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13.3.2等边三角形(第2课时)
人教版数学八年级上册
第十五章 轴对称
1．探索含30°角的直角三角形的性质．
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．
学习目标
请同学们观察并测量，含30°角的三角尺，直角边BC与斜边AB的长度？
BC=10cm,
量一量
AB=20cm
B
A
C
20cm
10cm
情境引入
将两个含30°角的三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
A
B
D
C
30°
△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
新知探究
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
A
B
D
C
30°
证法1：∵△ADC是△ABC的轴对称图形
∴∠DAC=∠BAC=30°,AB=AD
∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=30°+30°=60°
∴△ABD是等边三角形.
∵AC⊥BD
∴BC=CD=BD
∴BC=AB
新知探究
证明2：在斜边AB上截取BD=BC，连接CD.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵BD=BC，∠B=60° ,
∴△BCD为等边三角形，∠DCB=60°，
CD=BC=BD.
∵∠ACB=90°，∠DCB=60°，
∴∠ACD=30°.
∴∠ACD=∠A=30°，
∴AD=CD.
∴BC=CD=BD=AD.
∴BC=AB.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
A
C
B
D
.
你能得出什么结论呢？
新知探究
30°
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（简记为：30°的角所对的直角边等于斜边的一半）
含30°角的直角三角形的性质：
符号语言：
∵∠C=90°，∠A=30°
∴BC=AB.
注意：必须满足两个条件:
①30°的角，②直角三角形中.
新知探究
例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多长？
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴BC=AB，DE=AD
∴BC=×7.4=3.7(m)
∵AD=AB
∴DE=AD=×3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
A
B
C
D
E
典例精析
1.已知△ABC中，∠A:∠B:∠C=1: 2: 3,最短边BC=4 cm, 则最长边AB的长是( )
A、5cm B、6 cm
C、7cm D、8 cm
D
随堂检测
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，AB =4．则BD的长为 .
3.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，若AB=10，
则BC的长为 .
A
B
C
D
1
5
随堂检测
4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为_____cm.
5.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD=3cm，则AB=____cm，BE=_____cm.
10
6
4.5
随堂检测
6.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，CD=6cm，则BC的长度是多少？
解：∵CD是斜边AB边上的高，
∴∠BDC=90°.
∵在Rt△BCD中，∠B=30°，CD=6cm，
∴BC=2CD=12cm.
B
C
A
└
D
随堂检测
1.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
能力提升
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝，
∴∠BAD+∠ABE＝．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝；
1.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(2)求∠BMN的度数；
能力提升
（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝，
∴∠MBN＝﹣∠BMN＝，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
1.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝　 　cm．
能力提升
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
使用要点
找准30°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中.
含30°角的直角三角形的性质
课堂小结
1.如图是一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α＋∠β的度数是( )
A．180° B．220° C．240° D．300°
C
课后作业
2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°
∴CM=AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
课后作业

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