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预习衔接.夯实基础 抽样的基本方法
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 成都期中）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（　　）
A．350 B．400 C．500 D．550
2．（2024春 张家口期末）已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则N＝（　　）
A．10 B．20 C．40 D．不确定
3．（2024秋 郫都区校级期中）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（　　）
A．52 B．48 C．36 D．24
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 凉山州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若P（A）+P（B）＝1，则A与B是对立事件
B．扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为
C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18
D．若一组数据2x1，2x2， ，2x12的方差为16，则另一组数据x1+1，x2+1， ，x12+1的方差为4
（多选）5．（2024春 淄博期末）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m的值为5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17
D．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
（多选）6．（2024春 牡丹江校级期末）下列叙述错误的是（　　）
A．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验是简单随机抽样
B．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C．从甲、乙、丙三位同学随机选一人参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D．对于任意两个事件A和B，都有P（A∪B）＝P（A）+P（B）
（多选）7．（2024春 色尼区校级期末）下列抽查，适合抽样调查的是（　　）
A．进行某一项民意测验
B．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C．调查黄河的水质情况
D．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 金凤区校级期末）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 　 　．
9．（2024春 内江期末）某工厂生产了A、B、C三种不同型号的产品，数量之比为2：m：4，现采用分层抽样的方法抽取36个产品进行分析，已知A型号产品抽取了8个，则B型号产品被抽取的数量是 　 　．
10．（2024春 溧阳市期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 　 　石（结果四舍五入取整数）．
11．（2024秋 河南期末）①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 衡阳期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试．已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[30，50），第二组[50，70），…，第六组[130，150]．整理数据得到如图所示的频率分布直方图．
（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；
（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[50，70）和[110，130）内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[110，130）内的概率．
13．（2024春 深州市校级期末）随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”．这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如图：
（1）试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？
14．（2024春 浑源县校级期末）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
15．（2024春 西青区期末）今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50，100]，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
（Ⅱ）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务，为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从[80，90）和[90，100]的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从[80，90）和[90，100]学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件A＝“至少有1人测试成绩位于区间[90，100]”，求在②的条件下事件A的概率．
预习衔接.夯实基础 抽样的基本方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共3小题）
1．（2024秋 成都期中）某校高一年级有900名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，则该校高一年级的女生人数为（　　）
A．350 B．400 C．500 D．550
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】根据分层抽样定义计算即可．
【解答】解：设该校高一年级的女生人数为x，
用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为81的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为45，36，
则，解得x＝400．
故选：B．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
2．（2024春 张家口期末）已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是，则N＝（　　）
A．10 B．20 C．40 D．不确定
【考点】抽签法简单随机抽样及其步骤；等可能事件和等可能事件的概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合抽签法的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，，解得N＝40．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率的求解，属于基础题．
3．（2024秋 郫都区校级期中）我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3：4：3，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（　　）
A．52 B．48 C．36 D．24
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得．
【解答】解：用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为：．
故选：C．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）4．（2024秋 凉山州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若P（A）+P（B）＝1，则A与B是对立事件
B．扔两枚相同的硬币，恰好一正一反的概率为
C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18
D．若一组数据2x1，2x2， ，2x12的方差为16，则另一组数据x1+1，x2+1， ，x12+1的方差为4
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量；方差；对立事件的概率关系及计算；古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】对于A，结合对立事件的定义，即可求解；
