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2024-2025 学年广西南宁市部分学校高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,3,4,6}， = { | 2 10 > 0}，则 ∩ =( )
A. {4,6} B. {3,4,6} C. {3,6} D. {2,3}
2.某学校高一年级有男生 480 人，女生 660 人，现按性别采用分层随机抽样的方法从中选出 19 人，则男
生比女生少选( )
A. 1 人 B. 2 人 C. 3 人 D. 4 人
3 4 .已知复数 与2+ 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则 =( )
A. 7 + 6 B. 7 65 5 5 5 C.
7
5 +
6 D. 75 5
6
5
4.已知函数 ( )对任意 ， ∈ 都满足 ( + ) = ( ) + ( ) 6，且 (1) = 8，则 (3) =( )
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
5.已知 ， 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 // ， ， ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
2
6.已知 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = (2 + 1) + 2 , < 1 (3 1), ≥ 1
是减函数，则 的取值范围为( )
A. [ 12 , 1) B. [
2
3 , 1) C. (
1
2 ,
2 1 2
3 ) D. [ 2 , 3 ]
7.已知 ， 均为锐角，且 sin( ) = 510，cos( + ) =
5
5 ，则tan =( )
A. 3 B. 55 3 C.
1
3 D. 3
8.在平行四边形 中，点 为△ 的重心，则 =( )
A. 5 6
+ 5 B. 1 + 2 6 3 3 C.
2 2 2 1
3 + 3 D. 3 + 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > > > 0，则下列结论正确的是( )
A. >
B. 1 +
3 1 3
> +
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C.若 ≠ 1，则log < 1
D. + = 1 1+ 2若 ，则 的最小值为 3 + 2 2
10 .已知函数 ( ) = cos(3 + )(0 < < )的图象的一条对称轴为直线 = 4，则( )
A. = 3 4 B. ( )

的图象关于点( 4 , 0)对称
C. ( ) ( 13 在 12 , 3 )上单调递减 D. ( )在( 12 , 12 )上有 3 个零点
11.若图 的关联结点(加黑的粗点)构成的点集记为 ， 可划分为两个子集 1和 2， 1 ∩ 2 = ， 1 ∪ 2 =
，且图中的每一条边的一个关联结点在 中，另一个关联结点必在 2中，则将图 称为二部图.现有下列六
个图，若从这六个图中任选两个，则( )
A. 1这两个图都是二部图的概率为5
B. 14这两个图至少有一个是二部图的概率为15
C. 3这两个图不都是二部图的概率为5
D. 3这两个图恰有一个是二部图的概率为5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.|3 6 | = ______．
13.已知某圆锥的轴截面为正三角形，且该圆锥的体积为 9 3 ，若该圆锥的顶点和底面圆周上所有的点均
在同一个球体的表面上，则该球体的表面积为______．
14.已知四边形 是圆 的内接四边形，且 = = 2， ， 的长是方程 2 2 6 + 4 = 0 的两根，
记四边形 的面积为 11，圆 的面积为 2，则 = ______．2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
不透明的袋子中装有 4 个红球， 个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，每次从袋子中有放回地随机取
出 1 1个球，且每次绿球被取出的概率为3．
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(1)求袋子中绿球的个数；
(2)若进行 2 次取球，求这 2 次取出的球的颜色不同的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，且当 ≤ 0 时， ( ) = 3 + 3 + 2．
(1)求 ( )的解析式；
(2)证明：函数 ( ) = ( ) 在(1, + ∞)上单调递增．
17.(本小题 15 分)
7
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 为锐角，且 3 = 2 3 , = 4 ．
(1)求 ；
(2)若 = 1，求△ 的面积；
(3) 求 ．
18.(本小题 17 分)
为了解学生的身体素质，学校随机地抽取了 名学生作为样本，将他们每周的运动时长(单位：小时)分成[0,4)，
[4,8)，[8,12)，[12,16)，[16,20)，[20,24]六组.根据他们的运动时长绘制了如图所示的频率分布直方图，在
样本中，运动时长在[0,4)内的样本学生比在[12,16)内的学生少 10 人．
(1)求 ， 的值；
(2)求样本学生运动时长的中位数；
(3) 5 8 11若在[4,8)，[8,12)，[12,16)内的样本学生运动时长的平均数分别为 6，10，14，方差分别为9 , 9 , 9，求
在[4,16)内的样本学生运动时长的方差．
19.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 4 的菱形，∠ = 60°，△ 为等边三角形， =
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2 6， ， 分别是棱 ， 的中点．
(1)求四棱锥 的体积．
(2)在棱 上是否存在点 ，使得平面 //平面 ？若点 存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
(3)若 是棱 的中点，求二面角 的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 5
13.48
14. 32
15.(1) 根据题意，袋子中装有 4 个红球， 个绿球，则绿球被取出的概率为4+ ．
1
则有4+ = 3，解得 = 2，
故袋子中绿球的个数为 2．
(2) 1 2由题可知，每次绿球被取出的概率为3，则每次红球被取出的概率为3，
且 2 次取出的球的颜色相互独立．
2 1
第一次取出红球，第二次取出绿球的概率为3 × 3 =
2
9；
1 2 2
第一次取出绿球，第二次取出红球的概率为3 × 3 = 9．
2 = 2 + 2 = 4故 次取出的球的颜色不同的概率 9 9 9．
16.(1)当 > 0 时， < 0，
所以 ( ) = ( )3 + 3( ) + 2 = 3 3 + 2．
因为 ( )是偶函数，
所以当 > 0 时， ( ) = ( ) = 3 3 + 2．
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3
( ) = 3 + 2, > 0所以 ；
3 + 3 + 2, ≤ 0
(2) (1) ( ) 2证明：由 可得， ( ) = =
2 + 3( > 1)，
任取 1， 2 ∈ (1, + ∞)，令 1 < 2，
则 ( 1) ( 2) = 2
2 2 2
1 + 2 = (
2
1 22) +
2

