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预习衔接.夯实基础 不等式
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西城区校级期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件）与每件售价x（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（注：净利润＝销售总额﹣总成本）（　　）
A．10元 B．12元 C．15元 D．16元
2．（2024秋 闵行区期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若a+b＝1，且a＞0，b＞0，则
C．若a＞1，则
D．若|x﹣2|+|x+3|≥5，则当且仅当x∈（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）时，等号成立
3．（2024秋 金坛区期中）已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1），其中a，b∈R，则关于x的不等式ax2﹣（2a+b）x+2b＞0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
4．（2024秋 惠山区校级期中）若关于x的不等式ax2+bx的解集为，则下列说法错误的是（　　）
A．a＜0
B．的解集为
C．a＝2b
D．的最大值为
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 惠山区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为
B．函数的值域为
C．若x∈R，则函数的最小值为2
D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4）
（多选）6．（2024秋 浙江期中）已知正数a，b满足2a+b＝2，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．4a2+b2的最小值为4
D．的最小值为
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期中）下列说法不正确的是（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣1，2），则f（2x﹣1）的定义域为（﹣3，3）
B．不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是﹣3＜k＜0
C．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则有最小值
D．若a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为1
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）给出能够说明“若a＜b，则”是假命题的一组a，b的值：a＝ 　 　；b＝ 　 　．
9．（2024秋 朝阳区校级期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白．若a＝2cm，P＝800cm2，则当AB＝ 　 　时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 　 　．
10．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　 　．
11．（2024秋 西城区校级期中）若函数f（x）＝x2﹣6x+5在[0，m]上的值域为[﹣4，5]，则m的最小值为 　 　；最大值为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 闵行区校级期中）使不等式4ax2+4kx＞8x﹣k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0的解集为B．
（1）当m＝1时，求集合B；
（2）当a＝k时，求集合A；
（3）当a＝1时，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
13．（2024秋 漳州期中）已知f（x）＝ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；
（2）若b＝2，且a＞0求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
15．（2024秋 江北区校级期中）已知0＜x＜5，1＜y＜2．
（1）求x﹣2y，的取值范围；
（2）若将条件变为“﹣1≤x+y≤2，﹣2≤x﹣y≤1”，求x﹣2y的范围．
预习衔接.夯实基础 不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 西城区校级期中）已知某商品每件的成本为8元，每月销量y（万件）与每件售价x（元）的函数关系近似为：，若使每月的净利润最高，则每件售价应定为（注：净利润＝销售总额﹣总成本）（　　）
A．10元 B．12元 C．15元 D．16元
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】B
【分析】设利润为f（x），由题意可得函数的解析式，再由基本不等式可得函数的最大值．
【解答】解：设每月的利润为f（x），
由题意可得f（x）＝（1） x﹣8（1）＝﹣x26≤﹣226＝2，
当且仅当x，即x＝12时，等号成立，即此时利润最大．
故选：B．
【点评】本题考查基本不等式在实际中的应用，属于基础题．
2．（2024秋 闵行区期中）下列命题错误的是（　　）
A．
B．若a+b＝1，且a＞0，b＞0，则
C．若a＞1，则
