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第二章 轴对称
2 简单的轴对称图形
第1课时　线段的垂直平分线及其性质
学习目标
1.探索并掌握线段垂直平分线的性质，应用线段垂直平分线的性质解决一些实际问题。
2.掌握线段的垂直平分线的尺规作图。
如图，在河MN的同一侧居住两个村庄A、B，要从河边同一点修两条水渠到A、B两村浇灌蔬菜，问抽水站应修在金水河MN何处两条水渠最短？
1.什么样的图形叫作轴对称图形？
把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴.
2、下列图形哪些是轴对称图形？
活动1：如图，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合， 设折痕与 AB 的交点为 O．你发现了什么？
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
发现：线段是 图形，____________的直线是它的一条对称轴，另一条对称轴是线段所在的直线.
总结：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的 线（简称 ）．
轴对称
垂直平分线段
垂直平分
中垂线
活动2:如图 ，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是l上的任意一点。在线段AB上画出以有线l为对称轴的一组对应点D和，连接CD和C.
（1）你认为线段CD和C之间有什么关系？说说你的理由。
（2）改变点D的位置，按照操作，你认为线段CD和C之
间有什么关系？
（3）特别地，当点D时点A重合时，点位于什么位置？
此时，线段CD和C之间还有（1）中的关系吗？由此你
能得到一个什么结论？
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
CD=C
CD=C
CD=C
问题1：通过上面的探究，你发现了什么？
归纳总结：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ．
数学符号语言：
∵l是线段AB的垂直平分线，且C为l上任意一点，∴____=____.
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
相等
AC
BC
问题1：通过上面的探究，你发现了什么？
归纳总结：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ．
数学符号语言：
∵l是线段AB的垂直平分线，且C为l上任意一点，∴____=____.
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
相等
AC
BC
问题2：你能用你学过的知识解释它吗？
［任务一：探究轴对称图形及相关概念］
解：因为l⊥AB，
所以∠AMC =∠BMC．
又 AM =CM，PC =PC，
所以 △AMC ≌△BMC（SAS）．
所以 CA =CB．
例1 如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，M是直线CD上的一点.已知线段MA=12cm，则线段MB的长为_____cm.
12
典例精讲
1．如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
4cm
即时测评
2．如图，在△ABC，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则: (1)若BC=10，则△APQ的周长=_____; (2)若∠BAC=100°则∠PAQ=______.
（1） （2）
6cm
10cm
20°
活动3：如图，知线段AB，如何作出它的重直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，那么
（1）这条直线有什么特征？
（2）如何确定这条直线上的两个点？用三角板、最角器、圆规等工具试一试，如果只用尺规呢？与同伴进行必流。
[任务二 探究线段垂直平分线尺规作图]
垂直线段且平分线段
略
典例精析
例2.利用尺规，作线段AB的垂直平分线(如图).
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和B为圆心，以大于 AB的
长为半径作弧，两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平
分线(如右图).
A
B
C
D
（1）为什么要以大于线段AB一半的长为半径画弧？
若小于线段AB一半的长为半径画弧，则两弧没有交点
（2）现在你会用尺规作图，找出线段的中点了吗？
通过作线段的垂直平分线找出线段的中点
（3）例2中，连接 AC、BC、AD、BD后你发现了什么？
AC=BC=AD=BD
（4）改变条件，使AC=BC,AD=BD,但AC≠AD，
你能画出符合题意的图形吗？答案不唯一：如图：
思考
1．如图所示的尺规作图是作（ ）
A．线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆
C．一条直线的平行线 D．一个角等于已知角
A
即时测评
2.如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在
什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长
(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
即时测评
2.解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O， 交AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等，
所以这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
活动4：如图、已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作1的垂线，使它经过点P？你能说明这样作图的道理吗？
[任务三 探究过直线上一点作已知直线的垂线]
作法：（1）以点P为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l与点A、B；
（2）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点C和D；
（3）作直线CD.
直线CD就是直线l的垂线.
1．已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的　　旁；
（2）以点C为　　，CK长为　　作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，　　于DE的
长为半径作弧，两弧相交于点F；
（4）作直线CF．直线CF就是所求作的垂线．
两
即时测评
圆心
半径
大
1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AB于E，交BC于D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长为（　　）
A．16 B．14 C．20 D．18
2.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10，△ABD的周长是40，则△ABC的周长是 .
A
60
半径
大
3．如图，AB垂直平分CD．若AC＝2cm，四边形ACBD的周长为10 cm，则BD＝　 　cm．
3
4．如图所示，l是AB的中垂线，M是l上一点，
D，E是AB上不同的两点，则AM＝BM吗？
MD＝ME吗？
4.解：AM＝BM，DM不一定等于ME，
理由：如图，∵l是AB的中垂线，
∴∠AOM＝∠BOM＝90°，
AO＝BO，
在△AOM与△BOM中，，
∴AM＝BM，
∵OD不一定等于OE，
∴△ODM与△OEM不一定全等，
∴DM不一定等于ME．
5．如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．
解：如图所示AQ+PQ+BP为所求．
1、线段是轴对称图形
A
B
A
B
它的一条对称轴就是
对折后能使之完全重合的那条折痕；
2、线段的对称轴过线段AB的 点，
中
O
3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系）
垂直
4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______
C
相等
课堂小结布置作业
课堂小结：
A
B
1 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线
O
2 垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线
线段的垂直平分线
3 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！

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