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内乡县2025年九年级三模考试
数学试题
（满分：120分 时间：100分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．央视2025年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，与全球华人相约除夕、欢度农历新年．下面是取自主标识中的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在正方形中，点是上一动点（不与，重合），对角线，相交于点，过点分别作，的垂线，分别交，于点与点，交，于点与点，若正方形的边长是2，则四边形的周长是（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．目前，中国国产GPU的运算性能在国际上已经具备较强的竞争力．某型号国产GPU的运算能力高达320TFlops，TFlops是衡量计算机性能的一个重要单位，．将这种型号国产GPU的运算能力表示为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
8．近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．镜片焦距的值越大，近视眼镜的度数的值越小
B．图中曲线是反比例函数的图象（其中一支）
C．当焦距为时，近视眼镜的度数约为300度
D．对于每一个镜片焦距，都有唯一的近视度数与它对应
9．如图所示，一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（ ）
A．115° B．120° C．125° D．145°
10．左老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点在轨道槽上运动，点既能在以为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
有以下结论：
①当，时，可得到形状唯一确定的；
②当，时，可得到形状唯一确定的：
③当，时，可得到形状唯一确定的：
④当，时，可得到形状唯一确定的．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．要使分式有意义，则的取值范围为______．
12．不等式组的正整数解的个数是______．
13．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为______．
14．有人说，“一部三国史，半部在河南”．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的特种邮票中国古典文学名著《三国演义》，上面分别绘有“夜袭乌巢”，“三顾茅庐”，“单骑救主”和“大闹板桥”的图案．这四个历史事件分别发生河南延津、河南南阳、河南当阳县和河南当阳长板桥头．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，小明想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“三顾茅庐”和“大闹板桥”的概率是______．
15．如图，已知两条平行线，，是上的定点，于点，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，连接，则，的数量关系为______；当最大时，的值为______．
三、解答题（共8题，75分）
16．（10分）化简或计算：
（1）．
（2）小张在学习分式时，不确定自己做的练习是否正确，于是请教了强大的AI软件，请你仔细阅读小张的解答过程，并补充完整的AI分析．
豆包给出分析： 这个解答从第______步开始出现错误； 虽然最终答案是0，但过程存在逻辑错误． 正确解答为：，其中 解：原式＝
先化简，再求值：，其中 解：原式① ② 当时，原式③ AI编辑
我的解答正确吗？
17．（9分）2025年央视春晚中出现了许多“河南面孔”，如“确山铁花”“豫剧《花木兰》”“少林功夫”等非物质文化遗产．某校为了解七、八年级学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化遗产知识测试（百分制），从七、八年级各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩用表示，分成四组：A．，B．，C．，D．），
部分信息如下：
信息一：七年级10名学生的成绩是：80，82，86，89，92，96，96，98，99，100．
信息二：八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，93，93．
信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示．
信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表．
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91.8 46.96
八年级 91.8 93 98 41.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明理由；
（3）已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀（）的学生总人数．
18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，其中点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）根据图象，直接写出不等式的解集；
（3）过点作轴于点，连接，求的面积．
19．背景介绍：筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图①，其工作原理为：筒车水轮直立于河边水中，轮周斜装若干竹木制小筒，利用水流推动主轮，轮周小筒依次入水舀满，至顶倾出，接以木槽，导入渠田．
提出问题：某数学小组成员想得到筒车出水点的高度．
