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2023-2024学年湖北省黄冈市、鄂州市七年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．2 B．0 C．3.14 D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，属于第三象限的点是（　　）
A．P（3，5） B．P（﹣3，5） C．P（﹣3，﹣5） D．P（3，﹣5）
3．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（　　）
A．了解黄冈市居民的环保意识
B．对某品牌口罩合格率的调查
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．对洋澜湖水质情况的调查
4．（3分）用统计图描述防城港市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的是（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
5．（3分）“x的与x的和不超过6”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等
B．没有立方根
C．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线
7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，已知直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．32° C．42° D．58°
9．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“炮”的坐标为（3，2），则棋子“马”的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
10．（3分）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（　　）
A． B．
C．或x＝﹣3 D．或
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根是 　 　 ．
12．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1～3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是 　 　 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点E（﹣2，3）到y轴距离是　 　 ．
14．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则最优惠打 　 　 折．
15．（3分）如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠CFE＝2∠CFD′，则∠BEA'的度数是 　 　 ．
16．（3分）若方程组的解是，则方程组的解是 　 　 ．
17．（3分）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙均由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标为 　 　 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D（10，0）．现将点C平移，平移后的对应点C'的坐标为（2，8+a），若S△BDC'＝32，则a的值为 　 　 ．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分66分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（﹣1）24．
20．（8分）解下列不等式（组）：
（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
21．（6分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）请判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝60°，，求∠3的度数．
22．（7分）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．
（1）分别写出点A'、B'、C'的坐标；
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），求△POB的面积．
23．（8分）为了了解国家“双减”政策的落实情况，某校随机调查了部分学生在家完成作业的时间，按时间由短到长划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答以下问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校在家完成作业时间为1小时及以下的学生有多少人？
24．（8分）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和2套B型课桌凳共需980元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有哪几种方案？哪种方案的总费用最低？
25．（9分）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，请求∠1+∠2的度数．
（2）【技能提升】在（1）的条件下，若∠2比∠1的一半多90°，求n的值．
（3）【综合运用】如图2，现将射线BC绕点B以每秒5°的转速逆时针旋转得到射线BC'，同时射线QA绕点Q以每秒4°的转速顺时针旋转得到射线QA'，当射线QA旋转至与QB重合时，则射线BC、QA均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在QA'∥BC'？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足．
（1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标；
（2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM＝S△MOD，求点D的坐标；
（3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度数．
2023-2024学年湖北省黄冈市、鄂州市七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C D D A A A C
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）
1．（3分）下列实数中，是无理数的是（　　）
A．2 B．0 C．3.14 D．
【解答】解：2，0是整数，3.14是有限小数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，属于第三象限的点是（　　）
A．P（3，5） B．P（﹣3，5） C．P（﹣3，﹣5） D．P（3，﹣5）
【解答】解：A、3＞0，5＞0，在第一象限，不符合题意；
B、﹣3＜0，5＞0，在第二象限，不符合题意
C、﹣3＜0，﹣5＜0，在第三象限，符合题意；
D、3＞0，﹣5＜0，在第四象限，不符合题意，
故选：C．
3．（3分）要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（　　）
A．了解黄冈市居民的环保意识
B．对某品牌口罩合格率的调查
C．企业招聘，对应聘人员进行面试
D．对洋澜湖水质情况的调查
