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2024-2025 学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 .在复平面内，复数1 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 , 满足| | = 2, | | = 1，且( ) ⊥ ，则 与 的夹角为( )
A. B. 6 4 C. 3 D. 2
3.已知正四棱锥的底面边长为 2，侧棱长为 2 2，则该正四棱锥的体积为( )
A. 4 23 B. 4 2 C.
4 6
3 D. 4 6
4.已知 + = 4 1 1，且 > 0， > 0，则 + 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
5.在图示正方体中， 为 的中点，直线 1 ∩平面 1 = ，下列说法错误的是( )
A. ， ， 1， 1四点共面
B. 1， ， 三点共线
C. ∈平面 1 1
D. 1 与 异面
( 1) , < 1,
6.已知函数 ( ) = 2 + (4 ) + 2 1, ≥ 1.若 ( )在 上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. [ 54 , 2] B. (1,
3
2 ] C. (1,2] D. [
3
2 , 2]
7.《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构
是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从
这 10 个数中任取 2 个数，则这 2 个数中至多有 1 个阴数的概率为( )
A. 29
B. 13
C. 59
D. 79
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8.设函数 ( )是定义在 上的偶函数，对任意 ∈ ，都有 ( ) = ( + 4)，且当 ∈ [ 2,0] 1时， ( ) = ( 2 )
1，若在区间( 2,6)内关于 的方程 ( ) log ( + 2) = 0( > 1)恰有三个不同的实数根，则 的取值范围
是( )
A. ( 3, 0) B. (34,2] C. [34,2) D. [34,2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设向量 = ( + 2, ), = ( 1, )，则下列说法正确的是( )
A. = 2 是 ⊥ 的充分条件 B. = 1 是 ⊥ 的必要条件
C. = 0 是 // 的充分条件 D. = 6 是 // 的必要条件
10.随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件 =“第一次为奇数”， =“第
二次为奇数”， =“两次点数之和为奇数”，则正确的是( )
A. ( ) = ( ) = ( ) B. ∩ 与 互斥
C. 与 相互独立 D. ( ) = ( ) ( ) ( )
11.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动(包括端点)，则下列结论正确的有( )
A.三棱锥 1的外接球的表面积为 3
B.直线 和平面 1 1所成的角为定值
C.三棱锥 1的体积是定值
D. ( + 21 ) 的最小值为 4 + 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某校高一年级共有男生 420 人，女生 380 人，为了解学生身高状况，决定按性别进行分层，用分层随
机抽样的方法从高一年级全体学生中抽出 40 人，组建一个合唱团，则男生应该抽取______人.
13.已知 sin( + ) = 23 , = 3 ，则 sin( ) = ______．
14.如图，在平面四边形 中，已知 = 1, = 5， ⊥ ， = 2
则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 + + 3．
(1)当 = 7 时，解不等式 ( ) > 0；
(2)当 ∈ 时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3cos2 + 32 ．
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数 ( )在区间[ 6 , 4 ]上的值域．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ， ⊥ ， = = 1， = 2， ⊥
平面 ， = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
18.(本小题 17 分)
某校对 2021 年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取 100 名学生，将分数按照
30,50 , 50,70 ， 70,90 , 90,110 ， 110,130 , 130,150 分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
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(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第 80 百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 50,70 和 70,90 的两组中，用按比
例分配的分层随机抽样的方法抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2.名学生进行问卷调查，求抽取
的这 2 名学生至少有 1 人成绩在 50,70 内的概率．
19.(本小题 17 分)

