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2024-2025 学年广东省广州市天河区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量 的方差为 1，则 (2 1) =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.已知两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大
的顺序组成一个新数列{ }，则 5 =( )
A. 45 B. 50 C. 54 D. 60
3.下列函数求导正确的是( )
A. = 2， ′ = 2 B. = 12 , ′ =
C. = 2 ， ′ = 2 2 D. = cos 3 , ′ = sin 3
4.( )( + )5的展开式中 3 3的系数为( )
A. 0 B. 10 C. 20 D. 20
5.用数字 0，1，2，3，4 可以组成没有重复数字的五位偶数共有( )
A. 36 个 B. 48 个 C. 60 个 D. 72 个
6.为了解性别(变量 )与体育锻炼(变量 )是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取 50 名学生，得到成对样
本观测数据的分类统计结果，如表所示(单位：人)，根据数据计算，并依据小概率值 = 0.005 的独立性检
2 = ( )
2
验，附： 2( + )( + )( + )( + )， ( ≥ 7.879) = 0.005，下列结论不正确的是( )
锻炼
合计
不经常经常
女生 15 5 20
男生 10
合计 25 25 50
A. = 20
B. 1若从这 50 人中随机抽取 1 人，则经常锻炼的概率为2
C.变量 与变量 独立，此推断犯错误的概率不超过 0.005
D.变量 与变量 不独立，此推断犯错误的概率不超过 0.005
7.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 处出发，每隔 1 秒等可能地向左或向右移动一个单位，共
移动 5 次，则质点位于 1 的位置的概率为( )
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A. 5 532 B. 16
C. 58 D.
1
4
8 .已知函数 ( ) = +1 ，若 0 < < 1，0 < < 1 且满足 = ，则( )
A. ( ) > ( ) B. ( ) < ( )
C. ( ) = ( ) D. ( )， ( )的大小关系不能确定
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50 次坐公交车和骑
自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时 和骑自行车用时
都服从正态分布， ～ ( 2 21, 6 )， ～ ( 2, 2 ). 和 的分布密度曲线如图所
示.则下列正确的是( )
(参考数据： ( ≤ ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 ≤ ≤ + 2 ) ≈
0.9545， ( 3 ≤ ≤ + 3 ) ≈ 0.9973)
A. 1 > 2
B. ( ≤ 38) < ( ≤ 38)
C. (12 ≤ ≤ 42) > (28 ≤ ≤ 38)
D.为了保证 84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留 36 分钟时间
10.已知函数 ( ) = 2 + ( + 1)，下列正确的是( )
A.当 = 0 时， ( )的图象关于点(0,0)对称
B.当 = 1 时， ∈ (0, + ∞)， ( ) > 0 恒成立
C.若函数 ( )在( 1, + ∞) 1上有两个不同的极值点，则 ∈ (0, 2 )
D.若函数 ( )在( 1, + ∞)上有两个零点，则 ∈ ( ∞,0)
11.我国南宋数学家杨辉在 1261 年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代
数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的说法正确的是( )
A.第 6 行从左到右第 4 个数是 20
B.第 2022 行的第 1011 个数最大
C. 210 在杨辉三角中共出现了 6 次
D.记第 行的第 个数为 +1 1 ，则 =1 2 = 3
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算： 35 24 = ______．
13 1 3.记 为等比数列{ }的前 项和，若 3 = 4 , 3 = 4，则公比 = ______．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可
能地将球传给另外的两个人.第一次传球由甲手中传出，第 次传球后，球在甲手中的概率记为 ( )，请写出
( + 1)与 ( )关系式______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
一批笔记本电脑共有 10 台，其中 品牌 3 台， 品牌 7 台．
(1)若每次从中随机抽取 1 台，抽取后不再放回，则在第一次抽到 品牌的条件下，第二次抽到 品牌的概率；
(2)若从中随机抽取 2 台，求这 2 台电脑中 品牌台数的分布列和期望．
16.(本小题 15 分)
已知数列{ }的首项为 1 = 1，且满足 = + 1, ∈ +1 ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2) 1 + 1 + 1 + … + 1 < 9若 5，求满足条件的最大整数 ．1 2 3
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + ( 2) ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2) > 0 2当 时，证明： ( ) ≥ 2 ．
18.(本小题 17 分)
为了研究广告支出与销售额的关系，现随机抽取 5 家超市作为样本，得到其广告支出 (单位：万元)与销售
额 (单位：万元)数据如下：
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超市
广告支出 1 2 3 4 5
销售额 4 9 14 18 ( > 0)
(1)当 = 20 时，根据表中样本数据，计算相关系数 ，并推断它们的相关程度(保留两位小数)；

