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3 探索三角形全等的条件
第4课时 选择合适的方法判定三角形全等
鲁教版七年级上册数学
1.会根据所学的全等三角形的判定，添加适当的条件，证明三角形的全等.
2.探究全等三角形的对应“角平分线、中线、高线”之间的关系.
3.利用全等三角形的判断和性质进行相关的计算或说理.
学习目标
前面我们学习了三角形全等的判定“SSS”“SAS”“ASA”及“AAS”，那么三角形中，只给定两个条件，你如何根据三角形全等的判定选择合适的条件，使所给的三角形全等呢？
问题1 在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，AB=DE，再添加一个什么条件可以证明这两个三角形全等？说明根据哪个判定定理得到的，写出解答过程.
变式：如果增加条件BC=EF,能判定
△ABC≌△DEF吗？
C
A
B
D
E
F
［任务一 探究添加条件证三角形全］
问题2 在△ABC与△DEF中，已知∠A=∠D，∠B=∠E,再添加一个什么条件可以证明这两个三角形全等？说明根据哪个判定定理得到的，写出解答过程.
变式：如果增加条件BC=EF,能判定
△ABC≌△DEF吗？
C
A
B
D
E
F
［任务一 探究添加条件证三角形全］
问题3 在△ABC与△DEF中，已知AC=DF，AB=DE,再添加一个什么条件可以证明这两个三角形全等？说明根据哪个判定定理得到的，写出解答过程.
变式：如果增加条件BC=EF,能判定
△ABC≌△DEF吗？
C
A
B
D
E
F
［任务一 探究添加条件证三角形全］
例1 如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，请你从以下条件中选择一个，使得△ABC≌△DEF．①∠A＝∠D；②AC＝DF；③AB＝DE；④∠ACB＝∠DFE．
（Ⅰ）你添加的条件是 　　.（填序号，只填一个）
（Ⅱ）请利用你所添加的条件说明：△ABC≌△DEF．
典例精析
例1 解：添加的条件是③（答案不唯一），
故答案为：③（答案不唯一）．
（Ⅱ）证明：∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
1.如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件（ ）
A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD
即时测评
A
2.如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是（ ）
A.AB∥CD B.AD∥BC
C.∠A=∠C D.∠ABC=∠CDA
即时测评
B
3.如图，M是AB的中点，MC=MD，∠1=∠2，判定△AMC≌△BMD的方法是 ；
若M是AB的中点，∠C=∠D，∠1=∠2，判定△AMC≌△BMD的方法是 ；
若M是AB的中点，∠A=∠B，∠1=∠2，判定△AMC≌△BMD的方法是 ；
即时测评
SAS
AAS
ASA
例2 如图，已知△ABC≌△A1B1C1 ，D与D1分别是BC、B1C1上的一点，且BD=B1D1.那么AD=A1D1吗？为什么？
A
B
D
C
A
1
B
1
D
1
C
1
典例精析
［任务二 探究全等三角形的对应“角平分线、中线、高线”之间的关系］
说明两个角相等、两条线段相等的基本方法：说明这两个角或两条线段所在的两个三角形全等。
答：AD=A1D1
证明： ∵△ABC≌△A1B1C1
∴ ∠B=∠B1，AB=A1B1
∵在△ABD和△A1B1D1中
AB=A1B1
∠B=∠B1
BD=B1D1
∴△ABD≌△A1B1D1 (SAS)
∴ AD=A1D1
全等三角形的对应中线、对应角平分线、对应高是否分别相等呢？
要求：先独立完成，然后小组内交流讨论，最后小组展示、点评.
A
B
D
C
A
1
B
1
D
1
C
1
类比推理
已知：如图，△ABC≌△A1B1C1 ，AD、A1D1 分别是△ABC和△A1B1C1 的中线．那么AD = A1D1吗？请说明理由.
问题1
全等三角形的对应中线相等。
问题2
已知：如图，△ABC≌△A1B1C1 ，AD、A1D1 分别是△ABC和△A1B1C1 的角平分线．那么AD = A1D1吗？请说明理由.
全等三角形的对应角平分线相等。
问题3
已知：如图， △ABC≌△A1B1C1 ，AD、 A1D1 分别是△ABC和△A1B1C1 的高． 那么AD = A1D1吗？请说明理由.
全等三角形的对应高相等。
两个全等三角形的面积是否相等 周长呢 你能说明理由吗？
结论:两个全等三角形的面积 ,周长也 .
追问
相等
相等
1.下列说法中：
⑴全等三角形的周长相等、面积相等；
⑵面积相等的两个三角形是全等三角形；
⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中正确的个数有（ ）
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
即时测评
B
1.如图，已知：∠B=∠DEF，BC=EF，现要说明△ABC≌△DEF，
(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件 ；
(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件 ；
(3)若要以“AAS”为依据，还缺条件 .
B
AB=DE
∠ACB=∠DFE
∠A=∠D
2.已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E、F．若AD是△ABC的中线，BE与CF有什么关系？并说明理由.
解：BE∥CF且BE＝CF.理由如下：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD，
∴BE＝CF.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CF.
综上，BE∥CF且BE＝CF.
3.如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，试说明：△ABC≌△ADE的理由．
解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠B+∠1＝∠ADE+∠3，
且∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE（AAS）．
4.如图，已知在Rt△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，AN是过点A的任一条直线，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E．试说明：DE＝BD﹣CE.
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
又∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD+DE＝CE+DE，
∴BD＝DE+CE，
即DE＝BD﹣CE．
今天这节课，我们有哪些收获？
判定三角形全等的四种方法，
会选取恰当的方法解决三角形全等问题。
2. 全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线分别相等。
3. 类比、转化等数学思想的应用。
课堂小结
基础题:1.课后习题第2题
提高题:2.请学有余力的同学课后习题第3、4题，下节课在全班展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，谢谢大家！

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