对于B，结合古典概型的概率公式，即可求解；
对于C，结合分层抽样的定义，即可求解；
对于D，结合方差的线性公式，即可求解．
【解答】解：对于A，不妨设事件A为抛掷硬币获得反面的概率，事件B为抛掷一颗骰子获得奇数的概率，
则P（A），P（B），满足P（A）+P（B）＝1，但A与B不是对立事件，故A错误；
对于B，扔两枚相同的硬币，
恰好一正一反的概率为，故B错误；
对于C，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为，故C正确；
对于D，一组数据2x1，2x2， ，2x12的方差为16，
则x1，x2， ，x12的方差为4，
故另一组数据x1+1，x2+1， ，x12+1的方差为4，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查概率、统计的知识，属于基础题．
（多选）5．（2024春 淄博期末）下列说法正确的是（　　）
A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，个体甲被抽到的概率是0.2
B．已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则m的值为5
C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的中位数是17
D．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16
【考点】简单随机抽样；平均数；标准差．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】AD
【分析】利用概率可判断A；根据平均数求得m的值即可判断B；根据中位数的求法即可判断C；利用方差性质即可判断D．
【解答】解：对于A，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，
则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确；
对于B，因为数据1，2，m，6，7的平均数是4，
所以m＝4×5﹣1﹣2﹣6﹣7＝4，故B错误；
对于C，将8个数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，
则中位数为，故C错误；
对于D，依题意，方差为D（x）＝82，则D（2x﹣1）＝22×D（x）＝162，
所以数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为16，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的性质，考查了平均值、中位数和标准差的定义，属于基础题．
（多选）6．（2024春 牡丹江校级期末）下列叙述错误的是（　　）
A．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验是简单随机抽样
B．若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1
C．从甲、乙、丙三位同学随机选一人参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些
D．对于任意两个事件A和B，都有P（A∪B）＝P（A）+P（B）
【考点】简单随机抽样及其适用条件；概率及其性质．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】CD
【分析】利用简单随机抽样的定义、概率的性质、结合抽签法的性质与并事件的概率性质，逐一分析判断即可得解．
【解答】解：对于A，用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验，满足简单随机抽样的定义，故A正确；
对于B，根据概率的定义可得，若事件A发生的概率为P（A），则0≤P（A）≤1，故B正确；
对于C，甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故C错误；
对于D，对于任意两个事件A和B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B），
只有当事件A和B是互斥事件时，才有P（A∪B）＝P（A）+P（B），故D错误．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的定义，考查了并事件的概率性质，属于基础题．
（多选）7．（2024春 色尼区校级期末）下列抽查，适合抽样调查的是（　　）
A．进行某一项民意测验
B．调查某化工厂周围5个村庄是否受到污染
C．调查黄河的水质情况
D．调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【考点】简单随机抽样及其适用条件．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案．
【解答】解：对于A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调查的方式，故A正确；
对于B，适合全面调查，故B错误；
对于C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故C正确；
对于D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了简单随机抽样的定义，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
8．（2024春 金凤区校级期末）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1，2，3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜．由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 　0.65　．
【考点】简单随机抽样；模拟方法估计概率．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.65．
【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可知，获胜的随机数为：423 123 423 114 332 152 342 512 125 432 334 151 314，共13个，
总随机数共有20组，
故 估计甲获得冠军的概率为．
故答案为：0.65．
【点评】本题主要考查模拟方法估计概率，属于基础题．
9．（2024春 内江期末）某工厂生产了A、B、C三种不同型号的产品，数量之比为2：m：4，现采用分层抽样的方法抽取36个产品进行分析，已知A型号产品抽取了8个，则B型号产品被抽取的数量是 　12　．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】12．
【分析】先根据分层抽样的定义结合题意列方程求出m，再根据分层抽样的定义可求出结果．
【解答】解：由题意得，解得m＝3，
所以B型号产品被抽取的数量为．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
10．（2024春 溧阳市期末）中国古典数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期和宋元时期，并在宋元时期达到顶峰，而南宋时期的数学家秦九韶正是其中的代表人物．作为秦九韶的集大成之作，《数书九章》一书所承载的数学成就非同一般．可以说，但凡是实际生活中需要运用到数学知识的地方，《数书九章》一书皆有所涉及，例如“验米夹谷”问题：今有谷3318石，抽样取谷一把，数得168粒内有秕谷22粒，则粮仓内的秕谷约为 　435　石（结果四舍五入取整数）．
【考点】简单随机抽样．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】435．
【分析】根据给定条件，利用样本的数字特征估计总体的相应特征作答．
【解答】解：设粮仓内的秕谷有x石，依题意，，解得x＝434.5，
所以粮仓内的秕谷约为435石．
故答案为：435．
【点评】本题考查分层随机抽样，属于基础题．
11．（2024秋 河南期末）①某班有男生30人，女生20人，现用分层抽样的方法从其中抽10名同学进行体质健康测试，则应抽取男生6人；②某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的概率为0.6；③一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的75%分位数为4，上述结论正确的是 　①③　．
【考点】分层随机抽样．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】①③．
【分析】根据分层抽样的性质、概率的定义，结合75%分位数的性质进行逐一判断即可．
【解答】解：对于①，男生应抽取人，故①正确；
对于②，某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，则正面朝上的频率为0.6，
但是无论掷硬币多少次，硬币正面朝上的概率均为0.5，故②错误；
对于③，这组数据从小到大排列依次为：1、2、2、2、3、3、3、4、5、6，因为10×75%＝7.5，所以75%分位数为4，故③正确．
