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预习衔接.夯实基础 集合、常用逻辑用语
一．选择题（共4小题）
1．（2023秋 越秀区期末）“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
3．（2024秋 南通期中）已知集合，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．[1，+∞） D．[0，+∞）
4．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝4﹣2x}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{（1，2）} C．{（2，1）} D．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 阳江期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（　　）
A．M＝{4，﹣3}，N＝{（4，﹣3）}
B．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
C．M＝{y|y＝x﹣2，x≥2}，N＝{（x，y）|y＝x﹣2，x≥2}
D．M＝{y|y＝2k+1，k∈Z}，N＝{y|y＝2k﹣1，k∈Z}
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）已知集合M＝{x|x＝m2﹣n2，m，n∈Ζ}，则（　　）
A．26∈M B．32∈M
C． x＝4k﹣1，k∈Ζ，x∈M D． x，y∈M，xy∈M
（多选）7．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）若“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，则a的最小值为 　 　．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）设α：1≤x≤4，β：x＜m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是 　 　．
10．（2024秋 杨浦区校级期中）已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{2，4}，则 　 　．
11．（2024秋 闵行区期中）已知全集I＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣2）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}．
（1）R是实数集，若a＝﹣3，求（ RA）∩（ RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
13．（2024秋 浙江期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
14．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
15．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
预习衔接.夯实基础 集合、常用逻辑用语
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2023秋 越秀区期末）“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】A
【分析】由不等式的性质结合充分不必要的条件即可得解．
【解答】解：若（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＞x2+y2，则xy＜0，所以y＜0＜x或者x＜0＜y，
所以“x＜0＜y”是“（x﹣y）2＞x2+y2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
2．（2024秋 东莞市期中）Q是有理数集，R是实数集，命题p： x∈Q，∈ RQ，则（　　）
A．p是真命题，￢p： x∈Q，
B．p是真命题，￢p： x Q，
C．p是假命题，￢p： x∈Q，
D．p是假命题，￢p： x Q，
【考点】求全称量词命题的否定．
【专题】转化思想；转化法；简易逻辑；运算求解．
【答案】C
【分析】根据特值可判断命题p的真假，再结合命题的否定的概念可得 p．
【解答】解：命题p： x∈Q，，
则命题p的否定为 p： x∈Q，，
由4∈Q，，则命题p为假命题．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
3．（2024秋 南通期中）已知集合，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，1} B．{0，1} C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合{，1，0}，
故A∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
4．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝4﹣2x}，则A∩B＝（　　）
A．{1，2} B．{（1，2）} C．{（2，1）} D．
【考点】求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件，知两集合中的元素是点，进而求出公共点，再利用集合的运算，即可求解．
【解答】解：因为A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝4﹣2x}，
由，得x＝1，y＝2，
所以A∩B＝{（1，2）}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 阳江期中）下列各组中M，N表示不同集合的是（　　）
A．M＝{4，﹣3}，N＝{（4，﹣3）}
B．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
C．M＝{y|y＝x﹣2，x≥2}，N＝{（x，y）|y＝x﹣2，x≥2}
D．M＝{y|y＝2k+1，k∈Z}，N＝{y|y＝2k﹣1，k∈Z}
【考点】集合的相等．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由两集合定义可判断集合是否相同．
【解答】解：对于A，M为数集，N为点集，则两集合不相等，故选项A正确；
对于B，M为点集，N为数集，则两集合不相等，故选项B正确；
对于C，M为数集，N表示射线y＝x﹣2，x≥2上的点，则两集合不相等，故选项C正确；
对于D，两集合均表示全体奇数，故两集合相等，故选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
（多选）6．（2024秋 新吴区校级期中）已知集合M＝{x|x＝m2﹣n2，m，n∈Ζ}，则（　　）
A．26∈M B．32∈M
C． x＝4k﹣1，k∈Ζ，x∈M D． x，y∈M，xy∈M
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由x＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），可知x为奇数或4的倍数，再逐个判断各个选项即可．
【解答】解：因为x＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），且m+n，m﹣n同为奇数或同为偶数，
所以x为奇数或4的倍数，故A错误；B正确；
因为4k﹣1＝（2k）2﹣（2k﹣1）2，故C正确；
由x，y∈M，则x，y为奇数或4的倍数，
当x，y中至少有一个为4的倍数时，则xy为4的倍数，所以xy∈M，
当x，y都为奇数时，则可令x＝2k1+1，y＝2k2+1，k1，k2∈Ζ，
所以xy＝（2k1+1）（2k2+1）＝2（2k1k2+k1+k2）+1，k1，k2∈Ζ，
所以xy∈M，
故 x，y∈M，xy∈M，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
（多选）7．（2024秋 东莞市期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分不必要条件的是（　　）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则 D．若，则a＜b＜0
【考点】充分不必要条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】BC
【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法和不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＞b，当c＝0时，推不出ac2＞bc2，所以A错误；
对于B，由ac2＞bc2，得到（a﹣b）c2＞0，又c2＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b，
所以ac2＞bc2可以推出a＞b，由选项A知a＞b推不出ac2＞bc2，所以p是q的充分不必要条件，故B正确；
对于C，易知a＜b＜0可以推出，取a＝2，b＝3，显然满足，
但不满足a＜b＜0，即推不出a＜b＜0，所以p是q的充分不必要条件，故C正确；
