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第十章 三角形
三角形的外角及其性质
作业讲评
知识回顾
1.什么是三角形的内角？其和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫做三角形的内角，它们的和是180 °
2.三角形按边分类，可以分成哪几类？
两边相等的等腰三角形
三边相等的等腰三角形
等边三角形
三角形
等腰三角形
三边不等的三角形
按边分
不等边三角形
课堂导入
上节课我们学习了三角形的内角,知道了三角形的三个内角和是180°.请大家观察下面的图形中的角.∠ACD是三角形的内角吗？
A
D
C
B
？
内角
内角
新知探究
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
A
B
C
D
(
∠ACD是△ABC的一个外角
与外角∠ACD不相邻的内角
与外角∠ACD相邻的内角
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
（
（
（
（
（
（
A
B
C
1
2
3
4
5
6
A
B
C
问题1：△ABC如图所示，请画出△ABC的所有外角，指出来有哪几个.
有6个，它们是∠1， ∠2， ∠3， ∠4， ∠5， ∠6.
问题2：△ABC的6个外角有什么关系
∠1和∠4, 是对顶角，相等；
∠2和∠5, 是对顶角，相等；
∠3和∠6, 是对顶角，相等.
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
问题3：在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
解：∵∠ACD+∠ACB = 180°，(补角的定义）
∠A +∠B +∠ACB = 180°，(三角形的内角和定理）
∴∠ACD-∠A-∠B = 0.
∴∠ACD =∠A +∠B.
∵∠A＞0，∠B＞0，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
三角形的外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
归纳
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
∠C
∠3
∠DAC
∠4
练一练 1.如图，口答：
（1）∠1 = + ；
（2）∠2 = + ．
B
A
C
D
1
2
3
4
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
练一练 2.如图，说出图形中∠1 的度数．
（1） （2）
（3） （4）
30°　
60°　
1　
35°　
60°　
1
45°　
50°　
1
30°　
15°　
1
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
例1 如图，∠BCD=92°，∠A=27°，∠BED=44°，求：
(1) ∠B的度数；(2) ∠BFD的度数；
A
C
D
E
B
解：(1) 在△ABC中，∵ ∠BCD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∠BCD=92°，∠A=27°，(已知)
∴∠B=∠BCD-∠A=92°-27°=65°；
(2) 在△BEF中，∵ ∠BFD=∠B+∠BED(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∠BED=44°，∠B=65°，(已知)
∴∠BFD=44°+65°=109°.
知识点1 三角形的外角及性质
F
新知探究
练一练 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
解法一：
∵　∠BAE =∠2 +∠3，
∠CBF =∠1 +∠3，
∠ACD =∠1 +∠2，
∴　∠BAE +∠CBF +∠ACD
= （∠2 +∠3）+（∠1 +∠3）+ （∠1 +∠2）
A
B
F
C
D
E
1
2
3
= 2（∠1 +∠2 +∠3）．
∵　∠1 +∠2 +∠3 =180°，
∴　∠BAE +∠CBF +∠ACD = 2×180°=360°.
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
A
B
F
C
D
E
1
2
3
由∠1 + ∠2 + ∠3 =180°，
得∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
= 540°- 180°
=360°.
解法二：
由∠1 +∠BAE =180°，
∠2 +∠CBF =180°，
∠3 +∠ACD =180°，
得∠1 +∠2 +∠3 + ∠BAE+∠CBF +∠ACD = 540°．
归纳：三角形的外角和360°.
知识点1 三角形的外角及性质
新知探究
谈一谈
1.一个三角形的内角最多有几个直角，最多有几个钝角？
2.一个三角形能不能三个内角都是锐角？
知识点2 三角形按角分类
新知探究
问题4：按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形.
三个内角都是锐角的三角形
有一个内角是直角的三角形
有一个内角是钝角的三角形
知识点2 三角形按角分类
新知探究
请你试着以角为标准对三角形进行分类
两边相等的等腰三角形
三边相等的等腰三角形
三角形
按角分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
等腰直角三角形
等边三角形
三角形
等腰三角形
三边不等的三角形
按边分
不等边三角形
知识点2 三角形按角分类
随堂练习
1.如果三角形三个外角度数之比是3：4：5，则此三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
2.已知，如图，△ABC 中，∠B=∠DAC，则∠BAC 和∠ADC的关系是（　　）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC
C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
B
B
3.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中 ,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
4.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
拓展提升
下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是(　　)
C
1
2
一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于90°，
∠B 和∠C 分别是21°和20°，质量检验员量得∠BDC＝
130°后就断定这个零件不合格．请说明为什么？
如图，在△ABC 中，D 为BC 的延长线上一点，∠A＝60°，
∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点O，求∠O 的度数．
由题意得∠OBC＝ ∠ABC，
∠DCO＝ ∠ACD，
∴∠O＝∠DCO－∠OBC＝ ∠ACD－ ∠ABC＝
(∠ACD－∠ABC )＝ ∠A＝30°.
解：
3
如图，连接AD 并延长到点E，
则∠CDE＝∠C＋∠2，
∠BDE＝∠B＋∠1.
所以∠CDE＋∠BDE＝∠C＋∠2＋∠B＋∠1.
即∠BDC＝∠C＋∠B＋∠CAB.
若零件合格，则∠BDC＝20°＋21°＋90°＝131°.
而量得∠BDC＝130°，所以这个零件不合格．
解：
归纳小结
三角形的外角
三角形外角的性质
三角形的分类
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
按边分类
按角分类
等腰三角形
不等边三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
新知探究
例2 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
知识点1 三角形的外角及性质

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