2 2
1 2 1
= ( 1 2)( 1 + 2
2
)，
1 2
因为 2 > 1 > 1，所以 1 2 < 0， 1 + 2 > 2， 1 2 > 1
2
，则 1
< 2，
2
2
所以( 1 2)( 1 + 2 ) < 0，即 ( 1) < ( 2)，1 2
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增．
17.(1)因为 = 74 ，且 ∈ (0, )，所以 =
3
4．
又因为 3 = 2 3 ，
2 3
所以由正弦定理得： = 3 =
2 3 3 3
3 × 4 = 2 ．
因为 为锐角，所以 = 3；
(2)由(1)知， = sin( + ) = + = 21+38 ．
6
由正弦定理 = ，得 = = 21+3，
1 1 6 3 3( 7 3)
所以 △ = 2 = 2 × 1 × 21+3 × 2 = 8 ；
2
(3)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 = ( 2 3 )2 = 4 3 3 ，
3 2 3 2 = 0 3( )2 3 整理得： ，所以 1 = 0．

因为 > 0
= 3+ 21，所以 6 ．
18.(1)由题意，(0.025 × 2 + + 0.05 × 2 + 0.0625) × 4 = 1，解得 = 0.0375；
因为运动时长在[0,4)内的样本学生比在[12,16)内的学生少 10 人，
所以 0.0375 × 4 0.025 × 4 = 10，解得 = 200．
(2)因为(0.025 + 0.05) × 4 = 0.，3 < 0.5，(0.025 + 0.05 + 0.0625) × 4 = 0.55 > 0.5，
所以中位数在[8,12)组内，设为 ，
所以 0.，3 + ( 8) × 0.0625 = 0.5，解得 = 11.2，
所以样本学生运动时长的中位数为 11.2 小时．
(3)由频率分布直方图可得，在[4,8)，[8,12)，[12,16)的频率分别为 0.2，0.25，0.15，
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所以在[4,16)内的样本学生运动时长的平均数为：

= 0.2 0.25 0.15 290.2+0.25+0.15 × 6+ 0.2+0.25+0.15 × 10 + 0.2+0.25+0.15 × 14 = 3，
所以在[4,16)内的样本学生运动时长的方差为：
0.2 5 29 0.25 8 29
2 = 0.2+ 0.25+ 0.15 × [
2 2
9 + (6 3 ) ] + 0.2+ 0.25+ 0.15 × [9 + (10 3 ) ]
+ 0.15 11 29 2 1210.2+0.25+0.15 × [ 9 + (14 3 ) ] = 12．
19.解：(1)连接 ，
因为四边形 是边长为 4 的菱形，且∠ = 60°，
所以△ 是边长为 4 的等边三角形，
又 是 的中点，所以 ⊥ ，且 = 2 3，
同理， ⊥ ，且 = 2 3，
又 = 2 6，所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
又 ， 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
1 1
故四棱锥 的体积为3 菱形 = 3 × 4 × 2 3 × 2 3 = 16．
(2) 1存在满足条件的点 ，此时 = 3，理由如下：
连接 ，记 ∩ = ， ∩ = ，连接 ， ， ， ，则 是 的中点，
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，所以 // ，且 = 1 12 ，所以 = 3，
若平面 //平面 ，因为平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 = ，
所以 // 1，所以 = = 3，
1
故在棱 上存在点 ，使得平面 //平面 ，且 = 3．
(3)连接 ，
在△ 中，由余弦定理得， = 2 + 2 2 ∠ = 2 7，
由(1)可知 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 // ， ⊥ ，所以 ⊥ ，
又 ， 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ，
1 1因为 平面 ，所以 ⊥ ，所以 = 2 = 2
2 + 2 = 10，
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因为 = = 4， = 2 10，且 为棱 的中点，
所以 = 2 ( 2 )
2 = 6，
所以 2 + 2 = 2，即 ⊥ ，
作 ⊥ ，垂足为 ，
由等面积法知， = ，
= = 6× 10 15所以 4 = 2 ，
设点 到平面 的距离为 ，
在等腰△ 中， = = 4， = 2 6，
= 1所以 △ 2
2 ( 2 1 2 2 6 22 ) = 2 × 2 6 × 4 ( 2 ) = 2 15，
因为 = = = ，
1 1 1
所以3 △ = 3 △ × 2 ，
1
即3 2 15 =
1 13 2 4 2 3
1 2 3 2 152 ，解得 = 5 ，
设二面角 的大小为 ，则 = =
4
5，
4
故二面角 的正弦值为5．
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