如图，设 ， 是平面内相交成 (0 < < 且 ≠ 2 )角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、 轴正方向同向
的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 = 1 + 2，则把有序数对( , )叫做向量 在
斜坐标系 中的坐标，记为 = ( , ).已知在 斜坐标系 中， = ( 1, 1)， = ( 2, 2)．
(1)证明： = 1 2 + 1 2 + ( 1 2 + 2 1) ；
(2)当 = 5 时， = (2, 3)，求| 6
|；
(3) 当 = 3时，若向量 = ( , 2)，
= ( , 2)，已知 ( ) = ，求函数 ( )的最值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.21
13.13
14.3 5
15.解：(1)当 = 7 时，不等式为 2 7 + 10 > 0，
即( 2)( 5) > 0，解得 > 5 或 < 2，
所以该不等式的解集为( ∞,2) ∪ (5, + ∞)；
(2)由已知，若 ∈ 时， 2 + + 3 ≥ 0 恒成立，
所以相应方程 2 + + 3 = 0 的判别式 = 2 4( + 3) ≤ 0，
即( + 2)( 6) ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 6，
所以 的取值范围为[ 2,6]．
16. (1) ∵ ( ) = 3cos2 + 3 = 2 3 1+ 2 + 3 = sin(2 解： 函数 2 2 2 2 3 )，
∴ 2 函数 ( )的最小正周期为 2 = ．
令 2 + 3 2 ≤ 2 3 ≤ 2 + 2， ∈ ，求得
5 11
12 ≤ ≤ + 12， ∈ ，
可得函数的减区间为[ 5 12 , +
11
12 ]， ∈ ．
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(2) [ , 2 在区间 6 4 ]上，2 3 ∈ [ 3 , 6 ]，sin(2

3 ) ∈ [ 1,
1
2 ]，
即函数 ( )在区间[ , 16 4 ]上的值域为[ 1, 2 ].
17.(1)因为 = = 1， ⊥ ，所以 = 2，∠ = 45°，
又 ⊥ ， // ，所以∠ = 45°，
所以 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 2 + 4 2 × 2 × 2 × 22 = 2．
所以 = 2．
因为 2 = 2 + 2，
所以△ 为直角三角形，且 ⊥ ．
又因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ．
又因为 ， 平面 ， ∩ = ，
所以 ⊥平面 ．
(2)因为 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 ⊥ ， ⊥ ．
所以∠ 即为二面角 的平面角．
在 △ 中， ⊥ ， = 2， = 2，
所以 = 2 + 2 = 6，
所以 sin∠ = = 2 = 6 6 3 ．
6
即二面角 的正弦值为 3 ．
18.解：(1)由 0.005 × 20 + 0.005 × 20 + 0.0075 × 20 + 0.02 × 20 + × 20 + 0.0025 × 20 = 1，
可得 = 0.01，
数学成绩在：[30,50)频率 0.0050 × 20 = 0.1，[50,70)频率 0.0050 × 20 = 0.1，
[70,90)频率 0.0075 × 20 = 0.15，[90,110)频率 0.0200 × 20 = 0.4，
[110,130)频率 0.0100 × 20 = 0.2，[130,150]频率 0.0025 × 20 = 0.05，
样本均值为：40 × 0.1 + 60 × 0.1 + 80 × 0.15 + 100 × 0.4 + 120 × 0.2 + 140 × 0.05 = 93，
可以估计样本数据中数学成绩均值为 93分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩 93分．
(2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在 110分以下所占比例为 0.1 + 0.1 + 0.15 + 0.4 = 0.75，
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在 130分以下所占比例为 0.75 + 0.2 = 0.95，
因此，80%分位数一定位于[110,130)内，由 110 + 20 × 0.8 0.750.95 0.75 = 115，
可以估计样本数据的第 80百分位数约为 115 分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第 80 百分位数约为 115 分．
(3)由题意[50,70)分数段的人数为 100 × 0.1 = 10 人，
[70,90)分数段的人数为 100 × 0.15 = 15 人，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 5 名学生，
则需在[50,70)内抽取 2 人，分别记为 1， 2，[70,90)分数段内抽 3 人，分别记为 1， 2， 3，
设“从样本中任取 2 人，至少有 1 人在分数段[50,70)内”为事件 ，
则样本空间 = { 1 2, 1 1, 1 2, 1 3, 2 1, 2 2, 2 3, 1 2, 1 3, 2 3}共包含 10 个样本点，

而 的对立事件 = { 1 2, 1 3, 2 3}，包含 3 个样本点，

∴ ( ) = 3 710，∴ ( ) = 1 ( ) = 10，
∴ 2 1 [50,70) 7抽取的这 名学生至少有 人成绩在 内的概率为10．
19.证明见解析；
1；
( ) 9 = 3， ( ) = 2 + 2．
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