(2)根据表中样本数据，用最小二乘法得到销售额 关于广告支出 的回归直线方程为 = 1.3，销售额

的方差为 52.4，求 的值，并计算广告支出为 5(万元)时销售额的残差；
= + + ,
(3)收集更多变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型 ( ) = 0, ( ) = 2得到经验回归模型 =

+ ，对应的残差如图所示，则模型误差是否满足一元线性回归模型的 ( ) = 0 与 ( ) = 2的假设(直接
写出结果)．
=1 ( )( ) =1 ( )( )附：相关系数 =
2
，回归系数 = ，参考数据： 1720 ≈ 41.5．
2 ( )
2
=1 ( ) =1 ( ) =1
19.(本小题 17 分)
牛顿法是牛顿在 17 世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设 = 是函数 = ( )
的零点，即 ( ) = 0.选取 0作为 的初始近似值，过点( 0, ( 0))作曲线 = ( )的切线 ， 的方程为 =
( 0) + ′( 0)( 0)，若 ′( 0) ≠ 0，则直线 与 轴的交点的横坐标记为 1，再过点( 1, ( 1))作曲线
= ( )的切线，并求出切线与 轴的交点的横坐标记为 2，重复以上过程，得 的近似值序列{ }： 1，
2，…， ，也称为牛顿数列，根据已有精确度 ，当| 1| < 时，则 为近似解．
(1)设 ( ) = 3 + 2 + 1，当 0 = 1 时，试用牛顿法求方程 ( ) = 0 满足精确度 = 0.5 的近似解(保留两
位小数)；
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(2)设 ( ) = 2 + + ( , ∈ )的两个零点分别为 ， ( < )，数列{ }为函数 ( )的牛顿数列，若数
列{ }满足 = ln ( ∈ )， 1 = 2， > ，求数列{ }通项公式；
(3)设 ( ) = + ，若 +1 = ( ), ( ) = ( + 1) ( ) + ，函数 ( )的最小值为 ，证明：
< 34．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.48
13.1 1或 2
14. ( + 1) = 12
( )
2
15.(1)由题意得，设事件 ：第一次抽到 品牌，设事件 ：第二次抽到 品牌，
∵ ( ) = 1 13 9 = 27, ( ) = 13 17 = 21，∴ ( | ) =
( ) 21 7
( ) = 27 = 9，
∴ 7每次不放回抽取，则在第一次抽到 品牌的条件下，第二次抽到 品牌的概率9；
(2)设挑选 2 台电脑中 品牌的台数为 ，则 的可能取值为 0，1，2，
( = 0) =
0 2 1 1 2 03 7
2 =
7
15 , ( = 1) =
3 7 7 3 7 1
2
= 15 , ( = 2) = 2 = 15，10 10 10
的分布列：
0 1 2
7 7 1
15 15 15
∴ ( ) = 0 × 715 + 1 ×
7
15 + 2 ×
1 3
15 = 5．
16.(1)因为数列{ }的首项为 1 = 1，且 +1 = + 1, ∈ ．
当 ≥ 2 时， 1 = ， 2 1 = 2， 3 2 = 3，…， 1 = ，
( +2)( 1)
累加可得 1 = 2 + 3 + … + = 2 ，
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2
∵ 1 = 1，∴ = 1 +
+ 2 = ( +1) 2 2 ，
当 = 1 ∴ = ( +1)时，也符合上式． 2 ．
(2) ∵ 1 2 1 1 = ( +1) = 2( +1 )，
∴ 1 + 1 + 1 + … + 1 = 2(1 1 + 1 1+ 1 1 + … + 1 1 ) = 2(1 1 2 2 3 3 4 +1 +1 )，1 2 3
∵ 1 +
1
+
1
+ … +
1 9
1 2 3
< ，
5
∴ 2(1 1 9 1 9 +1 ) < 5 , 1 +1 < 10，
∴ + 1 < 10，∴ < 9，
∵ ∈ ，∴ 的最大值为 8．
17.(1) ′( ) = 2 2 + ( 2) 1 = ( 1)(2 + 1)，
因为 2 + 1 > 0 恒成立，
①当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立，则 ( )在 上单调递减；
②当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
< 时， ′( ) < 0，
> 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞, )单调递减，在( , + ∞)单调递增；
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )在 单调递减，
当 > 0 时， ( )在( ∞, )单调递减，在( , + ∞)单调递增；
1 1
(2)由(1)可得，当 > 0 时， ( ) = (ln
1
) =
2 + ( 2) ln ln 1 1 = 1 + ，
即证 1 1 2 1 + ≥ 2 ，即证 + 1 ≥ 0，
( ) = 1 + 1 ( ) = 1 + 1 = 1令 ，则 ′ 2 2 ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增；
1
所以 ( ) = (1) = 0，即 + 1 ≥ 0，
2
所以 ( ) ≥ 2 ．
18. (1) = 1+2+3+4+5

