资源简介

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预习衔接.夯实基础 用样本估计总体分布
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 五华区期中）在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花 ，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（　　）
A．样本花卉高度的极差不超过20cm
B．样本花卉高度的中位数不小于众数
C．样本花的高度的平均数不小于中位数
D．样本花卉高度小于60cm的占比不超过70%
2．（2024春 即墨区期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（　　）
A．数据中可能存在极端大的值
B．这组数据是不对称的
C．数据中众数一定不等于中位数
D．数据的平均数大于中位数
3．（2024秋 宁河区期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩进行统计，成绩均在[50，100]内，将其分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[80，90）内的人数为（　　）
A．20 B．40 C．60 D．80
4．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（　　）
A．众数＜中位数＜平均数 B．众数＜平均数＜中位数
C．中位数＜平均数＜众数 D．中位数＜众数＜平均数
5．（2024春 酒泉期中）某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（　　）
A．B组打分的极差小于A组打分的极差
B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致
D．A组打分的众数为50
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1）， ，[3，3.5）制作了频率分布直方图，下列命题正确的有（　　）
A．设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人．
B．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a（吨）的最低标准的估计值为2.7．
C．该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨．
D．在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4．
（多选）7．（2024 山西模拟）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛．把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（　　）
A．a的值为0.035
B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89
D．估计成绩低于80分的有350人
（多选）8．（2024秋 罗湖区校级期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（　　）
A．该校竞赛成绩的极差为70分
B．a的值为0.005
C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分
D．这组数据的第30百分位数为81
三．填空题（共3小题）
9．（2024春 道里区校级期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 　 　分．
10．（2024春 杨浦区期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 　 　．
11．（2024春 大连期末）如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其第60百分位数为 　 　．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 上城区校级期中）某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率．
13．（2024秋 平度市期中）已知空气质量指数（AQI）不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如图表：
空气质量指数（AQI） 频数（天） 频率
0≤x＜20 4 0.10
20≤x＜40 6 0.15
40≤x＜60 m t
60≤x＜80 n 0.25
80≤x＜100 8 0.20
100≤x＜120 4 0.10
合计 40 1.00
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出m，n，t的值，并把频率分布直方图补充完整；
（2）估计该市这40天空气质量指数（AQI）的平均数；
（3）在选取的样本中，从空气质量指数（AQI）在区间[80，120）的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率．
14．（2024秋 成都期中）2025届是四川省新高考的第一届．根据新高考改革方案，2025年将采用“3+1+2”的高考模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中首选一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物学四门学科中再选两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 [86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40]
为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分，已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为100分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求出图中a的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分（含B等级）；
（2）为更充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人原始成绩在[40，50）内的概率．
15．（2024秋 凉山州期中）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产．会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良．每年8～9月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴．一电商老板收果时要求石榴重量（单位：克）如下：250克以下的为次果，[250，350）克为小果，[350，450）克为中果，[450，550）克为大果，550克及以上为特大果．为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了100个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为[150，250），[250，350），[350，450），[450，550），[550，650））．
（1）根据频率分布直方图，求图中m的值和估计这100个石榴的平均重量及第75百分位数；（每组数据用所在区间的中点值作代表）
（2）此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约5万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：
方案①：所有石榴以5元/千克收购；
方案②：对重量低于350克的石榴以1元/个收购，对重量高于或等于350克的石榴以3元/个收购．
