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预习衔接.夯实基础 对数运算与对数函数
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）若2a＝5b＝20，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024秋 嘉兴期中）已知a＝30.2，b＝30.5，c＝log0.25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
3．（2024秋 漳州期中）若3a+3b＝6，则a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
4．（2024秋 和平区校级期中）函数在[﹣π，0）∪（0，π]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南通期中）下列结论正确的有（　　）
A．
B．log62﹣log82＝log84﹣log64
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝2
D．若3a＝10，log925＝b，则
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
（多选）7．（2024秋 兴庆区校级期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣∞，4）∪（4，+∞）
B．f（x）的值域为
C．f（x）的图象关于点对称
D．若f（x）在（a，a+1）上单调递减，则a≥4
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）计算：2log26﹣log29＝ 　 　．
9．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 房山区期末）函数y＝ln（1﹣2x）的定义域是 　 　．
11．（2024秋 朝阳区校级期中）函数f（x）＝﹣x2+|x|的单调增区间为　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）（1）已知2x＝6y＝24z＝t＞1，求证：；
（2）证明：log20242025是无理数．
13．（2024秋 秦淮区校级期中）求下列各式的值．
（1）；
（2）．
14．（2024秋 兴庆区校级期中）已知函数f（x）的解析式为．
（1）画出这个函数的图象，并解不等式f（x）＜2；
（2）若直线y＝k（k为常数）与函数f（x）的图象有两个公共点，直接写出k的范围．
15．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
预习衔接.夯实基础 对数运算与对数函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 南通期中）若2a＝5b＝20，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解．
【解答】解：2a＝5b＝20，
则a＝log220，b＝log520，
故．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
2．（2024秋 嘉兴期中）已知a＝30.2，b＝30.5，c＝log0.25，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用指数函数以及对数函数单调性即可限定出a，b，c的范围，可得结论．
【解答】解：y＝3x在R上单调递增，0.5＞0.2，
则1＜30＜a＝30.2＜b＝30.5，即1＜a＜b；
c＝log0.25＜log0.21＝0，即c＜0，
综上所述，c＜a＜b．
故选：B．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，是基础题．
3．（2024秋 漳州期中）若3a+3b＝6，则a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣1，2] B．[0，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据基本不等式的应用可得，即可求出a+b≤2．
【解答】解：3a＞0，3b＞0，则，
即可得，即3a+b≤9＝32，则a+b≤2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
则a+b的取值范围是（﹣∞，2]．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
4．（2024秋 和平区校级期中）函数在[﹣π，0）∪（0，π]的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．
【解答】解：∵定义域关于原点对称，且f（﹣x）f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
又∵f（±1）＝0，f（±）＝0，f（）＞0，f（π）＜0，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运用排除法求解，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 南通期中）下列结论正确的有（　　）
A．
B．log62﹣log82＝log84﹣log64
C．（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝2
D．若3a＝10，log925＝b，则
【考点】对数运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】结合对数的运算性质，即可依次判断．
【解答】解：，，故A正确；
log62﹣log82﹣（log84﹣log64）＝log62+log64﹣（log82+log84）＝log68﹣1≠0，故B错误；
（lg2）2+lg2 lg5+lg50＝lg2（lg2+lg5）+lg50＝lg2+lg50＝lg100＝2，故C正确；
3a＝10，log925＝b，
则a＝log310，log35＝b，
故，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查对数运算求值，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）下列命题正确的是（　　）
A．命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（﹣∞，1]，使得x2 1”
B．设定义在R上函数，则f（1）＝1
C．函数的单调递增区间是[1，+∞）
D．已知a＝log2（log381），，，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较；求全称量词命题的否定；复合函数的单调性；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于A，结合命题否定的定义，即可求解；对于B，结合函数的解析式，即可求解；对于C，结合复合函数的单调性，即可求解；对于D，结合指数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：命题：“ x∈（1，+∞），都有x2＞1”的否定为“ x∈（1，+∞），使得x2 1”，故A错误；
，
则f（1）＝f（2）＝f（3）＝f（4）＝log3（4﹣1）＝1，故B正确；
令x2﹣2x﹣3≥0，解得x≥3或x≤﹣1，
二次函数y＝x2﹣2x﹣3开口向上，对称轴为x＝1，
故函数的单调递增区间是[3，+∞），故C错误；
a＝log2（log381）＝2＝21，b，c，
y＝2x在R上单调递增，，
故b＜a＜c，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 兴庆区校级期中）已知函数，则（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣∞，4）∪（4，+∞）
B．f（x）的值域为
C．f（x）的图象关于点对称
D．若f（x）在（a，a+1）上单调递减，则a≥4
【考点】函数的图象与图象的变换；由函数的单调性求解函数或参数；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据题意，求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由2x﹣8≠0得x≠4，所以f（x）的定义域为（﹣∞，4）∪（4，+∞），A正确；
对于B，由及，
