2024-2025学年安徽省高一(下)期末数学试卷(PDF版,含答案)

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2024-2025 学年安徽省高一(下)期末数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 , , , , 如图所示,图中小方格的边长为 1,则( )
A. = 2 B. = 3 C. | | = 10 D. | | = 5
2.已知复数 满足(2 ) = 1 + 3 ,则 =( )
A. 1 7 B. 13 3 3 +
7 C. 1 7 1 73 5 5 D. 5+ 5
3.已知 , 是两条不重合的直线, 是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若 // , ⊥ ,则 ⊥ B.若 ⊥ , ⊥ ,则 //
C.若 // , ⊥ ,则 ⊥ D.若 // , // ,则 //
4 + .已知 cos = 2,则 tan(

4 ) =( )
A. 2 1 B. 1 2 C. 22 1 D. 1
2
2
5.已知在平行六面体 ′ ′ ′ ′中, = = 2 3, = 6, ′ = 13, ∩ = ,
且 ′ ⊥平面 ,则该平行六面体的体积为( )
A. 12 6 B. 12 3 C. 4 6 D. 4 3
6.将函数 ( ) = cos(2 + 2 3 )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数,则
的最小值为( )
A. 7 12 B. 6 C. 3 D. 12
7.如图,在山脚 处测得山顶 的仰角 为 45°,沿倾斜角 为 15°的斜坡向上走 100 米到达 处,在 处测得
山顶 的仰角 为 60°,则山的高度 为( )
附: 15° = 6 24 .
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A. 50( 6 + 2)米 B. 50( 3 + 1)米 C. 100( 3 + 1)米 D. 120 米
8.已知在△ 中, = 2 = 6, = 3 7, = , = , ∈ (0,1),若 = 0,则 =( )
A. 2 B. 3 C. 14 3 3 D.
1
2
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数 1 = 2 + , 2 = 1 + 2 ,则( )

A. 2 = 1 B. | 1| = | 2|
C. 复数 11 2的虚部为 4 D.复数 在复平面内对应的点位于第三象限2
10.已知函数 ( ) = 2 + 2 ( > 0)的部分图象如图所示,则( )
A. = 1
B. ( 5 点 的坐标为 12 , 0)
C. ( )的图象在区间( 2 ,
5
2 )内有 4 条对称轴
2
D. cos(2 2 2

