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2 平方根与立方根
第1课时 算术平方根
第四章 实数
1.了解算术平方根的概念及其性质.
2.会求一个数的算术平方根.
学习目标
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为25的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？
身边小事
正方形的面积 1 9 16 36
边长
1
3
4
6
25
4
[任务一 探究算术平方根的定义]
活动1：1.已知正方形的面积，求出其边长
2.请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
x2 = 12 + 12
，
，
，
．
2
3
4
5
y2 = x2 + 12
z2 = y2 + 12
w2 = z2 + 12
问题1：x,y,z,w中哪些是有理数 哪些是无理数
x,y,w是无理数,z是有理数.因为没有任何整数或分数的平方等于2,3,5,
所以x,y,w不是有理数,而=4,所以z=2,是有理数.
问题2：我们发现这些问题都是知道一个正数的平方，去找这个正数，引出定义.
算术平方根的定义:若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫作a的算术平方根.记为“”,读作“根号a”.特别地,规定0的算术平方根是0,即 =0.
问题3：根据算术平方根是定义，你能表示x,y,z,w吗
x=,y=,z=,w=.
典
题
精
讲
例1 求下列各数的算术平方根：
（1）900；（2）1；（3） ；（4）14．
解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30,
即 ;
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 ;
(3)因为 ,所以 的算术平方根是 ,
即 ;
(4)14的算术平方根是 .
1．的算术平方根等于（　　）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
2．9的算术平方根为（　　）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
3．算术平方根等于它本身的实数有　 　个．
4．若=5，则m的值是　 　．
5．若x+2的算术平方根是3，求3x+4的算术平方根．
即时测评
解：∵x+2的算术平方根是3，
∴x+2＝9，
∴x＝7，
∴3x+4＝25，
∴3x+4的算术平方根为5．
C
B
2
25
问题1：在例1中，一些数的算术平方根的结果没了“”，这些数有什么持点？
这些数是一个非负数数的完全平方即中a≥0.
问题2：的结果能为负数吗？
不能，即≥0，
问题3：中a≥0且≥0（双重非负性）.
问题4：在例1中，=30.也就是=30.一般地，当a≥0时，＝a成立吗？
a≥0时，＝a成立.
[任务二 探究算术平方根的性质]
活动2
问题5：思考当a＜0时，＝a成立吗？
不成立，当a＜0时，＝﹣a.
问题6：=a成立吗？这里的a是什么数？你是怎么理解的？与同伴交流.
=a成立，这里a≥0.
总结归纳：
(1)算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是 ;0的算术平方根是0;
负数 算术平方根.
(2)式子的双重非负性:一是a≥0,二是
（3）＝，=a（a≥0）。
一个正数
没有
例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间 ？
典例精讲
即时测评
1．∣2a-4∣=0，则a+b＝（　　）
A．a+b＝﹣1 B．a+b＝1 C．a+b＝2 D．a+b＝3
2．已知+∣b+2∣=0，则的值为（　　）
A．0 B．±1 C．1 D．﹣1
3．若a，b为实数，且+=0，则（a+b）2025＝　 　．
B
C
-1
4．若实数m、n满足+=0等式，求2m+n的算术平方根．
解：∵+=0，
∴m﹣2＝0，n+4＝0，
∴m＝2，n＝﹣4，
∴2m+n＝2×2﹣4＝0，
∵0的算术平方根是0，
∴2m+n的算术平方根为0．
5．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2，求绣布的周长。
解：设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据题意，
得4x 3x＝588，
即12x2＝588，
∴x2＝49，
∵x＞0，∴x＝7，
∴绣布的长为28cm，宽为21cm，周长为2×（28+21）＝98（cm）．
1.下列说法中，正确的是（ ）
A.一个数的算术平方根一定是正数 B.-4 的算术平方根是2
C.-7是的算术平方根 D.如果a﹤0，那么没有意义
2.一个数的算术平方根为，比这个数小3的数是( )
A. a-3 B.-3 C. +3 D.-3
3.2的算术平方根是 ，的算术平方根是 ，的算术平方根是 ．
4．若与互为相反数，则的值为 ．
5.若，则实数a的取值范围为 ．
D
D
9
3
16
a≥0
6.求下列各式的值：
(1) (2) (3)-
解：（1） =1.2；
（2） =47；
（3）-=﹣=﹣
7.某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明．
解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，
由题意得x 3x＝3x2＝75，
因此，x===5,
即长方形花坛的宽为5m．
（2）嘉淇的说法错误，理由如下：
由（1）知长方形花坛的宽为5米，
若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m），
则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2），
因此假设不成立，即嘉淇的说法错误．
课堂总结
1.一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 = a，则这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”.
特别地，我们规定：0 的算术平方根是0，即 .
2 算术平方根的性质：
非负数
算术平方根具有双重非负性
(a≥0)
基础题:1.课后随堂练习第3题
提高题:2.请学有余力的同学做课后习题第5,6题，下节课在班内展示、交流。
课后作业
本节课到此结束，谢谢大家！

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