故答案为：①③．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024春 衡阳期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，该年级组织了一次测试．已知此次考试共有1000名学生参加，将考试成绩分成六组：第一组[30，50），第二组[50，70），…，第六组[130，150]．整理数据得到如图所示的频率分布直方图．
（1）该校根据试卷的难易程度进行分析，认为此次成绩不低于110分，则阶段性学习达到“优秀”，试估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数；
（2）若采用等比例分层抽样的方法，从成绩在[50，70）和[110，130）内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点的掌握情况，再从中随机选取3人进行面对面调查分析，求这3人中恰有1人成绩在[110，130）内的概率．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）200人
（2）
【分析】（1）用学生成绩在[110，150]内的频率乘以1000即可得解；
（2）写出从6人中任选3人的样本空间，以及抽取的3人中恰有1人成绩在[110，130）内的样本空间写出来，结合古典概型概率计算公式即可求解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，可得学生成绩在[130，150]内的频率为0.04，在[110，130）内的频率为0.16，
故估计这1000名学生中阶段性学习达到“优秀”的人数为1000×（0.04+0.16）＝200．
（2）学生成绩在[50，70）内的频率为0.08，在[110，130）内的频率为0.16，
则抽取的6人中，成绩在[50，70）内的有2人，在[110，130）内的有4人．
记成绩在[110，130）内的4名学生为a，b，c，d，在[50，70）内的2名学生为E，F，
则从6人中任选3人，样本空间可记{abc，abd，abE，abF，acd，acE，acF，adE，adF，aEF，
bcd，bcE，bcF，bdE，bdF，bEF，cdE，cdF，cEF，dEF}，共包含20个样本．
用事件A表示“这3人中恰有1人成绩在[110，130）内”，则A＝{aEF，bEF，cEF，dEF}，A包含4个样本．
故所求概率．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
13．（2024春 深州市校级期末）随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”．这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取100个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如图：
（1）试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）55；，40．
（2）选乙种空调进行购买，理由详见解析．
【分析】（1）结合众数的定义、中位数、平均数公式，即可求解；
（2）结合平均数公式，即可求解．
【解答】解：（1）售后处理时间在[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]内的频率分别为0.06，0.34，0.12，0.04，0.40，0.04，
因此，使用甲种空调的消费者中“售后处理时间”的众数为55，
因为0.06+0.34＝0.4＜0.5，0.06+0.34+0.12＝0.52＞0.5，则“售后处理时间”的中位数m∈[30，40），
则（m﹣30）×0.012＝0.5﹣0.4，解得，
所以所求中位数为，
所求平均数为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04＝40；
（2）依题意，使用乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数为15×0.04+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02＝35＜40，
所以选乙种空调进行购买．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
14．（2024春 浑源县校级期末）某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0，0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
【考点】由分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数；分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．
【答案】各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91
【分析】按分层抽样计算初中部、高中部应抽取的人数，再估算学校的平均视力即可．
【解答】解：初中部抽取人数为，
高中部抽取人数为，
学校平均视力为，
所以在初中部、高中部各抽取34，26人，学校平均视力约为0.91．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
15．（2024春 西青区期末）今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间[50，100]，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
（Ⅱ）今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务，为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从[80，90）和[90，100]的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
①求应从[80，90）和[90，100]学生中分别抽取的学生人数；
②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间Ω；（用恰当的符号表示）
③设事件A＝“至少有1人测试成绩位于区间[90，100]”，求在②的条件下事件A的概率．
【考点】分层随机抽样的比例分配与各层个体数及抽取样本量．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】（Ⅰ）0.030，74.5；（Ⅱ）①5，2；②Ω＝{ab，ac，ad，ae，a1，a2，bc，bd，be，b1，b2，cd，ce，c1，c2，de，d1，d2，e1，e2，12}；③．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图的性质列方程能求出a；利用频率分布直方图能估算这40名学生测试成绩的平均数．
（Ⅱ）①利用比例分配的分层随机抽样方法能求出结果．
②设从[80，90）中抽取5人为a，b，c，d，e，从[90，100]中抽取的2人为1，2，从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，利用列举法能求出这个试验的样本空间．
③设事件A＝“至少有1人测试成绩位于区间[90，100]”，在②的条件下利用列举法能求出事件A的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
（0.015+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，
解得a＝0.030．
估算这40名学生测试成绩的平均数为：
55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.1＝74.5．
（Ⅱ）①利用比例分配的分层随机抽样方法，从[80，90）和[90，100]的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团．
应从[80，90）中抽取的学生人数为75人，
从[90，100]中抽取的学生人数为72人．
②设从[80，90）中抽取5人为a，b，c，d，e，从[90，100]中抽取的2人为1，2，
从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，
则这个试验的样本空间为：
Ω＝{ab，ac，ad，ae，a1，a2，bc，bd，be，b1，b2，cd，ce，c1，c2，de，d1，d2，e1，e2，12}，共有21个基本事件．
③设事件A＝“至少有1人测试成绩位于区间[90，100]”，
在②的条件下事件A包含的基本事件有11个，分别为：
a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，e1，e2，12，
∴在②的条件下事件A的概率为P．
【点评】本题考查频率分布直方图、分层抽样、列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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