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山东省东营市2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，将含角的直角三角板如图放置，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ）

A． B． C． D．
5．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）

A． B． C． D．
6．如图，若直线与直线交于一点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则得合题意的方程组是( )
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，，，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
10．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论：
①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤
二、填空题
11．已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是 ．
12．一只不透明的口袋中装有若干个白球，再将8个红球放入袋中，这些球除颜色外都相同．每次摸出一个球，记录颜色、放回搅匀后再摸，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率在附近摆动，根据频率的稳定性，估计袋中的白球有 个．
13．不等式组的整数解为 ．
14．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知，则点的坐标是 ．
15．2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD，当人脚与地面的夹角∠CDE=60°时，求出此时头顶A与水平线的夹角∠BAF的度数为 ．
16．“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一，如图所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动、若，则 °．
17．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于A、B两点，若是等腰直角三角形，求点C的坐标 ．
18．如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ．
三、解答题
19．（1）解方程组：；
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
20．某超市购入“郁金香”“桔梗”“蔷薇”“银叶菊”四种盆栽共200株用于出售，根据购入时每种盆栽的数量比例绘制成扇形统计图．每种盆栽中均有少数不良品相的植株，现将四种盆栽的良品植株数量绘制成条形统计图，已知“郁金香”的良品率为95%．
(1)求四种盆栽中“郁金香”的数量及其良品数量，并补全条形统计图；
(2)如果从这200株盆栽中随机抽选1株，求它为良品的概率：
(3)根据市场调查，这四种盆栽的进价和售价如下：
盆栽品种 郁金香 桔梗 蔷薇 银叶菊
每株进价（元） 30 30 20 30
每株售价（元） 60 50 40 50
为了尽快卖出这批盆栽，超市对不良品相的植株在售价基础上进行8折促销．请你从四种盆栽中选择一种你喜欢的盆栽，计算这种盆栽全部售完后超市获得的利润是多少？
21．如图所示是超市购物车的侧面示意图，扶手框顶框底，车轮两支脚架．
(1)求的度数．
(2)若支脚架所在的直线垂直于，试判断与支脚架的位置关系，并说明理由．
22．根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒3斤，每盒售价35元 每盒2斤，每盒售价25元
问题解决
任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 根据客户要求，农场现在需要分装100盒草莓，既有精包装也有简包装，分装草莓总重量不少于260斤．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为元．若要将购买包装盒的成本控制在88元以内，怎么样确定分装方案才能让农场总收入最大，最大值为多少，并说明理由．
23．如图，在中，点为上一点，，点是延长线上一点，连接，点恰好在的垂直平分线上，过点作，过点作．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交点为A，且与正比例函数的图象交于点C．
(1)求m 的值及一次函数 的表达式；
(2)根据图象，直接的解集是： ．
(3)若P是x轴上一点，且，求点P的坐标．
25．已知在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与点B，C重合），连接．
(1)在图①中，当点D在边上时，求证：；（提示：证全等）
(2)在图②中，当点D在边的延长线上时，结论是否成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由；猜想与的位置关系，并说明理由；
(3)在图③中，当点D在边的反向延长线上时，补全图形，不需要写证明过程，直接写出，，间存在的数量关系．
参考答案
1．D
A选项中最高次数为2次，则不是；
B选项中第二个方程不是整式方程，则不是；
C选项中含有3个未知数，则不是；
故选：D．
2．B
解：如图所示
，，
，
，，
，
故选：B．
3．D
、∵，∴，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵，∴，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵，∴或，原选项不成立，此选项不符合题意；
、∵，∴，原选项成立，此选项符合题意；
故选：．
4．D
∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，
∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ，
故选D．
5．B
解：如图，作于点D，
中,，，
，
，
，
故选B．
6．A
解：由图形可知，交点
当时，，
关于的不等式的解集是：，
故选：A．
7．D
解：设甲有羊只，乙有羊只，
甲得到乙的九只羊，甲的羊就比乙的羊多一倍，
；
乙得到甲的九只羊，甲、乙两家的羊一样多，
．
根据题意可得，
故选：D．
8．B
解：如图，过点作于，则，
由作图可知，是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故选：．
10．A
解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∴；故②错误；
连接，
∵，
∴，
∴
∵，
∴垂直平分，，
∴，，故③正确；
在中，，
∴，故④错误；
∵，平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴与成轴对称，故⑤正确；
故选：A．
11．3
解： 是关于x，y的二元一次方程的一个解，
，
解得．
故答案为：3.
12．42
解：设白球有个，
∴，
解得，，
检验，当时，原分式方程的分母不为零，
∴是原分式方程的解，
∴白球有个，
故答案为：42 ．
13．
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为，
故答案为：．
14．
解：设长方形纸片的长和宽分别为x、y，
由题意得，
解得，
∴，
∴，
故答案为；．
15．60°/60度
解：延长AB交直线ED于点H，
∵AH∥CD，
∴∠CDE=∠DHA=60°，
∵根据题意得AF∥EH，
∴∠FAB=∠DHA=60°，
故答案为：60°．
16．52
解：，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：52．
17．
解：当时，，解得，即点坐标为，
当时，，则点坐标为，
作垂直于轴，

∴，
∵是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
∴，
，，
，
，
∴点的坐标是．
故答案为：．
18．
解：∵和的平分线交于点，
∴，
∵，
∴
；
同理可得，，
…，
∴，
∴
故答案为：．
19．（1）；（2），数轴见解析．
（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入②：，
原方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
不等式组的解集在数轴上表示为：
20．(1)40；38；见解析
(2)
(3)郁金香全部售完获得利润1176元；（答案不唯一）
（1）解：四种盆栽中“郁金香”的数量为：
（株），
良品数量掌握（株），
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：从这200株盆栽中随机抽选1株，它为良品的概率为：
．
（3）解：郁金香全部售完后超市获得的利润为：
（元）；
桔梗全部售完后超市获得的利润为：
（元）；
蔷薇全部售完后超市获得的利润为：
（元）；
银叶菊全部售完后超市获得的利润为：
（元）．
21．(1)；
(2)平行，理由见解析．
（1）解：∵，
∴ ，
又∵ ，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．（1）100,200（2）精包装75盒，简包装25盒，收入最大，最大值为元．
（1）解：设精包装卖出x盒，简包装卖出y盒，
根据题意得：，
解得：．
答：精包装卖出100盒，简包装卖出200盒；
（2）解；设精包装草莓盒，则简包装草莓盒；
根据题意，得，
解得，
设总收入为y元，根据题意，得
，
又y随a的增大而增大，且a为正整数，
故时，y取得最大值，此时
故精包装75盒，简包装25盒，收入最大，最大值为元．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵点恰好在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
24．(1)2，
(2)
(3)或
（1）解：∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∴，
∵一次函数的图象与x轴交点为，且与正比例函数的图象交于点，
∴，解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）由图象可知，位于轴的右侧，在点的左侧，
∵C，
∴的解集是；
（3）设点坐标为，
∵，
∴，
解得：或，
∴点P的坐标为或．
25．(1)见解析
(2)不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由见解析
(3)图见解析，或
（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：不成立，存在的数量关系为，位置关系为，理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①当E在下方时，如图3，
存在的数量关系为，
理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
②当E在上方时，如图4，
存在的数量关系为，
∵，，
∴；
又∵，，
∴，
∴，，
∴；
在中，由勾股定理得,
∴．

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