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唐山市2024—2025学年度高一年级第二学期期末考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 某公司生产，，三种不同型号的电子产品，产量分别为100，400，300件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取40件进行检验，则应从种型号的产品中抽取的件数为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4. 已知圆台上、下底面半径分别为1和2，高为1，则该圆台的体积为（ ）
A B. C. D.
5. 唐山河头老街景区近期持续火爆出圈．甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，已知，，，则为（ ）
A B. C. D.
7. 某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A. 至少有1名男生和至少有1名女生 B. 至少有1名男生和全是男生
C. 至少有1名男生和全是女生 D. 恰有1名男生和恰有2名男生
8. 已知直四棱柱棱长均为2，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，为边的中点，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知复数，则（ ）
A. 是纯虚数 B. 表示的点在第四象限
C. D. 是方程的一个根
11. 在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，分别记为，，，则（ ）
A. 几何体侧面积为
B. 几何体与几何体的体积之比为5：3
C. 几何体与几何体的外接球半径之比为5：3
D. 过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 数据：1，2，3，3，5的第50百分位数是______．
13. 某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为______．提示：．
14. 在中，已知，角的内角平分线交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知平面向量与的夹角为45°，且，．
（1）求
（2）求；
（3）若与垂直，求的值．
16. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
17. 2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高二学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
（1）求图中的值；
（2）试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（3）该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率．
18. 如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面．，分别是棱，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求二面角的正切值．
19. 某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园，如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，．
（1）当时，求边的长；
（2）取的中点，连接，求小径的长；
（3）若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积．
唐山市2024—2025学年度高一年级第二学期期末考试
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】AB
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】3
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）1 （2）
（3）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）2.
【19题答案】
【答案】（1）米；
（2）米；
（3）平方米

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