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第二章 轴对称
2 简单的轴对称图形
第2课时　角平分线的性质
学习目标
1．探索角的轴对称性及其相关性质．
2．会用尺规作角的平分线．
3、能运用角平分线的性质解决实际问题.
角是轴对称图形吗？不利用工具，你能找出它的对称轴吗？你采取了什么方法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
活动1：按以下步骤折纸:如图,
(1)在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边剪下，将这个角对折，使角的两边重合.
(2)在折痕(即角平分线)上任意找一点C.
(3)过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中点D是折痕与OA的交点，即垂足.
(4)将纸打开，新的折痕与OB边交点为E.
A
O
B
C
[任务一 探究角平分线的性质]
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
问题1:角是轴对称图形吗
活动2：如图， OP是∠A0B的平分核，点C是OP上的任意一点、在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和，连接CD和C.
（1）你认为线段CD与C之间有什么关系？说说你的理由.
（2）若改变点D的位置，按照操作，你认为线段CD和C之间有什么关系系？
（3）特别地，当CD⊥0A时（如图2-20）.C与OB有怎样的位置关系？为什么？此时，线段CD和C之间还有（1）中的关系吗？由此你能得到一个什么结论？
C⊥OB，
角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的 相等.
几何语言:
如图,点P是∠AOB平分线上的任意一点,且PN⊥OB于N,PM⊥OA于M,则 .
PM=PN
总结归纳
问题：你能用你学过的知识解释它吗？
解：因为OP平分∠AOB，
所以∠AOP =∠BOP．
又PN⊥OB,PM⊥OA，
所以∠OMP =∠ONP,
所以 △OMP ≌△ONP（AAS）．
所以 PM =PN．
例1（2024 青海）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
C
典例精讲
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝10，AD＝7，则点D到AB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABC的面积为（　　）
A．13 B．19 C．20 D．26
D
即时测评
A
3．如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别为D，E，若PD＝2，则PE的长是 　 　．
2
4．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF，
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即（16+12）×DE＝28，
解得DE＝2（cm）．
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
M
[任务二 探究角平分线的尺规作图]
角的平分线的画法
1—
例1.利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).
已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.
作法：
1.在OA和OB上分别截取OM，ON，使OM＝ON.
2.分别以M，N为圆心、以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
3.作射线OC.OC就是∠AOB的平分线(如图).
A
B
M
N
C
O
思考：（1）为什么要以大于线段DE的长为半径画弧？
大于线段DE的长为半径画弧，两弧有交点；
（2）若连接 CE、CD后你发现了什么？
CE=CD
（3）改变条件，使CE⊥OB,CD⊥OA，你能画出符合题意的图形吗？
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB，AC于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若CD＝4，AB＝10，则△ABD的面积是（　　）
A．40 B．22
C．20 D．10
即时测评
C
2．如图，在△ABC中，∠A＝60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 　 　．
120°
1．如图，点P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，若点N到∠AOB的两边距离相等，且PN＝NQ，则点N一定是（ ）．
A．∠AOB的平分线与PQ的交点
B．∠OPQ与∠OQP的角平分线的交点
C．∠AOB的平分线与线段PQ的垂直平分线的交点
D．线段PQ的垂直平分线与∠OPQ的平分线的交点
C
2.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DC＝3，则点D到AB的距离是　 　．
A
3
4.如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为 　　．
3
5．如图，两个班的学生分别在M、N两处参加植树劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P, 使P到两条道路的距离相等，且使PM=PN,有一同学说：“只要作一个角平分线、一条线段的垂直平分线，这个茶水供应点的位置就确定了”，你认为这位同学说得对吗？请说明理由，并通过作图找出这一点，不写作法，保留作图痕迹.
5．答：这位同学说的对，理由如下：
因为角平分线上的点到这个角两边的距离相等，而线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，所以只要作出∠BAC的平分线，再作出线段MN的垂直平分线，两条直线的交点P就是茶水供应点的位置．
课堂总结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！

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