【解答】解：A、了解黄冈市居民的环保意识适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
B、对某品牌口罩合格率的调查适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
C、企业招聘，对应聘人员进行面试适合采用全面调查的方式，符合题意；
D、对洋澜湖水质情况的调查适合采用抽样调查的方式，不符合题意；
故选：C．
4．（3分）用统计图描述防城港市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的是（　　）
A．条形统计图 B．扇形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
【解答】解：折线统计图反映的是数据增减变化的情况，一周内的气温增高、降低变化情况表示出来，折线统计图比较合适，
故选：C．
5．（3分）“x的与x的和不超过6”可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，得x+x≤6．
故选：D．
6．（3分）下列说法中正确的是（　　）
A．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等
B．没有立方根
C．有公共顶点，并且相等的角是对顶角
D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线
【解答】解：如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，则A不符合题意；
的立方根是，则B不符合题意；
有公共顶点，并且相等的角不一定是对顶角，则C不符合题意；
同一平面内，无公共点的两条直线是平行线，则D符合题意；
故选：D．
7．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选：A．
8．（3分）如图，已知直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝60°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．32° C．42° D．58°
【解答】解：过M作MN∥a，
∵a∥b，
∴MN∥b，
∴∠4＝∠1＝60°，∠2＝∠3，
∵∠3＝90°﹣60°＝30°，
∴∠2＝30°．
故选：A．
9．（3分）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“炮”的坐标为（3，2），则棋子“马”的坐标为（　　）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
【解答】解：如图所示：棋子“马”的坐标为（1，3）．
故选：A．
10．（3分）若x为实数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3等．[x]+1是大于x的最小整数，则方程6x﹣3[x]+9＝0的解是（　　）
A． B．
C．或x＝﹣3 D．或
【解答】解：由题意得：[x]≤x＜[x]+1，
∵6x﹣3[x]+9＝0，
∴[x]＝2x+3，
∵[x]表示不大于x的最大整数，
∴2x+3是整数，
∴2x+3≤x＜2x+3+1，
解得：﹣4＜x≤﹣3，
∴﹣5＜2x+3≤﹣3，
∵2x+3是整数，
∴2x+3＝﹣4或2x+3＝﹣3，
∴x或x＝﹣3．
故选：C．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）实数9的算术平方根是 　3　 ．
【解答】解：实数9的算术平方根是：3．
故答案为：3．
12．（3分）一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1～3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是 　0.3　 ．
【解答】解：一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分成4组，第1～3组的频数分别为12，10，6，则第4组的频率是：10.3．
故答案为：0.3．
13．（3分）在平面直角坐标系中，点E（﹣2，3）到y轴距离是　2　 ．
【解答】解：点到y轴的距离即是点的横坐标的绝对值，则点E（﹣2，3）到y轴距离是2．故填2．
14．（3分）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则最优惠打 　8　 折．
【解答】解：设打了x折，
由题意，得：1200×0.1x﹣800≥800×0.2，
解得：x≥8
故答案为：8．
15．（3分）如图，四边形ABCD为一长方形纸带，AB∥CD，将纸带ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A'，D'对应，若∠CFE＝2∠CFD′，则∠BEA'的度数是 　36°　 ．
【解答】解：设∠CFD′＝α，则∠CFE＝2∠CFD′＝2α，
那么∠D′FE＝3α，
由折叠性质可得∠DFE＝∠D′FE＝3α，∠AEF＝∠A′EF，
∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠DFE＝3α，∠AEF＝∠CFE＝2α，
∴3α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
则∠AEF＝∠A′EF＝2α＝72°，
那么∠BEA′＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
16．（3分）若方程组的解是，则方程组的解是 　　 ．
【解答】解：∵方程组的解是，
∴，
∴c1﹣a1＝2，c2﹣a2＝2，
∴可化为，
①﹣②，得（a1﹣a2）x＝0，
∴x＝0，
将x＝0代入①中，得y＝2，
∴方程组的解为，
故答案为．
17．（3分）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙均由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标为 　（﹣1，﹣1）　 ．
【解答】解：由长方形BCDE周长＝2（4+2）＝12，
得第一次相遇时间为12÷（1+2）＝4，相遇地点的坐标是（﹣1，1）；
第二次相遇时间为24÷（1+2）＝8，相遇地点的坐标是（﹣1，﹣1）；
第三次相遇时间为36÷（1+2）＝12，相遇地点的坐标是（2，0）；
得每3次1个循环，
由2024÷3＝674…2，
得两个物体运动后的第2024次相遇地点的坐标是（﹣1，﹣1）．
故答案为：（﹣1，﹣1）．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD各个顶点的坐标分别是O（0，0），B（2，6），C（8，9），D（10，0）．现将点C平移，平移后的对应点C'的坐标为（2，8+a），若S△BDC'＝32，则a的值为 　6或﹣10　 ．
【解答】解：∵C'的坐标为（2，8+a），S△BDC'＝32，
∴BC′×8＝32，
∴BC′＝8，
∴|8+a﹣6|＝8
∴a＝6或﹣10．
故答案为：6或﹣10．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分66分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）（﹣1）24．
【解答】解：（1）
＝87
．
（2）（﹣1）24
＝1+2﹣4+1
＝0．
20．（8分）解下列不等式（组）：
（1）解不等式：；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）去分母得：4（x﹣3）≥3x﹣5，
去括号得：4x﹣12≥3x﹣5，
移项得：4x﹣3x≥﹣5+12，
合并同类项得：x≥7；
（2）解不等式①得：x＞6；
解不等式②得：x≤8；
∴不等式组的解集为6＜x≤8．
21．（6分）如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）请判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠C＝60°，，求∠3的度数．
