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第三章 勾股定理
2 一定是直角三角形吗
学习目标
1.掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用.
2.能够识别勾股数并运用勾股数解决简单实际问题,培养从实际问题抽象出数学问题的能力.
3.通过由边长判断三角形是否是直角三角形的过程,理解“探究—归纳—验证”的数学思想.
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角
古埃及人曾用下面的方法得到直角:
用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住
绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,
拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
下列的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：
① 5，12，13； ② 7，24，25；
③ 8，15，17
问题1：这三组数都满足a2+b2=c2吗？
（2）分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
合作交流探究新知
满足
是直角三角形
实验结果：
① 5,12,13满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
② 7,24,25满足a2+b2=c2,可以构成直角三角形;
③ 8,15,17满足a2+b2=c2 ,可以构成直角三角形.
问题3：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股定理.
例1 一个零件的形状如图1所示，按规定这个零件中，∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个零件符合要求吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
图1
图2
解：∵在Rt△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2
∴△ABD是直角三角形，∠A是直角
∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2
∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角
因此这个零件符合要求
3
4
13
12
5
典例精讲
1．下列每组数表示三条线段长，其中可以构成直角三角形的一组线段是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6
2．由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB：BC：AC＝6：8：10 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A＝∠B﹣∠C D．AB2＝BC2﹣AC2
c
B
即时测评
3．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，技术人员通过测量确定了∠ABC＝90°．则这片绿地的面积是　 　m2．
114
4．如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形．请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是直角三角形，
理由：由题意得：AC2＝42+22＝20，
AB2＝42+32＝25，
BC2＝12+22＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
如果一个三角形的三边长，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
[任务二 探究勾股数]
如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并验证你所填的数是否满足“勾股数”.
思考？
2倍 3倍
3,4,5 6,8,10
5,12,13 15,36,39
8,15,17
7,24,25
9,40，41
9，12，15
24，45，51
21，72，75
27，120，123
18，80，82
14，48，50
16，30，34
10，24，26
例2 下列各组数是勾股数的是（　　）
A．13，14，15 B．3，4，5
C．0.3，0.4，0.5 D．6，8，11
图1
图2
典例精讲
B
1．下列各组数中，是“勾股数”的一组是（　　）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．1，，2
2．下列各组数为勾股数的是 　 　（填序号）．
①1.5，2，3；②3，4，7；③7，12，13；
④8，15，17；⑤9，40，41．
图1
图2
即时测评
C
④⑤
3．观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
，
请你写出具有以上规律的第⑦组勾股数：　 　．
图1
图2
15，112，113
2. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）
1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A．a=1.5，b=2，c=3 B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5
A
C
A B C D
3. 一个三角形三边长的比为3：4：5，它的周长是24cm，这个三角形的面积为　　cm2．
4. 已知|x﹣12|+（y﹣13）2与z2﹣10z+25互为相反数，则以x，y，z为边的三角形是　　三角形．
24
直角
5.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．
解：∵∠B=90°，AB=BC=4，
∴AC===,
∠DAB=∠DBA=45°，
∵（）2+22=62，
∴AC2+DA2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵∠DAC是CD所对的角，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°．
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，已知BC＝15，CD＝9，BD＝12．
（1）判断△BCD的形状，并说明理由．
（2）求AD的长．
解：（1）△ABD是直角三角形，
理由：在△CBD中，BC＝15．CD＝9，BD＝12，
∵＝＝225，＝＝225，
∴，
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴△ABD是直角三角形；
（2）∵CD＝9，
∴设AD＝x，则AC＝x+9，
∵AB＝AC，
∴AB＝x+9，
在Rt△ABD中， ，
∴ ，
∴x= ．
1、 如果三角形三条边长分别为a，b，c ，那么满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形
2、勾股定理判定的应用
课堂小结：
基础题:1.课后随堂练习第 2题
提高题:2.请学有余力的同学做习题第2题，下节课在班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，
谢谢大家！

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