D．若|x﹣2|+|x+3|≥5，则当且仅当x∈（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）时，等号成立
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，利用作差法、基本不等式以及绝对值的几何意义，可得答案．
【解答】解：，故A正确；
因为a+b＝1，且a＞0，b＞0，，当且仅当时，等号成立，故B正确；
由a＞1，，当且仅当a＝2时，等号成立，由3＞2，则成立，故C正确；
领y＝|x﹣2|+|x+3|，故|x﹣2|+|x+3|≥5，当且仅当x∈[﹣3，2]时等号成立，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，考查不等式的性质，属于基础题．
3．（2024秋 金坛区期中）已知关于x的不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1），其中a，b∈R，则关于x的不等式ax2﹣（2a+b）x+2b＞0的解集为（　　）
A．（1，2） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）
【考点】解一元二次不等式．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1），可得a＜0，且a＝b，代入所求不等式求解即可．
【解答】解：因为不等式ax+b＞0的解集为（﹣∞，﹣1），
所以a＜0，且1，
解得b＝a，
所以不等式ax2﹣（2a+b）x+2b＞0可化为ax2﹣3ax+2a＞0，
又因为a＜0，
所以x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式ax2﹣（2a+b）x+2b＞0的解集为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4．（2024秋 惠山区校级期中）若关于x的不等式ax2+bx的解集为，则下列说法错误的是（　　）
A．a＜0
B．的解集为
C．a＝2b
D．的最大值为
【考点】解一元二次不等式；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可知的两根为x1＝﹣1，，代入法求得a，b的值，从而可逐项判断．
【解答】解：根据题意，关于x的不等式的解集为，
所以的两根为x1＝﹣1，，
则，解得，
所以a＜0，a＝2b，即A正确，C正确；
所以化为，
解得x≤﹣1或，
所以的解集为，故B正确；
，
所以的最大值为，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函数的性质，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）5．（2024秋 惠山区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为
B．函数的值域为
C．若x∈R，则函数的最小值为2
D．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4）
【考点】解一元二次不等式；简单函数的值域；运用基本不等式求最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】解不等式判断A；利用换元法求值域判断B；利用基本不等式取等号条件判断C；由一元二次不等式恒成立求解判断D．
【解答】解：对于选项A，不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0 （2x﹣1）（x﹣1）＞0，解得或x＞1，
即不等式（2x﹣1）（1﹣x）＜0的解集为{x|或x＞1}，故选项A错误；
对于选项B，令，则x≤2，t≥0，从而x＝2﹣t2，
从而的值域为，故选项B正确；
对于选项C，依题意，，
当且仅当，即时取等号，而，因此不能取等号，故选项C错误；
对于选项D，当k＝0时，1＞0恒成立，则k＝0；当k≠0时，必有，解得0＜k＜4，
所以k的取值范围是[0，4），故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，基本不等式的运用，是基础题．
（多选）6．（2024秋 浙江期中）已知正数a，b满足2a+b＝2，下列说法正确的是（　　）
A．ab的最大值为
B．的最小值为
C．4a2+b2的最小值为4
D．的最小值为
【考点】运用基本不等式求最值．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断即可．
【解答】解：正数a，b满足2a+b＝2，
对于A，，解得，当且仅当b＝2a＝1时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，当且仅当b＝2a＝1时取等号，C错误；
对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于中档题．
（多选）7．（2024秋 西湖区校级期中）下列说法不正确的是（　　）
A．f（x）的定义域为（﹣1，2），则f（2x﹣1）的定义域为（﹣3，3）
B．不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件是﹣3＜k＜0
C．一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣1，3），则有最小值
D．若a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为1
【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式；抽象函数的定义域；充分不必要条件的判断．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用抽象函数的定义域可判断A；利用不等式恒成立问题及充分必要条件的概念可判断B；利用韦达定理及基本不等式可判断C，利用乘“1”法及基本不等式的应用可判断D．
