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2024-2025-2望城一中高一数学期末调研考试卷
望城一中高一数学组 2025.7.3
本试题卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．4
3．某学校高一、高二、高三年级的人数之比为，若利用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，高三年级抽取的人数为人，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
5．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
6．命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为（ ）
A． B． C． D．
7．有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，则（ ）
A． B．与为互斥事件
C．与为相互独立事件 D．与为对立事件
8．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。
9．下列结论错误的是（ ）
A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是
B．若非零向量，满足，则与的夹角为60°
C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5
D．若向量与的夹角为，，则的最小值为
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则有两解
C．若，则为等腰三角形或直角三角形
D．若，则为钝角三角形
11．若实数，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是 .
13．如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为 ．
14．甲乙两人分别独立抛掷一枚均匀的骰子，甲掷次，乙掷次，设甲投掷出现偶数点的次数为，乙投掷出现奇数点的次数为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
16．（15分）
2025年5月22日16时49分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约8小时．安全返回天和核心舱．为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试．现随机抽取100名学生的测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率．
17．（15分）
已知函数.
(1)若，求的最小正周期；
(2)若在区间上有定义.
（i）求的最大值；
（ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围.
18．（17分）在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，.
(1)若点是线段上任意一点，且平面交棱于点，求证：；
(2)①证明：；
②设侧面为等边三角形，求二面角的余弦值.
（17分）
若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．
(1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值；
(2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．
(3)运用第（2）问的结论，求的值，其中．
2024-2025-2望城一中高一数学期末调研考试卷
参考答案及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D B A C A ABD AC
题号 11
答案 BCD
1．C
【详解】由
又，所以可得集合，则，故C正确.
2．C
【详解】依题意，复数，
所以.
D
【详解】由分层随机抽样的方法可知，所以．
D
【详解】A：若，，当时，与不平行，故A错误；
B：若，，当时，不能得到，故B错误；
C：若，，当时，与不平行，故C错误；
D：若，，可得，故D正确.
5．B
【详解】由题意得，
则，，
所以
.
6．A
【详解】由命题“，”为假命题，则由“，”为真命题，
则，因，所以，所以可得，
所以原命题为假命题的一个充分不必要条件是，故A正确.
7．C
【详解】样本空间，
，，
对于A，，故A错误；
对于BD，，故BD错误；
对于C，，故C正确.
8．A
【详解】
如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故，
则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则，
则，易知，则，
在中，由余弦定理，.
故选：A.
9．ABD
【详解】A选项，，
且，解得且，A错误；
B选项，将和两边分别平方得，
，，即
则，
所以与的夹角为30°，B错误；
C选项，，又，所以，
所以在方向上的投影向量的模为，C正确；
对于D，，
当时，有最小值，所以的最小值为，D错误．
10．AC
【详解】因为函数在上单调递减，
在中，因为，且，所以，故A正确；
若，则由正弦定理可得，
解得.因为正弦函数的值域为，
所以不存在这样的角，即无解，故B错误；
因为，
所以由正弦定理可得，
又因为，
所以可得，即，
即或.
由可得，即为等腰三角形；
由，，可得，所以为直角三角形.
综上可知，为等腰三角形或直角三角形，故C正确；
若，且，
可知，即都是锐角，
所以是锐角三角形，故D错误.
故选：AC
11．BCD
【详解】对于A，由，，可得，
当且仅当时等号成立，故A错误；
对于B，由，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对于C，由可得，代入可得，
因，解得，故当时，，即，故C正确；
对于D，，设，
由A项可知，因在上单调递减，
故当时，取得最小值为，
即当时，，故D正确.
12．
【详解】由题意知，化简得，因为且，所以，
且在上，单调递增，
所以当函数在有定义时，即，
当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意，
所以的取值范围是.
故答案为：
13．
【详解】已知，，则上底面积，下底面积，体积，
由棱台体积公式得，
设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为，
由正四棱台的上下底面都是正方形可得，，
设外接球半径为，则.
展开并化简：（负值舍去），
则，
最终外接球表面积：，
故答案为：
14．/
【详解】可以先考虑甲、乙各抛掷次的情形，
①如果甲投掷出现偶数点的次数等于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为，
则第次甲必须再抛掷出偶数点，才能使得甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数；
②如果甲投掷出现偶数点的次数小于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为，
则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然不大于乙投掷出现奇数点的次数；
③如果甲投掷出现偶数点的次数大于乙投掷出现奇数点的次数，将该情形概率设为，
则第次无论结果如何，甲投掷出现偶数点的次数仍然大于乙投掷出现奇数点的次数；
由对称性可知
故，而由于，
故.
15．（1）由已知，
根据正弦定理可知， （3分）
则， （5分）
又，则； （6分）
（2）若选条件①：
，，
，
此时，不满足三角形性质，
即此时不存在； （13分）
若选条件②：
由（1）得，且，，
则，，
所以. （13分）
若选条件③：
由，
则，
由正弦定理可知，即，
又，解得，，
又在中，，
所以. （13分）
16．（1）由题意可得，可得 （4分）
（2）由题意可得，
本次航天知识能力测试成绩的平均数为. （8分）
（3）由题意，，的频率比为， （9分）
设抽取的5人中有2人为、有3人为， （10分）
任抽2人有，共10种情况， （12分）
其中分数在，各一人有，共6种情况， （14分）
所以这2名同学分数在，各一人的概率为. （15分）
17．（1）当时，，
易得的最小正周期； （2分）
（2）（i）当时，，，
若函数在区间上有定义，则， （5分）
解得，故的最大值为； （7分）
（ii）函数的对称中心满足，，
解得，， （9分）
其图象至少有两个对称中心在区间上，
则在区间上至少有两解， （11分）
故至少存在两个值使， （12分）
故至少有，两个取值， （13分）
所以，综上，的取值范围为. （15分）
18．
【详解】（1）证明：因为底面为矩形，所以，
又平面,平面,所以.
平面，平面平面，
又因为，所以. （5分）
（2）
①证明：取的中点，连接,
因为，所以，
因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面为矩形，且，，的中点，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以； （11分）
②在面内过点作的垂线，垂足为，连接，
因为底面为矩形，所以,由题意知平面，
由①知，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以即为所求二面角的平面角．
因为平面，平面，所以，
因为侧面为等边三角形，，所以，
因为，，所以，所以，
同理得，
所以,
在等腰中，
，
在中，由余弦定理．
二面角的余弦值为. （17分）
19．（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得，
则，，，
当时，，，
，
，. （4分）
（2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立.
，
根据中心对称定义有，
整理得：，
为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零：
，解得：
是中心对称图形，且对称中心是. （10分）
（3）由（2）知，；，
经检验，时，一致；时，一致，
所以. （17分）

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