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2024-2025学年下学期
东北师大附中 （数学）科试卷
高（一）年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
2. 下列叙述正确的是（ ）
A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
B. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
C. 以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆台
D. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球
3. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则函数（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是不同的直线，，是不同的平面，则下面命题正确的是（ ）
A. ，，，
B. ，，，
C. ，，
D ，，
5. 从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（ ）
A. 至少有2个红球 B. 至少有2个黄球
C. 都是黄球 D. 至多2个红球
6. 已知点是正方体的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一组数据：5，4，3，3，3，2，1，则下列叙述正确的是（ ）
A. 极差是5 B. 平均数是 C. 方差是 D. 下四分位数为4
8. 如图，在正方形中，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合成点，则下列叙述错误的为（ ）
A.
B. 二面角的正切值为
C. 点在平面上的射影是的垂心
D. 三棱锥的外接球与内切球的半径之比为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 已知复数，则（ ）
A. B. 在复平面内对应的点在第四象限
C. 的虚部为 D. 和都是方程的解
10. 在空间中，下面叙述正确的是（ ）
A. 若两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补
B. 若两个角的两条边分别对应垂直，则这两个角相等或互补
C. 若两个二面角的两个半平面分别对应平行，则这两个二面角相等或互补
D. 若两个二面角的两个半平面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补
11. 已知正三棱台是由一个平面截棱长为6的正四面体所得，其中，，以点为球心，为半径的球面与侧面的交线为曲线，为上一点，则（ ）
A. 点到平面的距离为 B. 曲线的长度为
C. 线段的最小值为 D. 所有线段所形成的曲面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．
13. 从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.
14. 一个棱长为正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______cm.
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱锥中，底面，，，，.
（1）求大小；
（2）求三棱锥的体积.
16. 某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50名学生的成绩，（满分150分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图：
（1）求的值；
（2）求这50名学生的数学成绩的第80百分位数；
（3）根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分.
17. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分）
如图，在矩形中，，，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面上的射影恰好落在上.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角.
18. （特别提醒：本题不能用空间向量解答，否则不给分）
如图，在正三棱柱中，，是棱中点，点是侧棱上一动点，且.
（1）若平面，求值；
（2）若平面与平面的夹角（锐二面角）的正切值为，求值.
19. 如图所示，在中，角，，所对的边分别是，，，，，设的面积为，为的角平分线，且.
（1）求：
（2）求值；
（3）点，分别为边，上的动点，线段交于，且的面积为的一半，求的取值范围.
2024-2025学年下学期
东北师大附中 （数学）科试卷
高（一）年级期末考试
注意事项：
1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后；用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分.
【12题答案】
【答案】20
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.

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