收集数据：如图②，经了解，此筒车（）的半径为，筒车上的竹筒离开水面后，把水引至处，水沿射线方向泄至水槽．小组成员观察到：筒车与相切．当涨潮期水面涨到与平齐的处时，此时，，三点恰好在一条直线上，盛水简浮出水面（点）后到点需要（筒车匀速旋转）．
解决问题：
（1）如图②，求证：；
（2）如图③，当退潮期水面降至处时，再观察发现盛水筒浮出水面（点）36秒后，能将水流从点处泄出（筒车的旋转速度不变），此时测量得到宽为，请求出点距离水槽的高度为多少？（精确到，参考数据，，）
20．（9分）某物理探究小组利用实验器材模拟室内光线反射，研究光线反射规律．如图1，为水平放置的平面镜，为光屏，一束光从点射入，光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑．由光的反射定理可知：．已知光屏与水平面的夹角为15°，点与的距离分米，若光线与平面镜的夹角时，光线在光屏上形成的光斑为点．
（1）求点与光斑点的距离（结果保留根号）；
（2）如图2，若光线与平面镜的夹角时，此时光线经过平面镜反射到光屏上形成光斑为点，求光斑点与光斑点之间的距离（结果保留根号）．
21．（9分）初中生正处于生长发育的重要时期，每天要保证摄入足够的能量．某学校食堂中午提供，两种套餐，每种套餐的热量及一些营养成分如下表所示：
套餐 热量（千卡） 蛋白质（克） 脂肪（克） 碳水化合物（克） 钠（毫克）
1150 53 147 586
800 140 111 247
（1）小涵同学发现9份套餐和11份套餐中的蛋白质含量相同，每份套餐比套餐蛋白质含量多6克，求每份，套餐中各含有蛋白质多少克；
（2）依据中国营养学会推荐，建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．为符含该标准，小涵同学在一周内可以选择，两种套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算）
22．（10分）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）若斜坡的坡比为2:5，即图中，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
23．（10分）【问题提出】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，，．若恰好垂直于于点，则的长为______；
【问题解决】
（2）如图②，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②为提高绿化面积，想让步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的？若存在，求面积的最小值：若不存在，请说明理由．
内乡县2025年九年级三模考试
数学试题参考答案
说明：此次考试大题只提供参考答案，不再提供评分标准，各大题组长结合中考评分标准，结合答题实际自行制定统一标准．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C C B B B C C D
二、填空题（每小题3分，共15分）
11． 12．4 13． 14． 15．
三、解答题（共8题，75分）
16．（1）解：
．
（2）①；，0
解：这个解答从第①步开始出现错误；
原式
　
　　
　　
当时，原式．
17．（1）解：八年级成绩在组的占比为，
．
七年级10名学生成绩从小到大排列为80，82，86，89，92，96，96，98，99，100，
∴中位数，众数．
故答案为：；
（2）八年级，理由如下：
因为八年级的方差41.4小于七年级的方差46.96，方差越小，数据越稳定，
所以学校会从八年级中选择．
（3）七年级成绩优秀（）的有6人，八年级成绩优秀（）的有人，七、八年级抽取的20名学生中成绩优秀的有人，
所以估计该校参加此次测试成绩为优秀的学生总人数为人．
18．（1）解：∵点A的横坐标为，且点A在直线上，
，
，
∵点A在反比例函数的图象上，
；
（2）解：如图：
解方程组：，得或，
，
当时，或；
（3）解：，
，
的面积：．
19．（1）证明：三点共线，
为的直径，
，
，
为的切线，为的直径，
，
，
；
（2）解：如解图，过点O作的垂线交于点F，交于点M，交的上方于点G，连接．
，
，
．
∵如题图②，盛水筒浮出水面（C点）后到A点需要，
∴盛水筒旋转一周的时间为，
∵盛水筒浮出水面（Q点）36秒后，能将水流从点A处泄出，
∴此时所对的圆心角度数为，
，
．
过点A作于点H，
，
，
同理，
∴点A距离水槽的高度为．
20．（1）解：在中，，
分米，
分米．
根据题意，得，
在中，，
∵分米，，
分米．
答：点A与光斑点C的距离为分米．
（2）解：如图，过点A作，垂足为点P．
在中，．
分米，
分米．
根据题意，得，
在中，．
分米，
分米．
在中，．
分米，
分米．
分米．
答：光斑点C与光斑点G之间的距离为分米．
21．（1）解：每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克，
，解得，
答：每份A，B套餐中各含有蛋白质克，克．
（2）解：设选择A种套餐天，
则，
解得：，
又∵，且a为整数，
∴可取值为3，4，5，共三种方案，
方案一：A种套餐天，B种套餐天；
方案二：A种套餐天，B种套餐天；
方案三：A种套餐天．
22．（1）解：设与之间的函数表达式为，
由题可知，其图象顶点坐标为，
抛物线解析式为．
又抛物线过点，
．
．
抛物线解析式为．
（2）解：不能，理由如下：
如图，过点作于，
由题意得点的横坐标5，即，斜坡的坡比为，
，
，
，
，
当时，，
，
处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
23．解：（）∵四边形是正方形，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）①如图②，过点作于，过点作于，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②存在，理由如下：
过点作于，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
当最小时，面积最小，
∴当时，的面积最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．

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