请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？
预习衔接.夯实基础 用样本估计总体分布
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 五华区期中）在践行“乡村振兴”战略的过程中，某地大力发展特色花卉种植业．某农户种植一种观赏花 ，为了解花卉的长势，随机测量了100枝花的高度（单位：cm），得到花枝高度的频率分布直方图，如图所示，则（　　）
A．样本花卉高度的极差不超过20cm
B．样本花卉高度的中位数不小于众数
C．样本花的高度的平均数不小于中位数
D．样本花卉高度小于60cm的占比不超过70%
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】D
【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用中位数和众数的定义可判断B选项；利用平均数公式求出样本花卉高度的平均数，可判断C选项；计算出样本花升高度小于60cm的占比，可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，根据题意可得极差为70﹣40＝30（cm），A错；
对于B选项，样本花卉高度的众数为，
因为前几组的频率依次为0.06，0.14，0.18，0.28，
所以中位数估计为57.14＜57.5，
所以样本花卉高度的中位数小于众数，B错；
对于C选项，由频率分布直方图可知，
样本花卉高度的平均数为，
且，所以样本花的高度的平均数小于中位数，C错；
对于D选项，由B选项可知，样本花升高度小于60cm的占比为66%，D对．
故选：D．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．
2．（2024春 即墨区期末）如果一组数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则下列说法一定错误的是（　　）
A．数据中可能存在极端大的值
B．这组数据是不对称的
C．数据中众数一定不等于中位数
D．数据的平均数大于中位数
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；逻辑思维．
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图的性质结合样本的数字特征即可判断．
【解答】解：数据的频率分布直方图在右边“拖尾”，则其图单峰不对称，故B正确；
其大致图如下：
由图可知数据中可能存在极端大的值，故A正确；
由于“右拖尾”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，可能与众数相等，故C错误；
平均数靠近中点处，平均数容易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
3．（2024秋 宁河区期末）2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩进行统计，成绩均在[50，100]内，将其分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如图的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间[80，90）内的人数为（　　）
A．20 B．40 C．60 D．80
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【答案】C
【分析】利用各小矩形的面积之和为1求解a，再根据样本容量求频数．
【解答】解：由（0.01+0.015+0.04+a+0.005）×10＝1，
解得a＝0.03，200×0.3＝60．
故选：C．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于简单题．
4．（2024春 科尔沁区校级期末）如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（　　）
A．众数＜中位数＜平均数 B．众数＜平均数＜中位数
C．中位数＜平均数＜众数 D．中位数＜众数＜平均数
【考点】频率分布直方图；用样本估计总体的集中趋势参数．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可．
【解答】解：由频率分布直方图知，
数据组成的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，
由题意得在该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数＜中位数，
由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数＜平均数，
∴众数＜中位数＜平均数．
故选：A．
【点评】本题考查频率分布直方图、众数、中位数、平均数等基础知识，是基础题．
5．（2024春 酒泉期中）某高校为宣扬中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛，在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（　　）
A．B组打分的极差小于A组打分的极差
B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致
D．A组打分的众数为50
【考点】频率分布直方图；频率分布折线图、密度曲线；用样本估计总体的集中趋势参数；进行简单的合情推理．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；运算求解．
【答案】C
【分析】对于A，根据折线图结合极差的定义分析判断；对于B，将数据按升序排列，结合中位数分析判断；对于C，根据方差的性质分析判断；对于D，根据题中数据结合众数的定义分析判断．
【解答】解：对于A：观察折线图可知，小组B的极差大于小组A的极差，故选项A错误；
对于B：小组B打分的分值按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
所以中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
对于C：小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
对于D：小组A打分的分值为：42，47，45，46，50，47，55，50，47，
所以小组A打分的分值的众数为47，故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查折线图、极差、中位数、方差、众数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）6．（2024秋 青羊区校级期中）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量（单位：吨），按照分组[0，0.5），[0.5，1）， ，[3，3.5）制作了频率分布直方图，下列命题正确的有（　　）
A．设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人．
B．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a（吨）的最低标准的估计值为2.7．
C．该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨．
D．在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据频率分布直方图进行人数的估计即可判断A；由直方图知：a∈（2.5，3），由（3﹣a）×0.3+0.5×0.1＝1﹣86%，能求出月均用水量a的标准，即可判断B；利用频率分布直方图求出月均用水量，即可判断C；由直方图，结合古典概型利用列举法能求出两人月均用水量都不低于0.5吨的概率，即可判断D．
【解答】解：对于A，全市居民中月均用水量不低于3吨人数约为60×0.10×0.5＝3（万人），故A不正确；
对于B，因为前几组的频率依次为0.05，0.1，0.15，0.2，0.3，0.15，
所以a∈（2.5，3），所以a2.7吨，
故月均用水量a的标准定为2.7吨，故B正确；
