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敦颐高级中学2025年7月高二期末考试
数学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
2．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A. 30 B.60 C. 40 D. -60
4．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A. 第18名 B. 第127名 C. 第245名 D. 第546名
5．若函数为偶函数，则实数（ ）
A. 1 B. C. D.
6．已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8．若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
10．在前n项和为的正项等比数列中，，，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列中的最大项为
11．设a为常数，，则（ ）．
A.
B. 成立
C
D. 满足条件的不止一个
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则____________．
13.已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为__________.
14.方程的最小的29个非负实数解之和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为△ABC的面积且4S+3(b2-a2)=3c2.
(1)若b=2,求△ABC外接圆的半径R;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
16，如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PB⊥平面DEF;
(2)求二面角B-DE-F的正弦值.
17，已知数列{an},{bn}满足,b1=-1.
(1)求a3;
(2)证明数列是等比数列,并求an.
18，已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值.
19，某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E()=E(X1),D()=D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值=30,方差s2=1.采用和s2分别代替E()和D(),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=n
答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
2．“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则,由于，所以，充分性成立，
当时，满足，但是，必要性不成立，
因此“”是“”的充分不必要条件
故选：A，
3．在的展开式中，的系数为（ ）
A. 30 B.60 C. 40 D. -60
【答案】B
【解析】的通项为：，
令可得：的系数为.
故选：B．
4．某校高三年级800名学生在高三的一次考试中数学成绩近似服从正态分布，若某学生数学成绩为102分，则该学生数学成绩的年级排名大约是（ ）
（附：，，）
A. 第18名 B. 第127名 C. 第245名 D. 第546名
【答案】B
【解析】因为成绩近似服从正态分布,，则，
且，
所以，
因此该校数学成绩不低于102分的人数即年级排名大约是．
故选：B．
5．若函数为偶函数，则实数（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数为偶函数，
可得，即，
解之得，则，
故为偶函数，符合题意.
故选：C
6．已知为抛物线上一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示：
因为，，
设，
则，
当时，取得最小值，
此时最大，最小，
且，故C正确.
故选：C
7．如图，在正方体中，，是正方形内部(含边界)的一个动点，若，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若，则为中点，为等腰直角三角形，外接圆半径为，三棱锥外接球的球心到平面的距离为，则外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，A选项正确；
故选：A
8．若抛物线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是的焦点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为，椭圆右焦点为，
则根据题意得轴，
，则，则，当时，，则，
则，代入椭圆方程得，结合，不妨令；
解得，则其离心率，
故选：C.
多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数为纯虚数
B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为
D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】对于A，，则为纯虚数，A正确；
对于B，，而，即，则复数对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，，复数的共轭复数为，C错误；
对于D，，
复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为的半圆，D正确．
故选：ABD
10．在前n项和为的正项等比数列中，，，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列中的最大项为
【答案】BC
【解析】设等比数列的公比为q，由，有，
联立方程解得或（舍去），
有，可得．
对于A选项，由，，
有，故A选项错误；
对于B选项，，故B选项正确；
对于C选项，由，有，故C选项正确；
对于D选项，由，
令，有，
可得有，
可得数列中的最大项为或，故D选项错误，
故选：BC．
11．设a为常数，，则（ ）．
A.
B. 成立
C
D. 满足条件的不止一个
【答案】ABC
【解析】
对A：对原式令，则，即，故A正确；
对B： 对原式令，则，故，
对原式令，则，故非负；
对原式令，则，解得，
又非负，故可得，故B正确；
对C：由B分析可得：，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的只有一个，故D错误.
故选：ABC.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则____________．
【答案】11
【解析】因为，边的中点为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
因为，
所以，，故.
故答案为：11
13.已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】由题意有，，，
设直线与x轴的交点为Q，
设，有，，
可得，
当且仅当时取等号，可得的最大值为.
故答案为：
14.方程的最小的29个非负实数解之和为______．
【答案】
【解析】方程可化为，
因式分解为，解得或，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15，在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为△ABC的面积且4S+3(b2-a2)=3c2.
(1)若b=2,求△ABC外接圆的半径R;
(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.
解析　(1)∵S为△ABC的面积且4S+3(b2-a2)=3c2,S=acsin B,
∴4acsin B=3(c2+a2-b2)=3×2accos B,即tan B=,
∵0(2)由(1)可知,B=,
∴
=
=(用3(sin2C+cos2C)代换3)
=1+,
∵△ABC为锐角三角形,∴,
∴tan C>,∴0<,
设t=,则,
∴016，如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证:PB⊥平面DEF;
(2)求二面角B-DE-F的正弦值.
解析　(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,
所以PD⊥BC,因为四边形ABCD是矩形,所以CD⊥BC,
又因为PD、CD 平面PCD,PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,又DE 平面PCD,所以BC⊥DE,
又因为PD=DC=2,E是PC的中点,所以DE⊥PC,
又PC,BC是平面PBC内的两条相交直线,
所以DE⊥平面PBC,
又PB 平面PBC,所以DE⊥PB,
又EF⊥PB,且DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
(2)以D为原点,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1),P(0,0,2),则=(0,1,1),=(1,2,0),
由(1)知PB⊥平面DEF,所以=(1,2,-2)为平面DEF的一个法向量,
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则由取n=(2,-1,1),
则cos设二面角B-DE-F的平面角的大小为θ,
则sin θ=,
所以二面角B-DE-F的正弦值为.
17，已知数列{an},{bn}满足,b1=-1.
(1)求a3;
(2)证明数列是等比数列,并求an.
解析　(1)当n=1时,
当n=2时,a3=a2-b2+4=.
(2)∵
∴①×2+②得2an+1+bn+1=4n+4,∴2an+bn=4n,则bn=4n-2an,代入①得an+1=an-(4n-2an)+2n,则an+1=3an-2n,
∴an+1-(n+1)-,又a1-1-=1,∴数列是以1为首项,3为公比的等比数列.
∴an-n-=3n-1,∴an=3n-1+n+.
18，已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值.
解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f '(x)=x+1-a-,
若a≤0,则f '(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增,
若a>0,则由f '(x)=0得x=a,当0当x>a时, f '(x)>0, f(x)在(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时, f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间,
当a>0时, f(x)的单调递减区间为(0,a),单调递增区间为(a,+∞).
(2)由(1)知,当0函数f(x)的最大值为f(e)=e2+(1-a)e-a,
当a≥e时, f(x)在区间[1,e]上为减函数,
函数f(x)的最大值为f(1)=-a,
当1由f(e)-f(1)=e2+(1-a)e->0,得a<,
当1当≤a综上,当a<时,函数f(x)的最大值为f(e)=e2+(1-a)e-a,
当a≥时,函数f(x)的最大值为f(1)=-a.
19，某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.
(1)求X1的分布列.
(2)记随机变量Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+D(Xj).
(i)证明:E()=E(X1),D()=D(X1);
(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值=30,方差s2=1.采用和s2分别代替E()和D(),给出M,N的估计值.
已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=n
解析　(1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=,k∈N,0≤k≤100.
X1 0 1 … 99 100
P …
(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…=E(X20),E()=EE(Xi)=×20E(X1)=E(X1),
D()=D
=D(Xi)=×20·D(X1)=D(X1).
故E()=E(X1),D()=D(X1).
(ii)由(i)可知的均值E()=E(X1)=.
由公式得X1的方差D(X1)=,
所以D()=.
依题意有
解得N=1 456,M=624,
所以可以估计M=624,N=1 456.

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