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永州市文宇高级中学2025年7月高二期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. 3 D. 7
3．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 2720 B. 3160 C. 3000 D. 2940
4．已知，则（ ）
A. B. C. 1 D.
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
6．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A. B. C. D.
7．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1或3
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
10．设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D. 函数在M，N间的图象上存在点Q，使得
11．某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设A，B是一个随机试验中的两个零件，若，，，则______．
13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.
14.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2b-2ccos A.
(1)求角C;
(2)若c=4,sin Asin B=,求△ABC的面积.
16，如图,在四面体ABCD中,AD=BD=,AC=BC=2,AD⊥DB,∠CAD=30°,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)求二面角A-PC-M的余弦值.
17，已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)定义在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2 024]内所有“调和数”之和.
18，已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x.
(1)当0(2)若 x∈(0,+∞),都有f(x)-xf '(x)≤0成立,求实数a的取值范围.
19，为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为,答对两道题的概率为P,求概率P的最小值.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案
1．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，则，所以，
所以，又，
所以，则，.
故选：A．
2．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（ ）
A. B. C. 3 D. 7
【答案】B
【解析】由已知可得，在上的投影向量为，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以.
故选：B.
3．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 2720 B. 3160 C. 3000 D. 2940
【答案】D
【解析】共有两种分配方式，一种是，一种是，
故不同的安排方法有.
故选：D
4．已知，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】由题，
得，
则或，
因为，所以，
.
故选：A
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，是两条不同的异面直线，，，，则 D. 若，，则与所成的角和与所成的角互余
【答案】C
【解析】A．，，则，又，则，所以不正确，A不正确；
B．，，，则或，故B不正确；
C．若，是两条不同的异面直线，，，，则，C正确．
D．由时，与所成的角没有关系，时，由面面平行的性质知与所成的角相等，与所成的角相等，
因此与所成的角和与所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C．
6．一般来说，输出信号功率用高斯函数来描述，定义为，其中为输出信号功率最大值（单位：），为频率（单位：），为输出信号功率的数学期望，为输出信号的方差，带宽是光通信中一个常用的指标，是指当输出信号功率下降至最大值一半时，信号的频率范围，即对应函数图象的宽度。现已知输出信号功率为（如图所示），则其带宽为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，由，，得，即，
则有，解得，，
所以带宽为.
故选：D
7．抛物线的焦点为F，且抛物线C与椭圆在第一象限的交点为A，若轴，则（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】由题设，且在第一象限，轴，则，
又在椭圆上，故，而，故.
故选：C
8．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆与射线的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xoy中，给定两点，点在轴上移动，当取最大值时，点的横坐标是（ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 1或3
【答案】A
【解析】由题意知，点为过，两点且和轴相切的圆与轴的切点，
已知，则线段的中点坐标为，直线斜率为，
线段的垂直平分线方程为，即.
所以以线段为弦的圆的圆心在直线上，
所以可设圆心坐标为，
又因为圆与轴相切，所以圆的半径，又因为，
所以，解得或，
即切点分别为和，两圆半径分别为.
由于圆上以线段（定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，
且过点的圆的半径比过的圆的半径大，
所以，故点为所求，
所以当取最大值时，点的横坐标是.
故选：A.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则的最小值为2
C. 若，则的最大值为2
D. 若，则
【答案】AD
【解析】因为，所以，
因为，所以，所以，故A正确；
因为的等号成立条件不成立，所以B错误；
因为，所以，故C错误；
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.
故选：AD
10．设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A. B.
C. D. 函数在M，N间的图象上存在点Q，使得
【答案】BCD
【解析】，
而，故，，，A错误、B正确；
，（），而，故，C正确；
显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确，
故选:BCD.
11．某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则（ ）
A. 在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为
B. 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为
C. 甲获得奖品的概率为
D. 若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小
【答案】ACD
【解析】设，，，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，
设表示再抽到的小球的颜色是红的事件，
在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：
，故A正确；
在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：
，故B错误；
由题意可知，，
，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：
，故C正确；
因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，
则，
，
，
所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D正确.
故选：ACD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设A，B是一个随机试验中的两个零件，若，，，则______．
【答案】
【解析】由，有，
又由，有，
可得．
故答案为：
13.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则______.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
14.在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是__________，它的外接球表面积的最小值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】由余弦定理可得,
故，所以，
当且仅当时取等号，故，
故面积的最大值为，
，
由于，所以点在以为直径的球上（不包括平面），故当平面平面时，此时最大为半径，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2b-2ccos A.
(1)求角C;
(2)若c=4,sin Asin B=,求△ABC的面积.