【解答】解：对于A，因为f（x）的定义域为（﹣1，2），
所以﹣1＜2x﹣1＜2，解得，
所以f（2x﹣1）的定义域为，故A错误；
对于B，不等式对一切实数x恒成立．
①当k＝0时．恒成立；
②当k≠0时，，解得﹣3＜k＜0，
所以不等式对一切实数x恒成立的充要条件是﹣3＜k≤0，
所以﹣3＜k＜0，是不等式对一切实数x恒成立的充分不必要条件，故B正确；
对于C，由题意，得﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a＜0）的两根，故，解得b＝﹣2a，c＝﹣3a，
所以3a22（当且仅当a时取等号），故C错误；
对于D，若a＞0，b＞0，，
则a+b（4a+4b）
[（a+3b）+（3a+b）]
[（a+3b）+（3a+b）]（）
（1+1）
（2+2）＝1（当且仅当，即a＝b时取等号），故D正确．
故选：AC．
【点评】本题考查运用基本不等式求最值，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于难题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024秋 西城区校级期中）给出能够说明“若a＜b，则”是假命题的一组a，b的值：a＝ 　﹣2　；b＝ 　﹣1　．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；数学抽象．
【答案】﹣2，﹣1．（答案不唯一）．
【分析】由已知结合不等式的性质即可求解．
【解答】解：当a＝﹣2，b＝﹣1时，a＜b，
但a2+1＞b2+1＞0，此时”是假命题．
故答案为：﹣2，﹣1．（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
9．（2024秋 朝阳区校级期中）如图是一份纸制作的矩形的宣传单，其排版面积（矩形ABCD）为P，两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白．若a＝2cm，P＝800cm2，则当AB＝ 　20cm　时，才能使纸的用量最少，最少的纸的用量是 　1152cm2　．
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】20cm；1152cm2．
【分析】首先设AB＝xcm，再根据条件，用x表示用纸的用量，列式后再用基本不等式，即可求解．
【解答】解：设AB＝xcm，纸的用量为S，则，
所以，
当时，即x＝20cm，所以当AB＝20cm时，最少的纸的用量为1152cm2．
故答案为：20cm；1152cm2．
【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．
10．（2024秋 南宁期中）关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，则关于x的不等式x2+bx+a＜0的解集为 　（1，2）　．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】函数思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1，2）．
【分析】由题意可知﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，利用韦达定理求出a，b的值，进而求出不等式x2+bx+a＜0的解集．
【解答】解：因为关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程x2+ax+b＝0的两个根，
由韦达定理可得，，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以不等式x2+bx+a＜0可化为x2﹣3x+2＜0，
解得1＜x＜2，
即不等式x2+bx+a＜0的解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
11．（2024秋 西城区校级期中）若函数f（x）＝x2﹣6x+5在[0，m]上的值域为[﹣4，5]，则m的最小值为 　3　；最大值为 　6　．
【考点】二次函数的值域．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】3，6．
【分析】求出函数的对称轴方程，函数的最小值，f（0）的值，由对称性可得f（6）＝f（0），可得m的最值．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣6x+5开口向上，对称轴x＝3，f（3）＝32﹣6×3+5＝﹣4，
在[0，m]上，f（0）＝5，由函数的对称性可得f（6）＝f（0）＝5，
所以m∈[3，6]．
故答案为：3，6．
【点评】本题考查二次函数的最值的求法，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 闵行区校级期中）使不等式4ax2+4kx＞8x﹣k对一切实数x恒成立的k的取值范围记为集合A，不等式x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0的解集为B．
（1）当m＝1时，求集合B；
（2）当a＝k时，求集合A；
（3）当a＝1时，若“x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数m的取值范围．
【考点】一元二次不等式恒成立问题；充分条件的应用与判定定理；解一元二次不等式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）（1，2）；
（2）（1，+∞）；
（3）．
【分析】（1）当m＝1时，解一元二次不等式可得集合B；
（2）当a＝k时，根据一元二次不等式的解集为R，可求参数k的取值范围，得到集合A；
