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鲁教版七年级上册数学
第一章 三角形
4 利用三角形全等测距离
学习目标
1．复习并归纳三角形全等的判定及性质；
2．能够根据三角形全等测定两点间的距离，并解决实际题．
(重点，难点)　
“五羊石像”位于广州市越秀公园内的越秀山木壳岗，主羊头部高高昂起，口中衔穗，回眸微笑，其余四羊环绕于主羊周围，姿态各异，造型优美，已经成为广州城市的标志．如图1所示的“五羊石像”，整个石像连基座高11米，A，B两点分别为石像底座的两端（其中A，B两点均在地面上）．如何测量“五羊石像”底座的两端A，B的距离呢？
例1 在一次战役中,我军阵地与敌军碉堡隔河相望.为了炸掉这个碉堡,需要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,如何估测这个距离呢
任务 利用三角形全等测距离
一位战士想出来这样一个办法:如图,他面向碉堡的方向站好,然后调整帽子,使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后,他转过一个角度,保持刚才的姿态,这时视线落在了自己所在岸的某一点上.接着,他用步测的办法量出自己与那个点的距离,这个距离就是他与碉堡间的距离.该战士的办法正确吗,说明理由.
A
C
B
D
？
这位聪明的八路军战士的方法如下：
∴BD= DC（ ）
D
A
B
C
？
理由：在△ACD和△ABD中，
∠BDA=∠CDA（已知）
AD=AD（公共边）
∠DAB=∠DAC=90°（已知）
∴△ACD≌△ABD（ASA）
全等三角形的对应边相等
步测距离
碉堡距离
例2 如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小明想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长.他叔叔帮他出了一个这样的主意:先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C,连接AC并延长到D,使CD=AC;连接BC并延长到E,使CE=CB;连接DE并测量出它的长度.
(1)DE的长就是AB的距离吗 请说明理由;
(2)如果DE的长度是8 m,则AB的长度是多少
解：（1）DE与AB相等，理由如下：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴DE＝AB；
（2）由（1）知，DE＝AB，
∵DE＝8m，
∴AB＝8m，
即AB的长度是8m．
利用三角形全等可以测量两点之间的距离.
利用三角形全等测距离,实际上是构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量的距离转化为较容易测量的线段的长度.
即时测评
1.如图，要测量水池的宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使AC⊥AB，在BA的延长线上找一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得AD=110m,则水池的宽AB是________ m.
110
2.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m
B.等于100 m
C.小于100 m
D.无法确定
C
即时测评
3.如图，要测量河中礁石A离岸边B点的距离，采取的方法如下：顺着河岸的方向任作一条线段BC，作∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA.可得△A′BC≌△ABC，所以A′B＝AB，所以测量A′B的长即可得AB的长．判定图中两个三角形全等的理由是(　)
A．SAS B．ASA
C．SSS D．AAS
B
即时测评
即时测评
4.小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC＝36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB＝54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°.
在△CPD和△PAB中，
∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，
∴△CPD≌△PAB(ASA)，
∴DP＝AB.
∵DB＝36米，PB＝10米，
∴AB＝36－10＝26(米)．
答：楼高AB是26米．
1.如图，小明用10块高度都是1 cm的相同的长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺ABC，点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为_________ cm.
10
2.如图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．过点D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上．若测得DE＝15米，即可知道AB也为15米．请说明理由．
解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE，
故测得DE＝15米，即可知道AB也为15米．
3.某数学兴趣小组设计方案测量河两岸A、B两点间的距离．如图所示，在点B所在河岸同侧的平地上取点C和点D，使得点A，B，C在同一直线上，且CD＝BC，在CD的延长线上取点E，使得∠CEB＝15°，测得∠ACD＝100°，∠ADC＝65°，DE的长度为30米．请你根据以上数据求出A、B两点间的距离，并说明理由．
解：∵∠C＝100°，∠ADC＝65°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠CAD＝∠BEC，
在△ACD与△ECB中，
∴△ACD≌△ECB（AAS），
∴AC＝CE，
又∵CB＝CD，
∴AB＝DE＝30米，
答：A、B两点间的距离为30米．
课堂小结
知识：利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
方法：（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第3、4题，下节课在全班展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，谢谢大家！

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