= 3, = 4+9+14+18+205 5 = 13，
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2 1 0 1 2

9 4 1 5 7

3 =1 ( )( ) = 41，
5 =1 ( )2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10，

5 =1 ( )2 = 81 + 16 + 1 + 25 + 49 = 172，

=
5
=1 ( 相关系数
)( ) ≈ 0.99，


=1 ( )2

=1 ( )2
≈ 0.99 接近于 1，可以推断两个变量正线性相关，且相关性很强；
(2)因为销售额 的方差 52.4，
1 5 即 25 =1 ( ) = 52.4,
5
=1 ( )
2 = 262,5 =1 (
2
) 5 = 262，
因此42 + 92 + 142 + 182 + 2 5( 4+9+14+18+ 5 )
2 = 262，
化为 2 2 45 125 = 0，
解得 = 25， = 2.5(舍去)，

因此 = 1+2+3+4+55 = 3, =
4+9+14+18+25
5 = 14，

因为回归直线方程为 = 3.1 经过样本中心点( , )，

把(3,14)代入 = 5.1 1.3 得 = 5.1，

销售量 关于广告支出 的回归直线方程为 = 5.1 1.3，

当 = 5 时，代入 = 5.1 1.3 得预测值 = 24.2，
而观测值 = 25，因此广告支出为 5(万元)时销售额度的残差：25 24.2 = 0.8(万元)；
(3)由残差图，模型误差满足一元线性回归模型的 ( ) = 0 的假设，
不满足一元线性回归模型的 ( ) = 2的假设．
19.(1)因为函数 ( ) = 3 + 2 + 1，
因此 ′( ) = 3 2 + 2 ，
因此函数 ( )在 0 = 1 处切线的斜率为 1 = ′( 1) = 1，
因为 ( 1) = 1，即切点为( 1,1)，
因此函数 ( )在 0 = 1 处的切线方程为 1 1 = + 1，即 1 = + 2，
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由 1 = 0 得 1 = 2，且| 1 0| ≥ 0.5，
函数 ( )在 1 = 2 处切线的斜率为 2 = ′( 2) = 8，
因为 ( 2) = 3，即切点为( 1, 3)
因此函数 ( )在 1 = 2 处的切线方程为 2 + 3 = 8( + 2)，即 2 = 8 + 13，
13
由 2 = 0 得 2 = 8 ≈ 1.63，且| 2 1| < 0.5，
故用牛顿法求方程 ( ) = 0 满足精度 = 0.5 的近似解为 1.63；
(2)因为 ( ) = 2 + + ( , ∈ )，则 ′( ) = 2 + ，
可得 ( 2 ) = + + , ′( ) = 2 + ，
过点( , ( ))作曲线 = ( )的切线 +1： ( ) = ′( )( )，
= 0 = ( 令 ，得 ) =
2
+1 ′( ) 2 +
，
= ln +1 = ln
2 2 则 +1 +1 2 2
，
又因为 ， 是函数 ( ) = 2 + + 的两个零点，
+ =
因此 = ，且 < <

因此 > 0，
2
因此 = ln 2 = ln
2 2 + 2
+1 2 2 2 2 + 2
= ln( 2 ) = 2 (
) = 2 ，

因此数列{ }是首项为 1 = 2，公比为 2 的等比数列，
因此 = 2 11 = 2 ；
(3)证明：因为函数 ( ) = + ( > 0)，
且 ′( ) = 1 + 1 > 0
因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
由 ( ) = 0, ( 12 ) =
1
2 2 0, (1) = 1 0
1
得2 < < 1, + = 0，
1 1
因此 = = ln ①，且
= ,
= ②，
设 ( ) = + , 1′( ) = 1 + ，
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因此函数 = ( ) 1+ 在( , + )处切线为 ( + ) = ( )，
= 0 (1 当 时， ) +1 = +1 = ( )，
( ) = (1 )因此 +1 , > 0，
因此 ( ) = ( 1) + ，
1
求导得 ′( ) = + +
，
令 ( ) = ′( ) = 1 + + ( > 0)，
1 1则 ′( ) = + 2 +
> 0，
因此函数 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
由①②代入 = ′( )得 ′( ) = 1 + + = 0，
因此当 0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
因此函数 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
因此函数 = ( )最小值为 = 2 ( 12 < < 1)，
令 ( ) = 2 ， > 0，
求导得 ′( ) = 2 1，
令 = 2 1， > 0，求导得 ′ = 2，
当 0 < < 2 时， ′ < 0，当 > 2 时， ′ > 0，
因此函数 ′( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
而 ′(0) = 0， ′(1) = 3 < 0，
因此当 0 < < 1 时， ′( ) < 0 恒成立，即函数 ( )在(0,1)上单调递减，
1 < < 1 1 3而2 ，因此 ( ) < ( 2 ) = 4，
故 < 34．
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