 个球：若摸出 2
个球同色，则玩家获得 8 分；若摸出 2 个球不同色，则玩家获得 4 分；
情况 2：摸出的 2 个球颜色不同，则将这 2 个球放回袋子 中，然后从袋子 中再随机摸出 2 个球；若摸出
2 个球同色，则玩家获得 6 分；若摸出 2 个球不同色，则玩家获得 4 分．
(1)求玩家甲在游戏中得 8 分的概率；
(2)求玩家乙在游戏中获胜的概率；
(3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为 ，求 的分布列．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.64
13.0.88
14.(0,1)
15.(1)法一：由通项公式，得 = +1 5(2 ) = 52 ，
令 = 4 得， 5 = 5 × 16 4 = 80 4，则 4 = 80．
法二：由二项式定理，得(1 + 2 )5 = 0 + 15 5(2 ) + 25(2 )2 + 3(2 )3 + 4 4 5 55 5(2 ) + 5(2 )
= 1 + 10 + 40 2 + 80 3 + 80 4 + 32 5，则 4 = 80．
(2)法一：因为(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 2 3 4 52 + 3 + 4 + 5 ，
所以令 = 0，得 0 = 1，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 35
则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 243 1 = 242．
法二：由二项式定理，得
(1 + 2 )5 = 05 + 15(2 ) + 2(2 )2 + 3(2 )3 + 45 5 5(2 )4 + 55(2 )5
= 1 + 10 + 40 2 + 80 3 + 80 4 + 32 5
因为(1 + 2 )5 = 0 + 1 + 2 2 + 3 3 + 4 54 + 5
所以 1 = 10， 2 = 40， 3 = 80， 4 = 80， 5 = 32，
所以 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 242．
16.(1).现有备选题 10 道，规定每次测试都从备选题中随机抽出 3 道题进行测试，
第 4页，共 7页
至少答对 2 道题者视为合格．
若甲能答对其中的 5 道题，
2 1+ 3 50+10 1
设甲测试合格为事件 ，则 ( ) = 5 5 53 = 10 120
= 2．
(2)甲答对的试题数 可以为 0，1，2，3，
3 1 2
( = 0) = 53 =
1 5 5 5
12
， ( = 1) =
3
= ，
10 10 12
2 1 3
( = 2) = 5 5 = 5 ( = 3) = 5 = 1， ，
3 310 12 10 12
所以 的分布列为：
0 1 2 3
1 5 5 1
12 12 12 12
17.解：(1)因为随机变量 近似服从正态分布 (77, 2)，且 (77 ≤ ≤ 80) = 0.3，
所以 ( > 80) = 0.5 (77 ≤ ≤ 80) = 0.2，所以 1000 × 0.2 = 200，
所以估计抽取市民中问卷成绩在 8(0 分)以上的市民人数为 200 人．
(2)由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为 0.2，且 ～ (3,0.2)，
所以随机变量 的分布列为 ( = ) = 30．2 × 0．83 , = 0,1,2,3，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以随机变量 的均值为 ( ) = 3 × 0.2 = 0.6．
18.(1)当 = 0 时，函数 ( ) = ，那么导函数 ′( ) = ，
因为 (0) = 1，因此原点(0,0)不在曲线 = ( )上，
设过原点的直线与 = ( )相切于点 ( 0, 0)．
= 0 =
0 0
那么切线斜率 0 ，即( 0 1) = 0，0 0
解得 0 = 1，切点坐标为(1, )，
因此切线斜率 = ，因此所求切线为 = ．
(2) ( )的定义域为 ，导函数 ′( ) = ，
①当 ≤ 0 时，导函数 ′( ) > 0，可得 ( )在 上单调递增；
②当 > 0 时，令导函数 ′( ) = 0，解得 = ，
当 > 时， ′( ) > 0；当 < 时， ′( ) < 0，
第 5页，共 7页
因此 ( )在( , + ∞)单调递增，在( ∞, )单调递减，
综上所述，当 ≤ 0 时，函数 ( )在 上单调递增；
当 > 0，函数 ( )在( , + ∞)内单调递增，在( ∞, )内单调递减．
(3)根据第二问得，当 > 0 时，函数 ( )有极小值，
且 ( )的极小值 ( ) = 3 = (1 2).即 2 + 1 > 0．
令 ( ) = 2 + 1， > 0，则 ′( ) = 2 + 1 > 0，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增，且 (1) = 0，
不等式 2 + 1 > 0 等价于 ( ) > (1)，解得 > 1，
所以 的取值范围为(1, + ∞)．
19.(1)根据题意，设事件 =“玩家甲在游戏中得 8 分”，
事件 包括以下两种情况：
甲从袋子 中随机摸出 2 个红球，再将这 2 个球放入袋子 中后从袋子 中随机摸出 2 个球同色；
甲从袋子 中随机摸出 2 个白球，再将这 2 个球放入袋子 中后从袋子 中随机摸出 2 个白球．
2 2 2 2 2
则 ( ) = 2 × 2+ 3 + 2 × 4 1 4 1 6 1
2 2 2
= × + × = ．
4 5 4
2
5 6 10 6 10 6
(2)根据题意，设事件 =“玩家乙在游戏中获胜”，
(1) 1由 的结论，玩家在游戏中得 8 分的概率为 1 = 6，
1 1 2+ 2 2
同理：玩家在游戏中得 6 分的概率为 = 2 2 × 2 22 2 2 = ， 4 4 9
2 1 1 2 1 1 1 1 1 1
玩家在游戏中得 4 = 分的概率为 2 × 2 3 + 2 × 1 4 + 2 23 2 2 2 2 ×
2 2 = 11，
4 5 4 5
2 24 4 18
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得 4 11 2 11分，玩家乙在游戏中得 6 分获胜，此情况发生的概率为18 × 9 = 81；
11 1 11
甲获得 4 分，玩家乙在游戏中得 8 分获胜，此情况发生的概率为18 × 6 = 108；
甲获得 6 2 1 1分，玩家乙在游戏中得 8 分获胜，此情况发生的概率为9 × 6 = 27；
11 11 1 89
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为 ( ) = 81 + 108 + 27 = 324．
(3)根据题意，玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为 ，则 可取的值为 8，10，12，14，16，
= 8 4 ( = 8) = 11 11 121，即甲、乙都得 分，则 18 × 18 = 324，
= 10 11 2 22，即甲、乙一人得 4 分，一人得 6 分，则 ( = 10) = 12 × 18 × 9 = 81，
第 6页，共 7页
= 12，即甲、乙都得 6 分，或甲、乙一人得 4 分，一人得 8 分，则 ( = 12) = 1 × 11 × 1 + 2 × 2 = 412 18 6 9 9 162，
= 14，即甲、乙一人得 8 分，一人得 6 分，则 ( = 14) = 12 ×
1
6 ×
2 2
9 = 27，
= 16 8 ( = 16) = 1 1 1，即甲、乙都得 分，则 6 × 6 = 36，
所以 的分布列为
8 10 12 14 16
121 22 41 2 1
324 81 162 27 36
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