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2 平方根与立方根
第2课时 平方根
第四章 实数
1．了解算术平方根和平方根、 开平方的概念．
2．明确算术平方根与平方根的区别和联系.
3. 进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系.
上节课我们学习了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a. 则x叫a的算术平方根，记作x= ，而且a也是非负数.
正数22=4，则2叫做4的算术平方根，4叫2的平方.
思考：若(-2)2=4，则-2叫4的什么呢？
[任务一 探究平方根定义]
(1) 9 的算术平方根是 ，也就是说， 的平方是 9.
还有其他的数，它的平方也是 9 吗？
3
3
(-3)2 = 9
(2) 平方等于 的数有几个？平方等于 0.64 的数呢？
和 两个数的平方等于 ；
0.8 和 -0.8 两个数的平方等于 0.64.
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做的平方根或二次方根．这就是说，如果= ，那么叫做的平方根．
例如：3和-3是9的平方根，
简记为±3是9的平方根．
平方根定义
±3表示＋3和－3两个数.
总结
根据上面的研究过程填表：
类比
如果我们把 分别叫做1、16、36、49、 的平方根，你能类比算术平方根的说法，说出什么是平方根吗？
例1. 下列语句写成数学式子正确的是( )
A. 9是81的算术平方根：± ＝9
B. 5是(－5)2的算术平方根： ＝5
C. ±6是36的平方根：＝±6
D. －2是4的负的平方根：＝－2
B
典例精讲
1．的平方根是（　　）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
2．9的平方根是±3，用数学符号表示，正确的是（　　）
A．=3 B．± =3 C．=±3 D．±=±3
3． 4的平方根是　 　；4的算术平方根是　 　．
4．求下列各数的平方根：
（1）64
（2）．
即时测评
C
D
±2
2
解：（1）±=±8；
（2）±=±=±．
问题1：平方根与算术平方根有哪些相同和不同之处？：
知识点 算术平方根 平方根
定义 如果一个正数x的平方等于a （即x 2=a ）,那么这个数x就叫作a的算术平方根， 如果一个数x的平方等于a （即x2 =a ）,那么这个数x就叫作a的平方根。
表示方法
个数 （1）正数和0都有一个算术平方根； （2）负数没有算术平方根 （1）一个正数有两个平方根；
（2）0的平方根只有一个；
（2）负数没有平方根.
±
（1）具有包含关系；
（2）0的平方根与算术平方根都是0；
（3）存在条件相同，被开方数为非负数.
联系：
[任务二 探究平方根的性质及开平方]
正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0的平方根就是0 ；
负数没有平方根．
(1)一个正数有几个平方根？它们有何关系？
(2)0有几个平方根？
(3)负数呢？
问题2：
问题2：
平方根的表示方法：
例如:
3的平方根， ±
4的平方根，±= ±2.
读作“正、负根号 ”
追问:我们如何表示一个正数a的平方根？怎样读平方根？
求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
定义
两图中的运算有什么关系呢？
填空：
平方
开平方
互逆运算
被开方数
例1 求下列各数的平方根：
　解：(1)因为(±8)2=64，
　　所以64的平方根是±8．
即± ± 8．
（1）64 （2）
典例精讲：
　 (2)因为(±)2=，
　　所以的平方根是±．
即± ± ．
（3）0.0004
（4）
（5）11
因为(±0.02)2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，
即± ±0.02
因为(±25)2=(-25)2，所以(-25)2的平方根是±25，
即± ±=±25
11的平方根是±
典例精析
例3.求下列各式的值：
(1) ；(2)﹣；(3).
解：（1）==15；
（2）﹣=﹣=﹣；
（3）=8.
即时测评
1.下列说法：①的平方根是±5；②﹣一定没有平方根；③非负数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负．其中，不正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如果实数m没有平方根，那么m可以是（　　）
A．﹣ B．|﹣3| C． D．﹣（﹣3）
3．若=3，求2x+5的平方根 　 　．
4．已知一个正数的平方根是2x和x﹣6，这个数是　 　 ．
C
A
±
16
5．若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
解：（1）由题可知，
∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0，
∴b＝3，
∴a＝＝＝16；
（2）∵a＝16，b＝3，
∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25，
∵25的平方根是±5，
∴a+3b的平方根为±5。
6．求下列各式中的x：
（1）3＝6；
（2）4＝9．
解：（1）原方程整理得：＝2，
则x＝±；
（2）原方程整理得：=，
则x﹣1＝±，
解得：x=或x=﹣．
1. 下列说法中, 不正确的是（ ）
A. －11是121的一个平方根 B. 11是121的一个平方根
C. 121的平方根是11 D. 121的算术平方根是11
2．下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3
C．没有平方根 D．2是4的一个平方根
3．下列有关平方根的叙述，正确的个数是 。
①如果a存在平方根，那么a＞0；
②如果a有两个不相等的平方根，那么a＞0；
③如果a没有平方根，那么a＜0；
④如果a＞0，那么a的平方根也大于0．
②③
4．如果a，b分别是2025的两个平方根，那么　 　．
5．已知2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，求x+2y的平方根．
1
解：∵2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，
∴2x﹣1＝9，3x+y﹣1＝16，
解得：x＝5，y＝2，
∴x+2y＝5+4＝9，
∴x+2y的平方根为±3．
6.求下列各式的值：
(1)±；(2)( ) 2；(3) ；
(4) － ；(5) .
解： ± ＝± ＝±＝±.
( ) 2 ＝3.
解： ＝ | － 3 | ＝3；
－＝ －＝0.9－0.2＝ 0.7；
＝ ＝ ＝5.
7．计算：
=　 ，=　 　，=　 ，=　 ，=　　 .
（1）根据计算结果，回答：一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算：．
3
0.7
0
6
=∣a∣
解：原式=|3.14﹣π|=π﹣3.14．
课堂总结
平方根的性质
平方根的表示方法
正数a有两个平方根：“ ”（a的算术平方根）和“ ”.它们互为相反数，合起来可以记作“± ”，
读作“正、负根号a”.
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根.
基础题:1.课后习题第 1题
提高题:2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
课后作业

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