对于D，由C的结论，推不出a＜b＜0，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及命题真假的判断，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 闵行区期中）若“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，则a的最小值为 　2　．
【考点】充分条件的判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；简易逻辑；运算求解．
【答案】2．
【分析】首先解一元二次不等式，根据充分条件，所以（1，2） （﹣∞，a），即可求出参数a的取值范围，从而得解；
【解答】解：根据题意，对于不等式x2﹣3x+2＜0，解得1＜x＜2，其解集为（1，2），
因为“x2﹣3x+2＜0”是“x＜a”的充分条件，
所以（1，2） （﹣∞，a），必有a≥2，
即a的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合关系的判断，属于基础题．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）设α：1≤x≤4，β：x＜m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是 　（4，+∞）　．
【考点】充分条件的应用与判定定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；集合；简易逻辑；逻辑思维．
【答案】（4，+∞）．
【分析】把充分关系转化为子集关系，即可求解．
【解答】解：根据题意，由α是β的充分条件，且α：1≤x≤4，β：x＜m，
可得：{x|1≤x≤4} {x|x＜m}，
必有m＞4，即m的取值范围为（4，+∞）．
故答案为：（4，+∞）．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及集合的关系，属于基础题．
10．（2024秋 杨浦区校级期中）已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{2，4}，则 　{1，3}　．
【考点】求集合的补集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】{1，3}．
【分析】根据补集的定义求解即可．
【解答】解：因为U＝{1，2，3，4}，A＝{2，4}，
则{1，3}．
故答案为：{1，3}．
【点评】本题主要考查了集合补集运算，属于基础题．
11．（2024秋 闵行区期中）已知全集I＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝ 　{3，4，5}　．
【考点】求集合的交集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】{3，4，5}．
【分析】由题意，根据交集的定义，可得答案．
【解答】解：因为B＝{x|x＞2}，A＝{1，2，3，4，5}，
所以A∩B＝{3，4，5}．
故答案为：{3，4，5}．
【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 东莞市期中）集合A＝{x|（x﹣a）（x﹣2）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}．
（1）R是实数集，若a＝﹣3，求（ RA）∩（ RB）；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；集合的交并补混合运算；解一元二次不等式．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）（ RA）∩（ RB）＝{x|x≤﹣3或x≥3}；
（2）{a|﹣1≤a≤3}．
【分析】（1）根据条件，先求出集合A，B，进而求得 RA， RB，利用集合的运算，即可求解；
（2）根据条件得A B，再利用一元二次不等式的解法，对a进行分类讨论，求出集合A，再利用集合间的关系，即可求解．
【解答】解：（1）当a＝﹣3时，A＝{x|（x+3）（x﹣2）＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}，
所以 RA＝{x|x≤﹣3或x≥2}，
又因为B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
所以 RB＝{x|x≤﹣1或x≥3}，
所以（ RA）∩（ RB）＝{x|x≤﹣3或x≥3}；
（2）由A∪B＝B，得到A B，又B＝{x|﹣1＜x＜3}，
当a＜2时，A＝{x|a＜x＜2}，所以，
解得﹣1≤a＜2，
当a＝2时，A＝ ，满足A B，所以a＝2满足题意，
当a＞2时，A＝{x|2＜x＜a}，所以，
解得2＜a≤3，
综上，实数a的取值范围为{a|﹣1≤a≤3}．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于中档题．
13．（2024秋 浙江期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}．
（1）若a＝1，求A∪B；
（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；求集合的并集．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）{x|﹣1＜x＜3}；
（2）{a|a≥3}．
【分析】（1）把a＝1代入，利用并集的定义直接求解；
（2）利用给定交集的结果，结合集合的包含关系求出a的范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}＝{x|1＜x＜3}，
又因为A＝{x|﹣1＜x＜2}，
所以A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}；
（2）由A∩B＝A，得A B，
因此，
解得a≥3，
所以实数a的取值范围是{a|a≥3}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
14．（2024秋 罗湖区校级期中）已知P＝{x|x2﹣3x+2≤0}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；
（2）是否存在实数m，使P∩S＝S？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．
【考点】充要条件的应用；解一元二次不等式；集合的包含关系的应用；集合交集关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）不存在；
（2）{m|m≤0}．
【分析】（1）结合充要条件与集合相等关系的转化即可求解；
（2）结合集合交集性质即可求解．
【解答】解：（1）因为P＝{x|x2﹣3x+2≤0}＝{x|1≤x≤2}，S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
若存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
所以，此时m不存在；
（2）若存在实数m，使P∩S＝S，则S P，
当S＝ 时，1﹣m＞1+m，即m＜0，
当S≠ 时，，解得m＝0，
综上，m的范围为{m|m≤0}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件与集合包含关系的转化，属于基础题．
15．（2024秋 碑林区期中）（1）已知集合A＝{x|x2﹣4x＞0}，B＝{x|2a﹣10＜x＜a+1}．若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
（2）若关于x的不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0的解集为A，不等式的解集为B，已知A是B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【考点】必要不充分条件的应用．
【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学抽象．
【答案】（1）（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）；（2）{a|}．
【分析】（1）根据必要不充分条件转化为B是A的真子集，即可对集合B分空集和非空集讨论求解，
（2）因式分解求解集合A，即可利用A B，列不等式求解．
【解答】解：（1）由x∈A是x∈B的必要不充分条件，得B A，
A＝{x|x2﹣4x＞0}＝{x|x＜0或x＞4}，
当B＝ 时，a+1≤2a﹣10，解得a≥11，满足题意；
当B≠ 时，或，解得a≤﹣1或7≤a＜11，
综上所述，a∈（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）．
（2）由x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0可得（x﹣a）[x﹣（a+1）]≤0，
解得a≤x≤a+1，所以A＝{x|a≤x≤a+1}；
由，得，等价于，解得，
令B，
∵已知A是B的充分不必要条件，故A B，
∴，即，
故a的范围为{a|}．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的应用，属于中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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