1) = 2 1
11 2 .如图,在直四棱柱 ′ ′ ′ ′中,底面 为菱形,且 ′ = 2 = 4,∠ = 3,若
为棱 的中点, 为棱 ′上的动点(含端点),则下列说法正确的是( )
A.三棱锥 ′ 的体积为定值
B.记直线 与平面 ′ 7所成的角为 ,则 的最大值为 7
C.若 = ′,则异面直线 ′ 与 3 10′所成角的余弦值为 20
D.若 = 3 6′,则过 , , 三点的平面截该棱柱所得截面的面积为 2
三、填空题:本题共 3 小题,共 15 分。
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12.在△ 1中, = , 3
= 1 2
,若 = + ( , ∈ ),则 = ______.
13 3.已知一个圆锥的底面半径为 2 ,侧面展开图是一个圆心角为 3 的扇形,则过该圆锥顶点的平面截该圆
锥所得截面面积的最大值为______.
14.已知 为△ 内一点,若∠ = ∠ = ∠ = ,则称点 为△ 的“布洛卡点”.若 为等腰
△ 的“布洛卡点”,且 = 2 3,∠ 为钝角,△ 的外接圆的面积为 4 ,则∠ = ______,
= ______.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,0), = (1,2), = + 2 .
(Ⅰ)若( + )// ,求实数 的值;
(Ⅱ)若( + ) ⊥ ( + ),求实数 的值.
16.(本小题 15 分)
如图,在三棱锥 中, ⊥ , = = = 2, = = 2 2,棱 , , , 的中点
分别为 , , , .
(1)证明: //平面 ;
(2)证明:平面 ⊥平面 .
17.(本小题 15 分)
在△ 中,内角 , + , 的对边分别为 , , ,已知 = 2 3,且 + 3 = .
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)若△ 为锐角三角形,求△ 面积的取值范围.
18.(本小题 17 分)
如图,在直三棱柱 ′ ′ ′中,点 到平面 ′ 的距离为 2,△ ′ 的面积为 2 2.
(Ⅰ)求直三棱柱 ′ ′ ′的体积.
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(Ⅱ)若直线 ′ 与平面 ′ ′ ′所成的角为 45°, , 分别为 ′ , ′ 的中点,且 ⊥ .
( )求直三棱柱 ′ ′ ′的外接球的表面积;
( )求二面角 ′的大小.
19.(本小题 17 分)
(Ⅰ)证明: 3 = 4 3 3 ;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论求: 18°的值;
(Ⅲ)若函数 ( ) = 3 + 2 + 1 在区间[0, ], ∈ 内恰有 20 个零点,求 的值及这 20 个零点之
和.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.12
14. 33 5
15.(Ⅰ)由 = (1,0), = (1,2), = + 2 = (3,4),
+ = (1,0) + (1,2) = ( + 1,2),因为( + )// ,
所以 3 × 2 4( + 1) = 0 1,解得 = 2;
(Ⅱ)由 = (1,0), = (1,2), = + 2 ,得出 = + 2 = (1,0) + 2(1,2) = (3,4),
+ = (2,2), + = (1,2) + (3,4) = ( + 3,2 + 4),
因为( + ) ⊥ ( + ),所以( + ) ( + ) = 0,
即 2( + 3) + 2(2 + 4) = 0 7,解得: = 3.
16.(1)证明:如图,
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因为棱 , , , 的中点分别为 , , , ,
所以 // , // ,所以 // ,
又因为 平面 , 平面 ,所以 //平面 ;
(2)证明:因为 = = 2, = 2 2, 是 的中点,
所以 ⊥ ,且 = 2,
因为 ⊥ ,所以 = 2 + 2 = 6,
所以 2 + 2 = 2,所以 ⊥ .
又因为 ∩ = , , 平面 ,所以 ⊥平面 ,
又 平面 ,所以 ⊥ ,
如图,连接 ,则 // ,从而 ⊥ ,且 = 12 = 1,
所以 = = 2,得 △ ∽ △ , 2
所以∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°,所以 ⊥ ,
由 ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ,得 ⊥平面 ,
又 平面 ,所以平面 ⊥平面 .
17.(Ⅰ) + 由根据题意可知, + 3 = ,可得到 ( + 3 ) = + ,
即 + 3 = + ,
又由 = sin( + ) = + ,代入得: 3 = + ,
又∵ > 0,∴ 3 = + 1,
∴ 3 = 2 ( 6 ) = 1,∴ sin(
) = 16 2,
又∵ ∈ (0, ),∴ 6 ∈ (
5
6 , 6 ),
∴ 6 =

6,∴ = 3;
(Ⅱ) △ 1的面积 = 2 =
1
2
= 13 2
3 = 32 4 ,
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2 3
利用正弦定理: = = = 3 = 4,
2
∴: = 4 , = 4 = 4 ( 2 3 ),
则 = (4 ) [2( 3 + )] = 8 ( 3 + ),
= 8( 3 + sin2 ) = 8( 32 2 +
1 2
2 ) = 4( 3 2 2 + 1),
∴△ 3 3的面积 = 4 = 4 4( 3 2 2 + 1) = 3( 3 2 2 + 1),
= 3 2 3 2 + 3,
= 2 3sin(2 6 ) + 3,
又∵△ 为锐角三角形,
= 3 <