【解答】解：（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠3，
∵∠B＝∠3，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC；
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝60°，
∴∠A+∠B＝120°，
∵∠A∠B，
∴∠B＝48°，
∵∠B＝∠3，
∴∠3＝48°．
22．（7分）△ABC与△A'B'C'在平面直角坐标系中的位置如图所示，△A'B'C'是由△ABC经过平移得到的．
（1）分别写出点A'、B'、C'的坐标；
（2）说明△A'B'C'是由△ABC经过怎样的平移得到的；
（3）若点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），求△POB的面积．
【解答】解：（1）由图知A'（﹣3，1），B'（﹣2，﹣2），C'（﹣1，﹣1）；
（2）△A'B'C'是由△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位长度得到的；
（3）∵点P（a，b）是△ABC内的一点，平移后点P在△A'B'C'内的对应点为P′（﹣2，﹣1），
∴a﹣4＝﹣2，b﹣2＝﹣1，
∴a＝2，b＝1，
∴点P的坐标为（2，1），
∴△POB的面积为2×11．
23．（8分）为了了解国家“双减”政策的落实情况，某校随机调查了部分学生在家完成作业的时间，按时间由短到长划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答以下问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中m＝　40　 ，n＝　10　 ；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校在家完成作业时间为1小时及以下的学生有多少人？
【解答】解：（1）样本容量为6÷15%＝40，
则1﹣1.5小时人数为40﹣（6+16+4）＝14（人），
补全图形如下：
（2）m%100%＝40%，即m＝40，
n%100%＝10%，即n＝10；
故答案为：40、10；
（3）20001100（人），
答：估计全校在家完成作业时间为1小时及以下的学生有1100人．
24．（8分）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买3套A型和2套B型课桌凳共需980元．
（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？
（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有哪几种方案？哪种方案的总费用最低？
【解答】解：（1）设A型课桌凳a元/套，B型课桌凳b元/套，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买A型需180元/套，B型需220元/套；
（2）设购买A型x套，则B型（200﹣x）套，总利润为W元，
根据题意，得：，
∴78≤x≤80，
又∵x是整数，
∴x＝78，79，80．
有三种购买方案：①A型78套，B型122套；
②A型79套，B型121套；
③A型80套，B型120套；
当x＝78时，W＝180×78+220（200﹣78）＝40880（元），
当x＝79时，W＝180×79+220（200﹣79）＝40840（元），
当x＝80时，W＝180×80+220（200﹣80）＝40800（元），
∴当购买A型80套，B型120套时，费用最低，为40800元．
25．（9分）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）【特例初探】如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，请求∠1+∠2的度数．
（2）【技能提升】在（1）的条件下，若∠2比∠1的一半多90°，求n的值．
（3）【综合运用】如图2，现将射线BC绕点B以每秒5°的转速逆时针旋转得到射线BC'，同时射线QA绕点Q以每秒4°的转速顺时针旋转得到射线QA'，当射线QA旋转至与QB重合时，则射线BC、QA均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在QA'∥BC'？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵DG∥EF，∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝60°+n°，
∴∠AQG＝∠ABF＝60°+n°，∠DCB＝∠CBF＝n°，
∴∠1＝180°﹣∠AQG＝120°﹣n°，∠ACD＝90°﹣n°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD＝90°+n°，
∴∠1+∠2＝210°；
（2）∵∠2 比∠1的一半多90°，
∴，
解得n＝40，
∴n的值是40．
（3）存在QA'∥BC'，理由如下：
QA旋转至QB时共花时间，
第一种情况：如图所示，
∵∠AQA'＝4°t＝∠ABC'，
∴∠CBC'＝60°﹣4°t，
又∵∠CBC'＝5°t，
∴60﹣4t＝5t，
∴，符合题意；
第二种情况：如图所示，
∵∠BQA'＝∠QBC'，而∠BQA'＝180°﹣4°t，∠QBC'＝∠CBC'﹣∠CBA＝5°t﹣60°，
∴180﹣4t＝5t﹣60，
∴，符合题意，
综上所述，当秒或秒，存在QA'∥BC'．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（﹣4，﹣2），连接AB，与x轴、y轴分别相交于点G、H，点G（a，0）、点H（0，b）满足．
（1）【基础训练】请你直接写出G、H两点的坐标；
（2）【能力提升】如图2，点C（m，n）在线段GH上，m、n满足n+m＝﹣1，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴的负半轴于点M，且S△CGM＝S△MOD，求点D的坐标；
（3）【拓展延伸】如图3，P为直线AB上一点（异于A，B，G三点），过P点作AB的垂线交x轴于点E，∠PEG和∠BGE的平分线所在的直线相交于Q点．当P在直线AB上运动时，请直接写出∠EQG的度数．
【解答】解：（1）∵，（a+2）2≥0且b﹣2≥0，
∴（a+2）2＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣2，b＝2，
∴G（﹣2，0），H（0，2）；
（2）连接CO，过点C分别作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F，
∵S△CGM＝S△MOD，
∴S△GOH＝S△CDH，
∴，
∵S△GOH＝S△GCO+S△HCO，
∴，
∴n﹣m＝2，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）分别过点P，Q作l1∥x轴，l2∥x轴，依题意设∠1＝∠2＝t，则∠6＝∠1＝t，
∴∠3＝2t，∠4＝180°﹣90°﹣2t＝90°﹣2t，
①如图1，当点P在点G上方时，易得∠4＝∠5＝90°﹣2t，
∵GQ平分∠BGE，
∴∠AGQ＝45°+t，
∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠QGE＝180°﹣t﹣（135°﹣t）＝45°；
②如图2，当点P在点G下方时，易得∠4＝∠GEP＝90°﹣2t，
又∵EQ平分∠GEP，
∴∠5＝∠GEQ＝45°﹣t，
∴∠EQG＝180°﹣∠6﹣∠5＝180°﹣t﹣（45°﹣t）＝135°，
综上所述，∠EQG＝45°或135°．

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