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15.3.1等腰三角形(第1课时)
人教版数学八年级上册
第十五章 轴对称
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
学习目标
情境引入
情境引入
探究：如图,在纸上画 一 个等腰三 角形，把它剪下来 . 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗 说一说你的猜想.
重合的线段 重合的角
　
AB 与 AC
BD 与 CD
AD 与 AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
新知探究
重合的线段 重合的角
　
AB = AC
BD = CD
AD = AD
∠B =∠C
∠BAD =∠CAD
∠ADB =∠ADC
等腰三角形除了两腰相等以外,你还有何发现 小组讨论想想看.
猜想：1.等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
新知探究
D
证明：作底边BC的中线AD.
在△BAD与△CAD中，
∴△BAD≌△CAD (SSS)
∴∠B=∠C
已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C
A
B
C
新知探究
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
A
B
C
符号语言：
∵ AC=AB
∴ ∠B=∠C（等边对等角）
新知探究
猜想：2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线，底边上的高互相重合.
D
A
B
C
③作∠A的角平分线AD
∴∠BAD=∠CAD
在△ABD和△ACD 中
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD ∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD,∠ADB=∠ADC=90
∴AD是BC边上的中线，也是底边BC上的高
①作BC上的中线AD
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
AB=AC
AD=AD
BD=CD
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC=90°
∴AD是∠BAC的平分线，也是BC边上的高
②作AD⊥BC，垂足为D
∴ ∠ABD=∠ADC=90°
在△ABD和△ACD中
AB=AC
BD=CD
∴△ABD≌△ACD(HL)
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD
∴AD是BC边上的中线，
也是∠BAC的平分线
新知探究
符号语言:
（1）∵ 在△ABC中，AB = AC ，∠BAD = ∠CAD
∴ ⊥ ， = ；
（2）∵在△ABC中， AB = AC，BD = CD
∴ ⊥ ，∴∠ = ∠ ；
（3）∵ 在△ABC中，AB = AC，AD⊥BC,
∴∠ =∠ ， = .
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”）
BAD CAD
BAD CAD
AD BC
AD BC
BD CD
BD CD
归纳：知一推二
D
A
B
C
新知探究
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD(等边对等角)
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
在 ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
所以，在△ABC中， ∠A=36°，ABC=∠C=72°
典例精析
1.等腰三角形一个底角为80°,求它的顶角是_____.　
2.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 ______________________.
3.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_________.
20°
30°，30°
70°,40°或55°,55°
随堂检测
4.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC
∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC
∵∠BAD=26°
∴∠B=∠ADB=(180°-26°)÷2=77°
∴∠C=∠DAC=∠ADB÷2=77°÷2=38.5°
随堂检测
解：∵AB=AC=CD，
∴∠B=∠C，∠1=∠2．
∵BD=AD，
∴∠B=∠3．
∵∠1=∠B＋∠3，∠B＋∠3＋∠2＋∠C=180°，
∴∠B=36°，∠C=36°，∠BAC=108°．
5.如图，在△ABC中，点D在BC上，且有AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中各内角的度数．
1
3
2
A
B
C
D
随堂检测
解：∵OA=AB，
∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°,
∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°.
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°.
∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°,
∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°.
1.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
能力提升
2.如图,AB=AC,CA平分∠BCD,E点在BC上,且∠BAC=∠EAD=90°.求证：CD=BE．
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACD，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
∴△BAE≌△CAD（ASA），
∴BE＝CD．
能力提升
课堂小结
等腰三角形的性质：
1.两个底角相等，简称“等边对等角”.
2.顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.
3.解决等腰三角形问题时常用的辅助线.
1.等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
2.等腰三角形中，AB长是BC长2倍，三角形的周长是40，则AB的长为( )
A.20 B.16 C.20或16 D.18
B
B
课后作业
解：∵AB=AC,∴∠B=∠C，
∴∠B=∠C=（180°－120°）÷2=30°.
∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=30°.
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC－∠BAD－∠CAE
=120°－30°－30°=60°.
3.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D, E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.
C
E
D
B
A
课后作业
课堂小结

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