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2 平方根与立方根
第3课时 立方根
第四章 实数
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；
2.会用立方运算求千以内的完全立方数（及对应的负整数）的立方根。
3.了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质；
学习目标
[复习回顾]
（1）什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a （ a ≥0）的平方根
（2）正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？
（3）平方和开平方运算有何关系？
（4）算术平方根和平方根有何区别和联系？
已知正方体的棱长，我们可以求出它的体积.反之，如果已知正方体的体积，你会求它的棱长吗？
a
[任务一 探究立方根的定义]
问题1： 如图.一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个休积为216的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？
活动1：
因为=216，正方体的棱长是6cm
问题2：如果一个数的立方等于﹣，这个数是多少？与同伴进行交流。
因为=﹣，这个数是﹣
如果一个数x的立方等于a，即=a，那么这个数叫作的立方根（也叫作三次方根）.
总结：立方根的定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2= a ，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．如：±2是4的平方根， 0的平方根是0 ．
试一试，你能给出立方根定义吗？
[任务二 探究立方根的性质及开立方]
问题1：一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有儿个呢
活动2：
可能1个
可能一个
问题2：求8，0，-27的立方根.
因为=8，所以8的立方根是2；
因为=0，所以0的立方根是0；
因为=﹣27，所以-27的立方根是﹣3。
问题3
（1）正数有几个立方根？
（2）0有几个立方根？
（3）负数有几个立方根
正数的立方根是 1 个
0的立方根是0
负数的立方根是 1 个
任何有理数都有立方根，而且它的立方根是唯一的!
立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
零的立方根是零.
平方根与立方根的异同
被开方数 平方根 立方根
有两个互为相反数
有一个,是正数
无平方根
零
有一个,是负数
零
正数
负数
零
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数只有0.
立方根是它本身的数有1, -1, 0；
平方根是它本身的数只有0.
a叫做被开方数
3叫做根指数
每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次
根号a”. 如：x3=7时，x是7的立方根．
求一个数a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数
注意:这个根指数3绝对不可省略.
立方根的表示方法
a叫做被开方数
3叫做根指数
注意:这个根指数3绝对不可省略.
典例精析
例1.求下列各数的立方根：
(1)－25；(2)；（3）0.216；(4)－5.
解：（1）因为(－3)3=－27，
所以－27 的立方根是－3，即3=－3.
（2）因为()3＝ ，
所以的立方根是，即3＝.
（4）﹣5的立方根是
（3）因为0.63=0.216，
所以0.216 的立方根是0.6，即3=0.6.
即时测评
1．8的立方根是（　　）
A． B．±2 C．2 D．4
2．一个正方体木块的体积为125cm3，则它的棱长为 　 　cm．
3．若x+2的立方根是﹣2，则2x+69的平方根是 　 　．
C
5
±7
4．一个正数m的两个平方根分别为2n+3和n﹣6，求m，n的值以及2m+14n的立方根．
解：根据题意得2n+3+n﹣6＝0，
解得n＝1，
所以2n+3＝5，
所以m＝52＝25，
所以2m+14n＝2×25+14×1＝64，
因为64的立方根是4，
所以2m+14n的立方根是4．
典例精析
例2.求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） ；（4） .
解：（1） ；
（3） ；
；
（4） .
[任务三 探究利用=a,=a,=-进行化简]
问题1：在例1中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？
问题2:在例1中、=-3，也就是=﹣3、一般地，=a成立吗？
问题3:＝a成立吗？与同伴进行交流.
活动3：
这些数是某个数的三次方。
成立
成立
典例精析
例2.求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） ；（4） .
解：（1） ；
（3） ；
；
（4） .
即时测评
1．下列各式正确的为（　　）
A．=±5 B．-=-3 C．±=9 D．=
2．若=-3，=2，则x﹣y＝　 　．
3．已知与相等，则b的值为 　 　．
D
31
6
典例精析
例2.求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） ；（4） .
解：（1） ；
（3） ；
；
（4） .
4.求下列各式的值：
（1） ；（2） ；（3）﹣ ；（4） ；（5）
解：（1） =0.5 ；
（2） =-4 ；
（3）﹣ =﹣（-3）=3；
（4） =5；
（5）=16。
1．正方体的体积为7，则正方体的棱长为（　　）
A． B． C． D．
2．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（　　）
A． B． C．2 D．8
B
B
3．已知，，,
则a＝　 　，b＝　 　．
4．若∣α+3∣+=0，则a﹣b的立方根是 　 　．
5．已知A=是m+16的立方根，B=是n+1的算术平方根，求A﹣B的值．
1.285
2.342
-2
解：根据题意得m-8=3且2m-n-5=2,
解得m=11,n=15,
所以A===3，B===4，
所以A﹣B＝3﹣4＝﹣1．
6.已知一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，b+3的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求x﹣b的立方根．
解：（1）因为一个正数x的两个平方根分别为a+3和2a﹣6，
所以a+3+2a﹣6＝0，
所以a＝1；
因为b+3的立方根是﹣2，
所以b+3＝（﹣2）3＝﹣8，
所以b＝﹣11；
（2）由（1）得a+3＝4，
所以x＝＝16，
所以x﹣b＝16﹣（﹣11）＝27，
所以x﹣b的立方根为3．
想一想
本节课你学到了哪些数学知识
和解决问题的方法？
7. 解下列方程：
（1）﹣3＝5;
（2）2＝128；
解：（1）﹣3＝5，
所以＝8，
所以x﹣2＝2，
所以x＝4；
（2）2＝128，
所以＝64，
所以x+1＝4，
所以x＝3。
课堂总结
立
方
根
性质
正数的立方根是正数
0的立方根是0
负数的立方根是负数
定义
基础题:1.课后习题第 1、2题
提高题:2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
课后作业
本节课到此结束，谢谢大家！

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