2 = 3 < 2 = 3 < 2
< 2 <

2 < 2 ,
< 2 <

2 3 < 2
∴ ∈ ( , 6 2 ),
= 2则 3 ,2

6 ∈ (
5
6 , 6 ),
1
sin(2 6 ) ∈ (2 , 1],
则 = 2 3sin(2 6 ) + 3 ∈ (2 3, 3 3].
18.(Ⅰ) = 1 4因为 ′ ′ = 3 × 2 2 × 2 = 3,
所以 ′ ′ ′ = 3 ′ = 4;
(Ⅱ)( )在直三棱柱 ′ ′ ′中, ′ ⊥平面 ′ ′ ′,
所以∠ ′ ′即为直线 ′ 与平面 ′ ′ ′所成角的平面角,
即∠ ′ ′ = 45°,所以 ′ ′ = ′,即四边形 ′ ′为正方形,
因为 , 分别为 ′ , ′ 的中点,且 ⊥ ,
所以 / / 且 ⊥ ,
因为 平面 ,所以 ⊥ ′,
因为 ∩ ′ = ′,且 , ′ ′ ′,
所以 ⊥平面 ′ ′,
因为 平面 ′ ′,所以 ⊥ ,
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在正方形 ′ ′中, ⊥ ′ ,
因为 ′ ∩ = ,且 ′ , 平面 ′ ,
所以 ⊥平面 ′ ,即 = 2,
所以 ′ ′ = ′ = 2,
1
因为 △ ′ = 2 ′ = 2 2,所以 = 2,
直三棱柱 ′ ′ ′底面为等腰直角三角形,
所以球心为 点,半径为 ,
= 2 + 2 = 2 2,所以 = 12 ′ =
1
2
2 + ′ 2 = 3,
所以球的表面积为 4 2 = 12 .
( )过点 作 的垂线,垂足为 ,连接 ,
因为 ⊥平面 ′ ,且 , 平面 ′ ,
所以 ⊥ , ⊥ ,
因为 ⊥ ,且 ∩ = , , 平面 ,
所以 ⊥平面 ,
因为 平面 ,所以 ⊥ ,
所以∠ 即为二面角 ′的平面角,
在△ 中,由(2)知, = 2, = = 3,
由余弦定理可知: 2 + 2 2 = 2 cos∠ ,
2 2 2
则 cos∠ = 2 +( 3) ( 3) = 3,2×2× 3 3
所以 sin∠ = 1 cos2∠ = 6,3
所以 = ∠ = 2 6,3
由(2)知, = 2,则 sin∠ = 3, = 2
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所以∠ = 3,即二面角 ′的大小为3.
19.解(Ⅰ)证明: 3 = cos(2 + ) = 2 2
= (2 2 1) 2 2
= 2 3 2(1 cos2 ) = 4 3 3 ;
(Ⅱ)设 = 18°,则 2 = 90° 3 ,
所以 2 = sin(90° 3 ) = 3 = 4 3 3 ,
即 2 = 4 3 3 ,
因为 ≠ 0,所以 2 = 4 2 3 = 4(1 sin2 ) 3,
整理得 4 2 + 2 1 = 0 1+ 5,解得 = 4 (负值舍去),
18° = 1+ 5即 4 ;
(Ⅲ) ( ) = 3 + 2 + 1 = 4 3 3 + 2 2 = (4 2 + 2 3),
令 ( ) = 0,得 = 0 或 4 2 + 2 3 = 0,
3
若 = 0,则在[0,2 ]内, = 2或 = 2,
若 4 2 + 2 3 = 0 1± 13 1 13,则 = 4 其中 4 < 1,舍去,
1+ 13
所以 = 4 ,
该方程在[0,2 ]内有 2 个实根,
因为 = 在[0,2 ]内的图象关于直线 = 对称,
所以这两根之和为 2 ,
所以 ( )在[0,2 ]内有 4 个零点,记为 1, 2, 3, 4,其中 1 ∈ (0,

2 ),
= 3 3 3 2 2, 3 = 2, 4 ∈ ( 2 , 2 ),这 4 个零点之和为 1 + 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 2 = 4 ,
所以 = 2 × 5 = 10 , = 10,
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这 20 个零点之和为 4 + 12 + 20 + 28 + 36 = 100 .
第 10页,共 10页

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