对于C，月均用水量为：
（吨），故C正确；
对于D，由直方图可知：月均用水量在[0，0.5）的人数为：40×0.1×0.5＝2人，记为a，b，
月均用水量在[0.5，1）的人数为：40×0.2×0.5＝4人，记为A，B，C，D，
从此6人中随机抽取两人有15种结果，
其中月均用水量都在[0.5，1）的情况有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，
故两人月均用水量都不低于0.5吨的概率：，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．
（多选）7．（2024 山西模拟）某市举办了“爱国爱党”知识竞赛．把1000名参赛者的成绩（满分100分，成绩取整数）按[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（　　）
A．a的值为0.035
B．估计这组数据的众数为90
C．估计这组数据的第70百分位数为89
D．估计成绩低于80分的有350人
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据频率分布直方图的性质可判断A，根据众数，百分位数的定义可以判断B，C，根据频率、频数的关系判断D．
【解答】解：对于选项A：根据频率分布直方图的性质易知10×0.005+0.020×10+0.050×10+10a＝1，解得a＝0.025，所以选项A错误；
对于选项B：由频率分布直方图可知众数落在[80，90）区间，用区间中点表示众数即85，所以选项B错误；
对于选项C：由频率分布直方图可知前两组频率之和为0.005×10+0.020×10＝0.25，
前三组频率之和为0.005×10+0.020×10+0.050×10＝0.75．
故第70百分位数落在区间[80，90），
设第70百分位数为x，
则0.25+（x﹣80）×0.050＝0.70，解得x＝89，所以选项C正确；
对于选项D：成绩低于80分的频率为0.005×10+0.020×10＝0.25，
所以估计成绩低于80分的有1000×0.25＝250人．故选项D错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查了频率分布直方图，众数，百分位数的定义，频率、频数的关系，是基础题．
（多选）8．（2024秋 罗湖区校级期末）2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（　　）
A．该校竞赛成绩的极差为70分
B．a的值为0.005
C．该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分
D．这组数据的第30百分位数为81
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可．
【解答】解：因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，
所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A错误；
因为（a+0.008+2a+0.012+0.015+4a+0.030）×10＝70a+0.65＝1，解得a＝0.005，
所以B正确；
该校竞赛成绩的平均分的估计值75×0.012×10+85×0.015×10+95×0.030×10+105×4×0.005×10+115×2×0.005×10＝90.7分，
所以C正确；
设这组数据的第30百分位数为m，
则（0.005+0.008+0.012）×10+（m﹣80）×0.015×10＝0.3，解得，
所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数、极差和百分位数的计算，属于基础题．
三．填空题（共3小题）
9．（2024春 道里区校级期末）从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的平均分数为 　76.2　分．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】76.2．
【分析】根据平均值计算方法求解．
【解答】解：根据题意可得平均分数估计为：
45×（0.004×10）+55×（0.006×10）+65×（0.02×10）+75×（0.03×10）+85×（0.024×10）+95×（0.016×10）＝76.2分．
故答案为：76.2．
【点评】本题考查频率分布直方图的性质，平均数的求解，属基础题．
10．（2024春 杨浦区期末）某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
命中环数 6 7 8 9 10
频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2
如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于8环的概率是 　0.5　．
【考点】分布和频率分布表．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】0.5．
【分析】利用互斥事件概率加法公式能求出结果．
【解答】解：由题意得：
这名运动员只射击一次，命中的环数X大于8环的概率是：
P＝P（X＝9）+P（X＝10）＝0.3+0.2＝0.5．
故答案为：0.5．
【点评】本题考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（2024春 大连期末）如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其第60百分位数为 　14　．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】数形结合；定义法；概率与统计；运算求解．
【答案】14．
【分析】根据频率分布直方图能求出结果．
【解答】解：由频率分布直方图得：
第一组的频率为0.04×5＝0.2＜0.6，
前2组的频率之和为0.04×5+0.1×5＝0.7＞0.6，
∴其第60百分位数在[10，15）内，设为x，
则0.1×（x﹣10）＝0.6﹣0.2，解得x＝14．
∴其第60百分位数为14．
故答案为：14．
【点评】本题考查频率分布直方图、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
四．解答题（共4小题）
12．（2024秋 上城区校级期中）某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）0.02；
（2）分；
（3）0.432．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，即可求解；
（2）根据中位数的概念，即可求解；
（3）用样本估计总体，然后利用二项分布的概率公式计算概率．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.005+x+0.035+0.030+0.010）×10＝1，∴x＝0.02；
（2）∵前几组的频率依次为：0.05，0.2，0.35，
∴中位数在[70，80）间，
∴中位数估计为（分）；
（3）由题意得这组数据满意度在80分及以上的频率为（0.030+0.010）×10＝0.4，
设事件A为：这三人中恰有一人满意度在80分及以上，
则．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．
13．（2024秋 平度市期中）已知空气质量指数（AQI）不超过100为“优良”等级，某市统计了40天的空气质量指数，并将数据整理如图表：
空气质量指数（AQI） 频数（天） 频率
0≤x＜20 4 0.10
20≤x＜40 6 0.15
40≤x＜60 m t
60≤x＜80 n 0.25
80≤x＜100 8 0.20
100≤x＜120 4 0.10
合计 40 1.00
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）直接写出m，n，t的值，并把频率分布直方图补充完整；
（2）估计该市这40天空气质量指数（AQI）的平均数；