可得f（x）的值域为，B正确；
对于C，的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，
再向上平移个单位得到，所以f（x）的图象关于点对称，C正确；
对于D，f（x）在（a，a+1）上单调递减，则a≥4或a+1≤4，即a≥4或a≤3，D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数单调性和定义域的分析，涉及函数的图象变换，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）计算：2log26﹣log29＝ 　2　．
【考点】对数运算求值．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用对数运算法则求解．
【解答】解：2log26﹣log29＝log236﹣log29＝log24＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（2024秋 嘉定区校级期中）设条件p：log2（4x﹣x2）有意义，条件q：0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 　（0，4）　．
【考点】求对数函数的定义域；必要不充分条件的应用．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（0，4）．
【分析】根据已知条件，对a分类讨论，并结合必要条件、充分条件的定义，即可求解．
【解答】解：条件p：log2（4x﹣x2）有意义，即4x﹣x2＞0，即0＜x＜4，
条件q：0，
当a＝2时，条件q无解，即x为空集，
当a＞2时，不等式的解集为{x|2＜x≤a}，
当a＜2时，不等式的解集为{x|a≤x＜2}，
p是q的必要不充分条件，
当a＝2时，符合题意，
当a＞2时，a＜4，
故2＜a＜4，
当a＜2时，
则a＞0，
故0＜a＜2，
综上所述，实数a的取值范围是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题．
10．（2024秋 房山区期末）函数y＝ln（1﹣2x）的定义域是 　{x|x且x≠0}　．
【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【答案】{x|x且x≠0}．
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意得，，解得x且x≠0．
故答案为：{x|x且x≠0}．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
11．（2024秋 朝阳区校级期中）函数f（x）＝﹣x2+|x|的单调增区间为　（﹣∞，），（0，）　．
【考点】函数的单调性．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（﹣∞，），（0，）
【分析】先对已知函数进行化简，然后结合函数的图象即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝﹣x2+|x|，其图象如图所示，
结合图象可知，函数的单调递增区间为（﹣∞，），（0，）．
故答案为：（﹣∞，），（0，）．
【点评】本题主要考查了函数单调区间的求解，数形结合是求解问题的关键．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 浦东新区校级期中）（1）已知2x＝6y＝24z＝t＞1，求证：；
（2）证明：log20242025是无理数．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕；
（2）反证法进行证明，假设log20242025是有理数，则，其中为既约分数，可得矛盾．
【解答】证明：（1）2x＝6y＝24z＝t＞1，
x＝log2t＞0，y＝log6t＞0，z＝log24t＞0，
，
，
所以．
（2）假设log20242025是有理数，
则，其中为既约分数，
则，
则2024p＝2025q，
这与2024p为偶数，2025q为奇数相矛盾，
所以假设不成立，所以log20242025是无理数．
【点评】本题考查对数的运算，反证法，属于中档题．
13．（2024秋 秦淮区校级期中）求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【考点】对数运算求值；有理数指数幂及根式化简运算求值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）0；
（2）．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质和对数的运算性质可得结果．
（2）利用对数的运算性质化简可得结果．
【解答】（1）
．
（2）
．
【点评】本题主要考查对数的运算法则，以及指数幂的运算，属于基础题．
14．（2024秋 兴庆区校级期中）已知函数f（x）的解析式为．
（1）画出这个函数的图象，并解不等式f（x）＜2；
（2）若直线y＝k（k为常数）与函数f（x）的图象有两个公共点，直接写出k的范围．
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）图象见解析，或x＞4}；
（2）{k|k＜0或1＜k＜4}．
【分析】（1）根据解析式画出图象，结合图象即可求解不等式；
（2）由图象即可求解．
【解答】解：（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，
当x≤﹣1时，x+2≤1，所以f（x）＜2恒成立，
当﹣1＜x≤2时，，所以，
当x＞2时，﹣x+6＜2 x＞4，所以x＞4，
综上可知，或x＞4，
所以不等式的解集为或x＞4}；
（2）
如图，y＝k与y＝f（x）有2个交点，则{k|k＜0或1＜k＜4}．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于中档题．
15．（2024秋 浦东新区校级期中）记代数式．
（1）当a＝2时，求使代数式M有意义的实数x的集合；
（2）若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围．
【考点】对数函数的定义域．
【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞8}；
（2）{a|1＜a＜1或a＞1}．
【分析】（1）分x≤3、3＜x＜4、x≥4三种情况解不等式|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，由此可得出结果；
（2）解出使得N有意义时的取值范围是[﹣4，﹣1]，由题意可知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，通过去绝对值，再由a＞0且a≠1，即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，M＝log2（|x﹣4|+|x﹣3|﹣9），
所以|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＞0，
当x≤3时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）﹣（x﹣3）﹣9＝﹣2﹣2x＞0，解得x＜﹣1，所以x＜﹣1；
当3＜x＜4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝﹣（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝﹣8＜0，原不等式无解；
当x≥4时，|x﹣4|+|x﹣3|﹣9＝（x﹣4）+（x﹣3）﹣9＝2x﹣16＞0，解得x＞8，所以x＞8；
综上，实数x的取值集合是{x|x＜﹣1或x＞8}．
（2）因为，
所以，解得﹣4≤x≤﹣1，
由题意知，存在x∈[﹣4，﹣1]，使得|x﹣a2|+|x﹣2a+1|﹣9＞0成立，
即|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＞9有解，
因为a＞0且a≠1，则a2＞2a﹣1＞﹣1，
所以|x﹣a2|+|x﹣2a+1|＝a2﹣x+2a﹣1﹣x＝a2+2a﹣1﹣2x＞9，
即﹣2x+a2+2a﹣1＞9在x∈[﹣4，﹣1]时有解，所以a2+2a﹣2＞0，
又因a＞0且a≠1，解得且a≠1，
所以实数a的取值范围为{x|1＜a＜1或a＞1}．
【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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