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雄安新区2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生先将自己的姓名、班级、考场／座位号及准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 样本数据的中位数为（ ）
A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4 已知事件，互斥，，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，体积为28，则该正四棱台的侧棱长为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，的平均数与方差均为3，则，，的平均数为（ ）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 20
7. 已知圆为的外接圆，且，，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D. 4
8. 已知的内角，的对边分别为，，，内角的平分线交边于点.若，，，则（ ）
A. B. C. 2 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某AI机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为.若它连续尝试投送两次，则（ ）
A. 事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件
B. 事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件
C. 事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立
D. 该机器人至少成功投放一次的概率为
10. 函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，且函数过点，则（ ）
A. B.
C. 在区间上单调递增 D. 为奇函数
11. 如图，正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 与平面所成角的正弦值随着点从移动到越来越大
C. 的最小值为
D. 当点为的中点时，过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则_________.
13. 已知复数，则______.
14. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长，则该三棱锥的外接球的表面积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域.
16. 某学校为保障校园科创社团成员以良好身体素质开展创新实践，对“航模社”和“建模社”进行专项体能训练.学期末，从两个社团各随机抽取100人进行“障碍跑”成绩测试（成绩单位：秒），依据测试结果得到如下频率分布直方图.
（1）分别计算航模社测试的平均成绩、建模社测试成绩的分位数（同一组中数据用该组区间中点值近似代替）；
（2）若测试成绩在70秒以内（含70秒）为“体能合格”，从两社团“体能合格”成员中按分层随机抽样选5人分享“科创+体能”训练经验，再从这5人中选2人担任经验分享会主持人，求2人都来自“建模社”的概率.
17. 如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.
（1）求证：平面POC；
（2）求异面直线AD与BP所成角的余弦值.
18. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若是斜三角形，D是AC的中点，且，，求．
19. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，，AC与BD交于点O，平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当平面PCD时，.
（1）求AD；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）设，探究当为何值时，直线PE与平面PBC所成角最大.
雄安新区2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生先将自己的姓名、班级、考场／座位号及准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】6
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）；
（2）
【17题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【18题答案】
【答案】（1）等腰三角形或直角三角形，理由见解析
（2）
【19题答案】
【答案】（1）2； （2）；
（3）

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