（3）在选取的样本中，从空气质量指数（AQI）在区间[80，120）的两组指数中按分层抽样抽取6个，再从这6个中抽取2个，求这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）n＝10，m＝8，t＝0.20；作图见解析；（2）62；（3）．
【分析】（1）由频率分布表求出m，n，t，由此能把频率分布直方图补充完整；
（2）结合频率分布直方图，利用平均数公式即可求得答案；
（3）由分层抽样抽知识可得，区间[80，100）中有4个，区间[100，120）中有2个，再利用古典概率即可求得答案．
【解答】解：（1）由题意n＝40×0.25＝10，m＝40﹣（4+6+10+8+4）＝8，，补充直方图如下：
（2）由直方图得，该市这40天空气质量指数（AQ1）的平均数为：
10×0.10+30×0.15+50×0.20+70×0.25+90×0.20+110×0.10＝62；
（3）由题意，[80，100）与[100，120）得频数之比为2：1，
所以区间[80，120）的两组指数中按分层抽样抽取6个，区间[80，100）中有4个，区间[100，120）中有2个，
“优良”等级为区间[80，100）中的4个数据记为1，2，3，4，区间[100，120）中的2个数据记为a，b，
从这6个抽取2个所有可能的情况为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），（1，a），
（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b）（4，a），（4，b），（a，b），共15种情况，
其中空气质量指数都是“优良”等级有6种，
故这2个空气质量指数都是“优良”等级的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．
14．（2024秋 成都期中）2025届是四川省新高考的第一届．根据新高考改革方案，2025年将采用“3+1+2”的高考模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中首选一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物学四门学科中再选两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 [86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40]
为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分，已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为100分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示．
（1）求出图中a的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分（含B等级）；
（2）为更充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50）和[50，60）内的学生中共抽取6人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人原始成绩在[40，50）内的概率．
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】解题思想．
【答案】（1）0.030，75分；
（2）．
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求解a的值，利用百分位数的概念求解本次化学原始成绩B等级中的最低分；
（2）先利用分层抽样确定在[40，50）和[50，60）内各抽取的人数，再利用古典概型求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010）×10＝1，∴a＝0.030，
∵原始成绩B等级及以上占比50%，[80，100]的频率为0.35，[70，80）的频率为0.3，
∴原始成绩B等级的最低分落在[70，80）内，设为x，
则（80﹣x）×0.030+0.35＝0.5，解得x＝75，
∴该市本次化学原始成绩B等级中的最低分为75分；
（2）∵原始成绩在[40，50）和[50，60）的频率之比为1：2，
∴在[40，50）内抽取2人，记为a1，a2，
在[50，60）内抽取4人，记为b1，b2，b3，b4，
从中这6人中再选取2人所得样本空间为：
Ω＝{a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4，b1b2，b1b3，b1b4，b2b3，b2b4，b3b4}，
∴n（Ω）＝15，
设A＝“这2人中恰有1人原始成绩在[40，50）内”，
则A＝{a1b1，a1b2，a1b3，a1b4，a2b1，a2b2，a2b3，a2b4}，
∴n（A）＝8，∴，
∴这2人中恰有1人原始成绩在[40，50）内的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
15．（2024秋 凉山州期中）会理石榴，凉山彝族自治州会理市特产．会理石榴果大、色艳、皮薄、粒软、味浓、有微香、余味长，含有人体所需的多种维生素和氨基酸，可食部分百分率较高，可溶性固性物含量较高，籽粒“透明晶亮若珍珠，果味浓甜如蜂蜜”，品质佳良．每年8～9月份正是石榴成熟之季，各大网红、电商纷纷前来会理带货石榴．一电商老板收果时要求石榴重量（单位：克）如下：250克以下的为次果，[250，350）克为小果，[350，450）克为中果，[450，550）克为大果，550克及以上为特大果．为了了解果农家石榴情况，在果园里随机摘取了100个石榴称重量（单位：克）并统计分析，绘制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为[150，250），[250，350），[350，450），[450，550），[550，650））．
（1）根据频率分布直方图，求图中m的值和估计这100个石榴的平均重量及第75百分位数；（每组数据用所在区间的中点值作代表）
（2）此电商老板来收购果农家石榴，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该石榴果园中有石榴大约5万个，在今年的石榴行情下，电商老板提出以下两种收购方案：
方案①：所有石榴以5元/千克收购；
方案②：对重量低于350克的石榴以1元/个收购，对重量高于或等于350克的石榴以3元/个收购．
请通过计算确定果农选择哪种方案获利更多？
【考点】频率分布直方图的应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）这100个石榴的平均重量为415克，第75百分位数为510克；
（2）选择方案②获利多．
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，百分位数的概念，即可分别求解；
（2）根据题意分别求出两种方案的利润，从而可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得（0.0010+0.0020+m+0.0025+0.0015）×100＝1，解得m＝0.0030，
∴估计这100个石榴的平均重量为：
0.1×200+0.2×300+0.3×400+0.25×500+0.15×600＝415（克）；
根据题意可得前几组的频率依次为0.1，0.2，0.3，0.25，
所以第75百分位数位于[450，550）内，
所以第75百分位数为510（克），
所以这100个石榴的平均重量为415克，第75百分位数为510克；
（2）方案①收入：（元）；
方案②收入：低于350克的石榴收入为（0.1+0.2）×50000×1＝15000（元）；
不低于350克的石榴收入为（0.3+0.25+0.15）×50000×3＝105000（元）；
故方案②的收入为y2＝15000+105000＝120000（元），
因为103750＜120000，所以选择方案②获利多．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，属中档题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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