解析　(1)由余弦定理的推论得a=2b-2ccos A=2b-2c·,
即ab=b2-c2+a2,
∴cos C=,∵C∈(0,π),∴C=.
(2)由正弦定理得2R=,
则sin Asin B=,
解得ab=,∴S△ABC=.
16，如图,在四面体ABCD中,AD=BD=,AC=BC=2,AD⊥DB,∠CAD=30°,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)求二面角A-PC-M的余弦值.
解析　(1)证明:因为AD=,AC=2,且∠CAD=30°,
所以由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°=22+()2-2×2×=1,即CD=1,
所以AD2+CD2=AC2,即AD⊥CD,又AD⊥DB,
且BD∩CD=D,BD,CD 平面BCD,所以AD⊥平面BCD,
又BC=2,BD=,则CD2+BD2=BC2,即BD⊥CD,
以D为原点,分别以,,的方向为x,y,z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(0,0,),B(,0,0),C(0,1,0),M,
P,
因为AQ=3QC,所以(0,1,-)=,则Q,所以,
因为AD⊥平面BCD,所以=(0,0,)为平面BCD的一个法向量,因为=0,所以,
又PQ 平面BCD,则PQ∥平面BCD.
(2)由(1)可知,,,
设平面APC的法向量为m=(x,y,z),
则令z=2,则x=3,y=2,
则平面APC的一个法向量为m=(3,2,2),
设平面PCM的法向量为n=(a,b,c),
则令a=1,则b=,c=2,
则平面PCM的一个法向量为n=(1,,2),
设二面角A-PC-M的平面角为θ,显然θ为锐角,
则cos θ=|cos|=.
所以二面角A-PC-M的余弦值为.
17，已知{an}是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为Sn,且a2=3,a1,a3,a7成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)定义在数列{an}中,使log3(an+1)为整数的an叫做“调和数”,求在区间[1,2 024]内所有“调和数”之和.
解析　(1)设{an}的公差为d.因为a1,a3,a7成等比数列,
所以=a1·a7,
则(舍去).
所以an=a1+(n-1)d=n+1.
(2)设b=log3(an+1),所以an=3b-1,
令1≤an=3b-1≤2 024,且b为整数,
由36=729,37=2 187,知36<2 024<37,
所以b可以取1,2,3,4,5,6,
此时an分别为31-1,32-1,33-1,34-1,35-1,36-1,
所以在区间[1,2 024]内所有“调和数”之和为(31-1)+(32-1)+(33-1)+(34-1)+(35-1)+(36-1)
=(31+32+33+34+35+36)-6=-6=1 086.
18，已知函数f(x)=ln x+ax2-(a+2)x.
(1)当0(2)若 x∈(0,+∞),都有f(x)-xf '(x)≤0成立,求实数a的取值范围.
解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f '(x)=+2ax-(a+2)=.
①当0当x∈时, f '(x)>0, f(x)在上单调递增;
当x∈时, f '(x)<0, f(x)在上单调递减;
当x∈时, f '(x)>0, f(x)在上单调递增,
②当a=2时,, f '(x)≥0恒成立,
故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
综上所述,当0当a=2时, f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2) x∈(0,+∞),都有f(x)-xf '(x)≤0成立,(由不等式想到常见函数构造)令F(x)=,则F'(x)=≥0,即F(x)在(0,+∞)上单调递增.
因为F(x)=+ax-(a+2),
则F'(x)=+a≥0,
即 x∈(0,+∞),a≥恒成立,
等价于 x∈(0,+∞),a≥.
令g(x)=(x>0),g'(x)=,
当00,g(x)在(0,)上单调递增,
当x>时,g'(x)<0,g(x)在(,+∞)上单调递减.
则g(x)≤g()=,可得a≥.
故实数a的取值范围是.
19，为了选拔创新型人才,某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测(检测分为初试和复试),共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩,绘制了频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求a的值及样本平均数的估计值;
(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ=10.5.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试,试估计能参加复试的人数;
(3)复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题,已知小明进入了复试,且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为x,答对物理题的概率为y.若小明全部答对的概率为,答对两道题的概率为P,求概率P的最小值.
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
解析　(1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,
∴a=0.02.
样本平均数的估计值为50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.
(2)∵μ=69,σ=10.5,
∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈=0.022 75.
∴能参加复试的人数约为40 000×0.022 75=910.
(3)由题意有x2y=.
答对两道题的概率P=x2(1-y)+x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+.
令f(x)=x2+(0∴当x∈时, f '(x)<0, f(x)在内单调递减;
当x∈时, f '(x)>0, f(x)在内单调递增.
∴当x=时, f(x)min=.

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