（3）问题转化成B A，根据集合的包含关系求参数的取值范围．
【解答】解：（1）当m＝1时，由题意可得x2﹣3x+2＜0．
所以（x﹣1）（x﹣2）＜0 1＜x＜2，所以集合B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）；
（2）当a＝k时，由题意可得4kx2+（4k﹣8）x+k＞0的解集为R，
显然k＝0不合题意；
若k≠0，则必有k＞0且Δ＝（4k﹣8）2﹣4×4k2＜0 k＞1．
所以此时A＝{k|k＞1}＝（1，+∞）；
（3）当a＝1时，由题意可得4x2+（4k﹣8）x+k＞0对一切实数x恒成立，
所以Δ＝（4k﹣8）2﹣4×4k＜0 1＜k＜4，
所以A＝（1，4）．
由x2﹣3mx+（2m﹣1）（m+1）＜0 [x﹣（2m﹣1）] [x﹣（m+1）]＜0．
所以当m＜2时，B＝（2m﹣1，m+1）；当m＝2时，B＝ ；当m＞2时，B＝（m+1，2m﹣1）．
由“x∈B”是“x∈A”的充分条件，可得B A．
所以：当m＜2时， 1≤m＜2，此时B A；
当m＝2时，B＝ ，此时B A；
当m＞2时，由 ，此时B A．
综上所述，
即m的取值范围是．
【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件，属于基础题．
13．（2024秋 漳州期中）已知f（x）＝ax2﹣（a+2）x+b（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，3），求a，b的值；
（2）若b＝2，且a＞0求关于x的不等式f（x）＞0的解集．
【考点】解一元二次不等式．
【专题】函数思想；分类法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】（1）a＝2，b＝﹣6；
（2）答案见解析．
【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的解，结合韦达定理求解；
（2）不等式变形为，再根据与1的大小分类讨论得出不等式的解集．
【解答】解：（1）已知f（x）＜0的解集为（﹣1，3），
∴a＞0，且﹣1和3是方程ax2﹣（a+2）x+b＝0的两个实数根．
∴，解得：a＝2，b＝﹣6；
（2）当b＝2时，f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（ax﹣2）（x﹣1）．
由f（x）＞0，得（ax﹣2）（x﹣1）＞0，即，
当，即a＝2时，不等式为（x﹣1）2＞0，得x≠1，
当，即a＞2时，解不等式得或x＞1，
当，即0＜a＜2时，解不等式得x＜1或，
综上，当a＝2时，不等式的解集为（﹣∞，1）∪（1，+∞），
当a＞2时，不等式的解集为，
当0＜a＜2时，不等式的解集为．
【点评】本题考查不等式的解法，体现了分类讨论思想，是中档题．
14．（2024秋 浦东新区校级期中）随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施．某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到105辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于20千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
【考点】运用基本不等式解决实际问题．
【专题】转化思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）（0，91]；
（2）2450辆/小时，70辆/千米．
【分析】（1）根据题意令v≤20，分别代入两段函数求出对应x取值范围即可．
（2）根据题意先求出y关于x的函数关系式，再分段讨论y的最大取值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）当0＜x≤30时，v＝60≥20，符合题意；
当30＜x≤105时，令，解得x≤91，
所以30＜x≤91，
所以若车流速度v不小于20千米/小时，则车流密度x的取值范围是（0，91]；
（2）由题意得设，
当0＜x≤30时，y＝60x为增函数，所以y≤1800，当x＝30时等号成立；
当30＜x≤105时，y＝70x70（x）＝70[x]
＝70（x35）
，
因为30＜x≤105，所以140﹣x＞0，
因为140﹣x2140，当且仅当140﹣x，即x＝70时不等式取等号，
所以x﹣140（140﹣x）≤﹣2×70＝﹣140，
所以y≤70（﹣140+175）＝2450，
又因为1800＜2450，
所以隧道内车流量的最大值为2450辆/小时，此时车流密度约为70辆/千米．
【点评】本题考查基本不等式在实际中的应用，属于基础题．
15．（2024秋 江北区校级期中）已知0＜x＜5，1＜y＜2．
（1）求x﹣2y，的取值范围；
（2）若将条件变为“﹣1≤x+y≤2，﹣2≤x﹣y≤1”，求x﹣2y的范围．
【考点】等式与不等式的性质．
【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解．
【答案】（1）（0，）；
（2）[﹣4，2]．
【分析】（1）结合不等式的性质即可求解；
（2）结合不等式的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为0＜x＜5，1＜y＜2，所以﹣4＜﹣2y＜﹣2，﹣4＜x﹣2y＜3；
因为0＜x＜5，所以，
则，所以；
（2）令x﹣2y＝m（x+y）+n（x﹣y），所以 x﹣2y＝（m+n）x+（m﹣n）y，
所以 ，则n，m，
所以．
因为﹣1≤x+y≤2，﹣2≤x﹣y≤1，所以﹣1 ，
所以x﹣2y∈[﹣4，2]．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
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